2023届四川省泸州市高三下学期第二次教学质量诊断性考试数学（文）试题含解析

2023届四川省泸州市高三下学期第二次教学质量诊断性考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用交集的定义可求得集合.

【详解】因为，，则.

故选：A.

2．若，则的虚部是（    ）

A． B．1 C． D．i

【答案】A

【分析】先利用共轭复数的定义与复数的四则运算计算，再利用复数虚部的定义即可得解.

【详解】因为，所以，

所以，

所以的虚部为.

故选：A.

3．某地区年夏天迎来近年来罕见的高温极端天气，当地气象部门统计了八月份每天的最高气温和最低气温，得到如下图表：

根据图表判断，以下结论正确的是（    ）

A．月每天最高气温的极差小于

B．月每天最高气温的中位数高于

C．月前天每天最高气温的方差大于后天最高气温的方差

D．月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差

【答案】D

【分析】根据给定的每天最高气温与最低气温的折线图，结合平均数、中位数、方差的意义逐项判断即可.

【详解】对于A选项，月每天最高气温的极差大于，A错；

对于B选项，月每天最高气温不低于的数据有个，其它都低于，

把个数据由小到大排列，中位数必小于，B错；

对于C选项，8月前天每天最高气温的数据极差小，波动较小，后天每天最高气温的极差大，数据波动很大，

因此月前天每天最高气温的方差小于后天最高气温的方差，C错；

对于D选项，月每天最高气温的数据极差大，每天最低气温的数据极差较小，

每天最高气温的数据波动也比每天最低气温的数据波动大，

因此月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差，D对.

故选：D.

4．已知抛物线C：的焦点是F，若点P是C上一点且横坐标为4，则的值是（    ）

A．2 B．4 C． D．5

【答案】C

【分析】直接根据抛物线的焦半径公式求解即可.

【详解】由抛物线C：，可知，则，

又点P是C上一点且横坐标为4，所以，

所以根据抛物线定义，可得.

故选：C.

5．平面与平面平行的充分条件是（    ）

A．内有无穷多条直线都与平行

B．直线，直线，且

C．内的任何一条直线都与平行

D．直线，且直线不在内，也不在内

【答案】C

【分析】根据面面平行的判定来判断即可.

【详解】C选项是面面平行的定义，A，B，D中，平面与平面相交时都有可能满足.

故选：C.

6．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（　　）

A． B． C．3 D．5

【答案】C

【分析】画出约束条件对应的平面区域，然后通过平移得到结果．

【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由得，

由图象知，当直线经过点C时，

直线的截距最大，此时z最大，

由，得，即，

此时，

故选C．

【点睛】本题主要考查线性规划的应用，准确作出不等式对应的区域是前提，准确解析出目标函数的几何意义是解题的关键．

7．若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（    ）

A．e B． C． D．

【答案】C

【分析】根据导数的几何意义得出实数k的值.

【详解】设直线与曲线相切于点，函数的导函数为，

则，解得.

故选：C

8．已知定义在R上的偶函数的周期为4，且当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据周期和奇偶性求函数值即可.

【详解】

故选：B

9．已知，，则的值是(    )

A． B．- C． D．-

【答案】D

【分析】先由题设条件判定值的正负，再求出的值得解.

【详解】，又，

，

，

解得.

故选：D

10．《九章算术》中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．现有“刍童”，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则该“刍童”的体积为（    ）

A．224 B．448 C． D．147

【答案】B

【分析】根据题意结合图形得到是“刍童”其中一条侧棱与与底面所成角的平面角，从而求得该刍童的高，进而根据刍童的体积公式即可求得结果．

【详解】连接，交于点，连接，交于点，连接，过作，如图，

.

因为“刍童”上、下底面均为正方形，且每条侧棱与底面所成角的正切值均相等，

所以底面，又，所以底面，

所以是“刍童”其中一条侧棱与底面所成角的平面角，则，

因为，所以，

易知四边形是等腰梯形，则，

所以在中，，则，即“刍童”的高为，

则该刍童的体积.

故选：B．

11．若双曲线的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆F与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB为菱形（O为坐标原点），则双曲线C的离心率（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】根据四边形OAFB为菱形，且圆的半径为，得到是正三角形，，则求解.

