2023届四川省成都市第七中学高三下学期二诊模拟测试数学（文）试题含解析

2023届四川省成都市第七中学高三下学期二诊模拟测试数学（文）试题

一、单选题

1．已知复数z满足方程，则z的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的除法运算及虚部的概念求解即可.

【详解】由题意，，所以z的虚部为．

故选：B

2．一个果园培养了一种少籽苹果，现随机抽样一些苹果调查苹果的平均果籽数量，得到下列频率分布表：

则根据表格，这批样本的平均果籽数量为（    ）A．1 B．1.6 C．2.5 D．3.2

【答案】B

【分析】根据平均数的定义计算即可.

【详解】这批样本的平均果籽数．

故选：B.

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式及余弦的2倍角公式可得答案.

【详解】．

故选：A

4．已知集合，，．若集合只有一个元素，则实数的值为（    ）

A． B．或

C．或 D．或

【答案】D

【分析】分析可知直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，结合点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可.

【详解】集合表示以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点,集合表示直线图象上的点．

要保证只有一个元素，只需要直线与圆相切即可．

可得，即，所以．

故选：D.

5．小文是一个酒水店的管理人员，负责监督保证每个喝酒的人必须年满20岁，也就是要保证“如果一个人在店里喝酒，则这个人必须年满20岁”这个命题为真．现在店里有下列四个人，那么小文为了确认规则成立，必须至少检查的人（检查他们的年龄或者正在饮用的饮品）有（    ）

①一位正在喝酒的男性；

②一位正在喝果汁的女性；

③一位正在饮用待检测饮料的32岁男性；

④一位正在饮用待检测饮料的15岁女性．

A．②③ B．①③ C．①④ D．①③④

【答案】C

【分析】由题可知需检测喝酒的人是否年满20岁，或检测未满20岁的人是否在喝酒，据此可得答案.

【详解】要检验命题，需要保证喝酒的人已经年满20岁，因此需要检测①；同时要保证未满20岁的人没有在喝酒，因此需要检查④．

故选：C．

6．已知是等比数列的前n项和，、、成等差数列．则下列选项一定是真命题的是（    ）

A．、、一定是等差数列 B．、、一定是等比数列

C．、、一定不是等差数列 D．、、可能是等比数列

【答案】A

【分析】利用等差中项的性质和等比数列的前项和公式求解.

【详解】若、、成等差数列，则，

所以公比，则，

化简得：，所以，即，

所以、、一定是等差数列．

故选:A.

7．已知中，角的对边分别为．若已知，且的面积为6，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用已知条件先计算出，然后利用两角和的正弦逆公式及同角三角函数关系式将式子弦化切即可.

【详解】由题意，，

的面积为，

两式相除得到，

所以．

故选：C.

8．根据地理知识，地球（Earth）是太阳系八大行星之一，赤道半径约6378km，极半径约6357km，平均半径约为6371km，赤道周长大约为40076km，呈两极略扁赤道略鼓的不规则的椭圆球体．为了研宄方便，我们既可以将地球看作一个标准的椭圆球体，长半轴长和短半轴长分别对应相应的赤道半径和极半径；也可以将地球看作一个半径为平均半径的标准的球体．周老师站在本初子午线的某个点A，如果将地球看作一个标准的椭圆球体，那么他到两个焦点的距离之和为；而如果将地球看作一个标准的球体，那么他到地球球心的距离为．则（    ）km．

A．42 B．28 C．20 D．14

【答案】D

【分析】运用椭圆的定义求得，代入计算即可.

【详解】由题意知，，，

则.

故选：D.

9．已知函数的最大值为5．设点P、Q分别为的两条相邻对称轴上的动点，向量，且．为得到函数的图象，需要将的图象（    ）

A．先向右平移个单位，再向上平移1个单位

B．先向右平移个单位，再向上平移4个单位

C．先向右平移个单位，再向上平移1个单位

D．先向右平移个单位，再向上平移4个单位

【答案】B

【分析】根据题意求出，，再利用左加右减，上加下减，得到平移过程.

【详解】由题意得，当时，，解得，

因为，所以的两条相邻对称轴的距离为，

不妨设，，则，

所以，解得，

故，

其中，

故需要将的图象先向右平移个单位，再向上平移4个单位.

故选：B

10．已知是数列的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】运用累加法求得的通项公式，再运用裂项相消法求和即可.

【详解】解：当时，由累加法可得：，

所以（），

又因为，

所以（），

当时，，符合，

所以（），

所以，

所以．

故选：A.

11．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在一个球面上，且这个球的半径为5，则这个圆锥的体积的最大值时，圆锥的底面半径为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出圆锥体积，．运用导数研究函数的最值即可.

【详解】解：如图，设圆锥的底面半径为r，球半径，球心为O．

过圆锥的顶点P作底面的垂线，垂足为．则球心O必定在上，连接OB，则．

所以圆锥的高或者．要求体积的最大值，所以取．

则，．

令，．则，（），

，

，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，圆锥体积最大．

此时，．

故选：C.

12．已知数列为等差数列，，．数列是等比数列，，．设为正整数，定义函数，则关于函数的下列命题中，

①当时，则是函数的一条对称轴．

②当时，．

③当时，设函数．则对任意实数a，函数在区间上都有2022个零点．

其中是真命题的为（    ）

A．② B．②③ C．①③ D．①②③

【答案】B

【分析】先得出、通项公式，然后表示，根据对应函数的性质分析计算即可.

【详解】∵数列为等差数列，，．∴公差，即．

数列是等比数列，，．所以，，所以．

①当时，，所以，当时，．该命题为假命题．

②当时，，

所以．

该命题为真命题．

③当时，，

所以，且定义域满足，即，且．

令，可得，

所以对应零点为，或，或；亦即（舍去），

或，或（舍去）．

所以在区间上的零点等价于在区间上的零点．

又因为对任意实数a，在一个周期内有且只有两个零点，所以在上（共1011个周期）恰好有2022个零点．该命题为真命题．

故选：B

二、填空题

13．函数为定义在R上的奇函数，当时，，则______．

【答案】

【分析】利用奇函数的性质以及指数、对数运算可得答案

【详解】因为函数为定义在R上的奇函数，

所以，

又，且当时，，

所以，

故答案为：.

14．已知实数x、y满足设目标函数的最大值为M，最小值为m，则______．

【答案】

【分析】作出可行域，利用几何法，通过直线平移找到最值的情况，代入相关点即可得到答案.

【详解】由约束条件作出可行域如图，，即，

，即，

作出直线的平行直线簇，

结合图像可知当经过点时，截距取得最小值，

当直线与直线重合，截距取得最大值，

直线，令，解得，则，

代入直线得，

当直线与直线重合时得，

故.

故答案为：.

15．随着疫情解除，经济形势逐渐好转，很多公司的股票价格开始逐步上升．经调查，A公司的股价在去年年初（时）的股价是每股5元人民币，到了年末（时）涨到了每股6元人民币．经过建立模型分析发现，在第t个月的时候，A公司的股价可以用函数来表示，其中k为常数．假设A公司的股价继续按照上述的模型持续增长，则当A公司的股价涨到10元时，t的值约为______（结果精确到个位数，参考数据：，，．）

【答案】42

【分析】运用对数运算公式解指数方程即可.

【详解】解：因为A公司的股价在时是每股5元人民币，所以，所以．

经过12个月后，得到，所以．

根据题意，要股价涨到10元，则，所以，

所以．

故答案为：42.

16．设函数，若函数在上是单调减函数，则k的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据已知条件得恒成立，运用分离参数求最值即可.

【详解】解：∵定义域为，，在上是单调减函数，

∴恒成立；

∴，，

∵，，

，当且仅当时取等号.

∴，

∴，即：k的取值范围是．

故答案为：.

三、解答题

17．已知向量，，．函数．

(1)求函数的单调增区间；

(2)设，，求的零点组成的集合A．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）运用降次公式、辅助角公式化简得，运用同增异减列不等式可求得的单调增区间.

（2）解三角函数方程，运用特殊角的三角函数值计算即可.

【详解】（1）

．

由解得：，

所以的单调增区间为．

（2）由得到．所以，所以．

所以或，．

所以或，．

又因为，所以，，，．

所以集合．

18．如图所示，六棱锥的底面ABCDEF是一个正六边形，是这个正六边形的中心．已知平面ABCDEF．

(1)求证：平面平面PCE．

(2)若，且．求异面直线PF与BC的夹角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)．

【分析】（1）由线面垂直的性质定理证得，运用平面几何知识证得，再运用线面垂直的判定定理证得平面PAD，运用面面垂直的判定定理证得平面平面PEC.

（2）运用寻找平行线可得异面直线所成角，再运用余弦定理及同角三角函数的平方关系即可求得结果.

【详解】（1）证明：连接AD、CE，如图所示，

因为是正六边形的中心，

所以在直线AD上．所以平面PAD．

又因为平面ABCDEF，平面ABCDEF，

所以．

正六边形中，因为，且正六边形内角为120°，所以．

又因为△中，，，

所以．所以．

所以．

又因为AD、平面PAD，且AD=．

所以平面PAD．

又因为平面PEC，所以平面平面PEC．

（2）解：如图所示，因为，所以BC与PF的夹角等于．

连接，因为，，所以．

中，，，

由余弦定理得：．

所以异面直线PF与BC的夹角的正弦值就是．

19．2023年2月15日，四川省卫健委发布新版《四川省生育登记服务管理办法》，其中一条修订内容为“取消了对登记对象是否结婚的限制条件．”该修订内容在社会上引起了广泛的关注和讨论．某研究小组针对此问题，在四川某大学做了一项关于教职工、学生和学生家长对这一修订政策的态度调查，调查通过问卷形式完成，共回收了160份有效问卷．为了研究不同身份与对政策态度的相关性，该小组将人群分为“学生”、“教职工”、“家长”三种身份．被调查人需要对自己的态度区分为“支持政策”、“反对政策”和“有条件地支持（支持政策，但是认为需要对登记人再额外增加一些附加条件）”．研究结果如下表所示：