【详解】双曲线C的半焦距，

圆F过原点O.依题意易知是正三角形，

，

，

.

故选：D.

【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

12．已知两个不相等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先利用同构法与构造函数，将题设条件转化为，再利用导数研究函数的图象与性质，结合图像即可排除AD，利用特殊值计算即可排除B，再利用极值点偏移的解决方法即可判断C.

【详解】因为，，

所以，则，即，

令，则，，

当时，，则单调递减；

当时，，则单调递增,

所以，

对于，总有，即在上单调递增，

故，即在上恒成立，

所以对于，对于任意，在上取，

则，

所以当且趋向于0时，趋向于无穷大，

当趋向于无穷大时，趋向于无穷大，趋向于0，故趋向于无穷大，

所以的大致图像如图所示：

.

对于AD，因为，，不妨设，

由图象可知，，故，故AD错误；

对于B，假设成立，取，

则，显然不满足，故B错误；

对于C，令，又，

则，

所以在上单调递增，

又，则，即，

又，则，

因为，所以，又，在上单调递增，

所以，即，故C正确.

故选：C.

【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于利用同构法转化等式，从而构造函数，并研究其图像的性质，由此判断得解.

二、填空题

13．若向量，满足，，，则______．

【答案】##

【分析】利用转化法，结合向量的数量积运算即可得解.

【详解】因为，，，

所以，所以，

所以，

所以，

所以，

所以.

故答案为：.

14．写出使“函数为奇函数”的的一个取值______．

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据三角函数的性质得出，从而得出的一个取值.

【详解】因为函数为奇函数，所以.

即的一个取值为.

故答案为：（答案不唯一）

15．已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，若该圆柱的高是底面半径的2倍，则该圆柱的侧面积为________．

【答案】

【分析】根据题意求出球体的半径，再利用勾股定理圆柱的底面半径与高，从而求圆柱的表面积即可.

【详解】设圆柱外接球半径为，圆柱的底面半径为，则其高为，

由圆柱的性质得，外接球球心在上下底面圆心连线的中点处，则，

因为球的表面积为，所以，则，

又因为，即，所以，则，

所以圆柱的侧面积为：.

故答案为：.

.

16．在中，，D为BC的中点，则的最大值为______．

【答案】

【分析】先设，由三角形三边关系得到，再利用三角函数的诱导公式与余弦定理得到，从而利用换元与基本不等式求得的最小值，结合与在上的单调性即可求得的最大值.

【详解】设，则，

因为为的中点，，所以，

由三角形三边关系，可知且，解得，

在中，由余弦定理，得，

在中，由余弦定理，得，

因为，所以,

所以，解得，

则，，

令，则，，，

则，

当且仅当，即时，等号成立，此时，解得，

因为，所以．

因为在上单调递减，在单调递增，

所以当取得最小值时，取得最大值，

此时，则，

所以的最大值为.

故答案为：.

.

【点睛】关键点睛：本题中突破口为，由此得到，再结合余弦定理得到，最后利用基本不等式即可得解.

三、解答题

17．已知正项等比数列的首项，且，，成等差数列．

(1)求；

(2)在①；②这两个条件中任选一个作为条件，求数列的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）根据等差中项的性质结合通项公式得出；

（2）选①：由对数运算结合等差求和公式求解；选②：由等比数列求和公式结合分组求和得出．

【详解】（1）设正项等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以

即，解得，或（舍）

故

（2）选①：，则

选②：，则

18．某企业为合理规划某农产品价格，将该农产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（，2，3，4，5），如下表所示：

(1)若变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程；

(2)若（，2，3，4，5）表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值，当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“次数据”．现从5个销售数据中任取2个，求恰好取到2个“次数据”的概率．

（参考数据及公式：，，线性回归方程中，的最小二乘估计分别为，）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出，，，的值，代入公式求出即可；

（2）根据题意求出，从而利用判断得“次数据”的个数，再利用古典概型求概率的方法即可得解.

【详解】（1）依题意，得，，，，，

所以，

，

所以产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程．

（2）由（1）知，

当时，，此时；

当时，，此时；

当时，，此时；

当时，，此时；

当时，，此时；

所以销售数据中有3个“次数据”，不妨记为，另2个销售数据记为，

则从5个销售数据中任取2个的基本事件有，共10件，

其中恰好取到2个“次数据”（记为事件）的基本事件有，共3件，

所以.