(1)为了研究校内人员身份（学生/教职工）与态度之间的关系，研究小组将“支持政策”和“有条件地支持”两个分类合并为“比较支持”组．试问，我们是否有的把握认为，校内人员的身份（学生/教职工）和态度（比较支持/反对）有关？

(2)如果从样本中反对政策的5名学生中随机抽取3个人，求其中学生A和学生B同时被选中的概率．

参考公式：．

【答案】(1)有

(2)．

【分析】（1）根据条件画出列联表，计算检验量对照参考表即可.

（2）一一列举可能出现的情况，计算概率即可.

【详解】（1）根据条件，重新画出列联表如下：

假设：校内人员的身份（学生/教职工）和态度（比较支持/反对）是相互独立的．

则统计检验量，

所以拒绝假设，我们有以上的把握认为校内人员的身份（学生/教职工）和态度（比较支持/反对）是相关的．

（2）记样本中反对政策的5名学生分别为A、B、C、D、E，则抽取三人可能取到的组合有：，，，，，，，，，共10种情况．

其中学生A和学生B同时被选中的有：，，，共3种情况．

所以概率为．

20．已知椭圆与抛物线的图象在第一象限交于点P．若椭圆的右顶点为B，且．

(1)求椭圆的离心率．

(2)若椭圆的焦距长为2，直线l过点B．设l与抛物线相交于不同的两点M、N，且的面积为24，求线段的长度．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用椭圆和抛物线的定义可以用表示点P的坐标，代入椭圆方程即可求出离心率；

（2）根据条件求出椭圆与抛物线的方程，设l方程及点M、N的坐标，由面积求得l方程，再由弦长公式即可求得.

【详解】（1）∵抛物线方程为∴其焦点为，抛物线的准线方程为．

设点，故到准线的距离为．

即，∴

因为点P在第一象限，代入抛物线方程解得．

根据点P在椭圆上，将P点坐标代入椭圆方程，化简得．

即，所以，则椭圆E的离心率．

故答案为：

（2）因为椭圆的焦距为2，所以，所以，

所以椭圆方程为．

抛物线的方程为．且，．

因为直线l过B且不与坐标轴垂直，不妨设直线l的方程为，，且．

设点，，联立l与

消去x得：．

所以，．

所以．所以．

故答案为：

21．已知函数，e是自然对数的底数，为实数．

(1)若函数的图象在处的切线方程过点，求实数a的值．

(2)若对任意实数，都有恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）利用导数的运算法则先求，再利用导数的几何意义求切线方程；

（2）先根据特殊位置时得出的范围，再构造新函数判断其最小值，从而证明满足必要性.

【详解】（1）因为，

所以函数的图象在处的切线斜率为，

又因为，

所以函数的图象在处的切线方程为：．

又因为这条切线过点，代入解得．

故答案为：.

（2）当时，，所以．

下面证明，当时，对任意实数，都有恒成立．

记，则，

令，得；令，得；

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以．

所以当，都有，又，

所以当时，对任意实数，都有恒成立．

综上所述，a的取值范围是.

故答案为：

22．在直角坐标系中，曲线C的的参数方程为，t为参数且．曲线C与x轴交与点A，与y轴交于点B．

(1)求证：．

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求以B为圆心，且过原点的圆B的极坐标方程．

【答案】(1)证明见解析

(2)．

【分析】（1）令，令分别求得点B、点A坐标，运用两点间距离公式计算即可.

（2）先写出直角坐标系下圆的标准方程，再根据，代入圆的方程化简即可.

【详解】（1）令，可得，所以；

令，可得，所以；

所以，

因为，所以．

（2）因为，所以圆B的普通方程为：．

展开得到：．

因为，，

所以得到圆B的极坐标方程为，

化简得：．

23．设．

(1)解关于x的不等式：．

(2)的最小值为m，且正实数a、b满足，求证：．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据给定条件，分段去绝对值符号解不等式作答.

（2）利用绝对值的三角不等式求出m，再利用均值不等式推理作答.

【详解】（1）依题意，当时，，解得：，

当时，成立，所以，

当时，，解得：，

综上得，，所以不等式的解集为．

（2），当且仅当，即时取等号，于是，

则正实数a、b满足，有，当且仅当时取等号，即，因此，

所以，当且仅当时取等号．