19．如图，在斜三棱柱中，，侧面为菱形，且，点D为棱的中点，，平面平面．

(1)若，，求三棱锥的体积；

(2)设平面与平面ABC的交线为l，求证：l⊥平面．

【答案】(1)

(2)证明见详解

【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而根据锥体的体积公式运算求解；

（2）先根据线面平行的判定定理证明平面，再根据线面平行的性质定理证明，即可得结果.

【详解】（1）取的中点，连接，

∵，则，

又∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

由题意可得：为等边三角形，则，

可得，则为直角三角形，

即三棱锥的高为，

故三棱锥的体积.

（2）取的中点，连接，

∵分别为的中点，则，，

又∵为的中点，则，，

∴，，

则为平行四边形，可得，

平面，平面，

∴平面，

又∵平面，平面平面，

∴，

由（1）可得：平面，

故平面.

20．已知函数，．

(1)求函数的单调减区间；

(2)已知曲线在点（，2，3）处的切线互相平行，且，求证：．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）利用导数并讨论与的大小，从而得出函数的单调减区间；

（2）由导数的几何意义得出，结合二次函数的对称性得出，再由的取值，证明不等式.

【详解】（1）

当时，，函数在上单调递增，无减区间；

当时，，得，即函数的单调减区间为；

当时，，得，即函数的单调减区间为；

综上，当时，无减区间；当时，函数的单调减区间为；

当时，函数的单调减区间为；

（2）当时，在上单调递减；

当时，，

在上单调递减，在上单调递增.

曲线在点（，2，3）处的切线互相平行，

从而互不相等，所以，不妨设，

则，

即，，

则，且，所以，

故，即.

故.

所以．

【点睛】易错点睛：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

21．已知椭圆C：的焦点，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过点F的直线l与C交于A，B两点，过点F与l垂直的直线与C交于M，N两点，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合，得出椭圆C的方程；

（2）讨论直线l的斜率存在和为0的情况，联立直线和椭圆方程，由韦达定理结合数量积运算得出，再由基本不等式得出所求范围.

【详解】（1）由题意可知，，解得，

故椭圆C的方程为；

（2）当直线l的斜率不存在时，，

，

当直线l的斜率为0时，，

，

当直线l的斜率存在且不为0时，设其方程为，则直线的方程为，

由，得，

设，则，

同理可得，

因为，

所以

因为（当且仅当时，取等号），

所以，

综上，.

【点睛】关键点睛：在解决问题二时，关键是将向量的数量积转化为韦达定理的形式，再由基本不等式得出范围.

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．

(1)写出的直角坐标方程；

(2)已知点，若l与C交于A，B两点，且，求m的值．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）先利用正弦函数的和差公式化简直线的极坐标方程，再利用代入即可得解；

（2）结合（1）中条件写出直线过点的参数方程，再利用三角函数的平方关系求得曲线C的直角坐标方程，联立方程，利用参数的几何意义得到关于的方程，从而得解.

【详解】（1）因为，

所以，即，

又，则，即，

所以直线的直角坐标方程为.

（2）由（1）可得直线的方程为，

则点落在直线上，且直线的斜率为，

所以直线的倾斜角为，又，

所以直线过点的参数方程为（为参数），

因为曲线C的参数方程为（为参数），

所以曲线C的直角坐标方程为，

将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得，整理得，

则，解得，

不妨设方程的两根为，则，

由直线参数方程的参数的几何意义可知，

则，解得或，皆满足题意，

所以或.

23．已知函数．

(1)若，恒成立，求实数的取值范围；

(2)若的最小值为5，且正数a，b，c满足．求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由绝对值三角不等式得，由题意知，从而求得的取值范围；

（2）先由题意得，再利用柯西不等式即可得证．

【详解】（1）由绝对值三角不等式得，

当且仅当时，等号成立，

所以，

因为，恒成立，则，即，

所以或，即或，

所以的取值范围为．

（2）由（1）知，的最小值为，所以，解得或，

因为，所以，所以，

则，故，

所以由柯西不等式得，

当且仅当且，即时，等号成立，

又，

所以，故.