2023届四川省绵阳市高三第二次诊断性考试数学（文）试题含解析

2023届四川省绵阳市高三第二次诊断性考试数学（文）试题

一、单选题

1．若，则在复平面内，复数所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】化简得，即可得复数所对应的点所在的象限.

【详解】解：因为，

所以，

即，

所以复数所对应的点位于第四象限.

故选：D.

2．已知，，若，则（    ）

A．0或4 B．1或4 C．0 D．4

【答案】A

【分析】根据集合的包含关系及集合元素的互异性即可求得的值.

【详解】且，

或

当时，，满足题意；

当时，得或

当时，，满足题意；

当时，带入集合中，不满足集合得互异性.

综上：可取0，4

故选：A

3．由专业人士和观众代表各组成一个评委小组给文艺比赛参赛选手打分，其中观众代表凭个人喜好打分，专业人士执行评分标准打分．如图是两个评委组对同一名选手打分的茎叶图，则下列结论正确的是（    ）

A．甲组的平均分高于乙组的平均分

B．乙组更像是由专业人士组成的

C．两组的总平均分等于甲组的平均分和乙组的平均分的平均数

D．两组全部分数的方差等于甲组的方差和乙组的方差的平均数

【答案】C

【分析】根据数据，求出甲乙两组的平均分，可判断A项；根据数据的分散集中程度，可判断B项；根据甲乙两组人数相同，可说明C项；根据总体方差公式，可判断D项.

【详解】对于A项，甲组平均分为，乙组平均分为，故A项错误；

对于B项，由茎叶图可得，甲组分数分布更加集中，乙组的分数更为分散，所以甲组更像是由专业人士组成的，故B项错误；

对于C项，因为甲乙两组人数相同，所以两组的总平均分等于甲组的平均分和乙组的平均分的平均数，故C项正确；

对于D项，设甲组平均数为，方差为，乙组平均数为，方差为，总体平均数为，总体方差为.根据总体方差公式，可得，显然，，故D项错误.

故选：C.

4．如图，在边长为2的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点D），点F为BC的中点，则（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】A

【分析】利用向量的线性运算得，再利用数量积的计算公式计算即可.

【详解】在边长为2的等边中, BD为中线，则

故选：A

5．设命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示焦点在轴上的双曲线，若为真，则实数的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据椭圆定义求出命题为真时的范围，根据双曲线定义求出命题为真时的范围，再根据命题和命题均为真求解即可.

【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆，则，

解得，

即命题为真时，；

方程表示焦点在轴上的双曲线，则，

解得，

即命题为真时，；

若为真，则命题和命题均为真，

，

故选：A.

6．寒假即将来临，秀秀计划在假期阅读《西游记》、《战争与和平》、《三国演义》、《水浒传》四部著作，每周看一部，连续四周看完，则《三国演义》与《水浒传》在相邻两周看完的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用捆绑法求出《三国演义》与《水浒传》在相邻两周看完的排法数，再利用古典概型的公式求解即可.

【详解】将《三国演义》与《水浒传》捆绑在一起当成一个元素有种排法，

《三国演义》与《水浒传》之间排序有种排法，

故《三国演义》与《水浒传》在相邻两周看完有种排法，

则《三国演义》与《水浒传》在相邻两周看完的概率

故选：B.

7．已知各项均为正数的等比数列，前n项和为，若，则n的值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【分析】先根据条件列出等比数列基本量的方程，求出基本量，再利用等比数列的通项公式计算即可.

【详解】设等比数列的公比为，

若，则，无解；

若，则，解得，

，解得

故选：C.

8．函数的部分图像如图所示，且．则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C．在区间上为减函数 D．

【答案】D

【分析】结合图像以及，计算未知数，得出，结合函数的基本性质分析即可.

【详解】观察图像可知，且，

且，解得或，

观察图像可知,故，

则，综上，故A错误；

则，则，故B错误；

时，，单调递增，故C错误；

，又结合图像可知在区间上为减函数，

，故，故D正确；

故选：D

9．设双曲线的右焦点为，以原点为圆心，焦距为直径长的圆与双曲线在轴上方的交点分别为，，若，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据双曲线的对称性结合双曲线的定义，利用点在在圆上，结合勾股定理可求得，即可得，从而可确定双曲线的渐近线方程.

【详解】解：如图，设双曲线的左焦点为，连接

由双曲线与圆的对称性可得，由由双曲线的定义可得，

所以，由点在圆上，所以，即，

则，故，则，

所以双曲线的渐近线方程为.

故选：B.

10．已知函数，，，则函数的零点个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】先求时，函数的零点，再根据为偶函数，可得时，函数还有一个零点，由此可得答案.

【详解】当时，，所以不是函数的零点，

因为，所以，所以为偶函数，

当时，，，，

令，得，令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在时取得最大值，

所以当时，有唯一零点，

又函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以在时，还有一个零点，

综上所述：函数的零点个数为.

故选：A

11．已知，点P满足，直线，当点P到直线l的距离最大时，此时m的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由可求出点P的轨迹方程为，数形结合，当时， 此时点P到直线l的距离最大，计算即可求得m的值.

【详解】 ，设，则，

， ，化简得，

即点P的轨迹方程为，圆心为，半径为2，

，化简为，

由 ，解得，即直线恒过定点，

设定点为,如图，当时，此时点P到直线l的距离最大，

， ， ，

，.

故选：C.

12．设，则x，y，z的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】若，则，，，构造、并并利用导数研究在上的单调性，即可判断大小关系.

【详解】由，，，

若，则，，，

令且，则，

所以在上递减，故，即，

令且，则在上递减，

若，则，可得，故上，递增，

而，且在上，

所以，即，

综上，.

故选：A

【点睛】关键点点睛：由，则，，，构造、研究大小关系.

二、填空题

13．已知，则________．

【答案】

【分析】直接利用两角和的正切公式计算即可.

【详解】

故答案为：

14．若变量x，y满足不等式组，则的最小值是_______．

【答案】

【分析】问题化为直线与可行域有交点时数轴上的截距最小，数形结合找到最小时直线所过的点，即可得结果.

【详解】由约束条件可得可行域如下：

要使最小，即直线与可行域有交点时数轴上的截距最小即可，

由图知：当过的交点时，.

故答案为：

15．已知函数，若对，都有成立，则实数a的最大值为___________．

【答案】

【分析】将变形为，令，则函数在上单调递减，即在上恒成立，转化为最值问题即可.

【详解】，，

由得，

整理得，

令，则函数在上单调递减，

即在上单调递减，

在上恒成立，

即在上恒成立，

即在上恒成立，

即在上恒成立，

又，

，

实数a的最大值为

故答案为：.

16．已知为抛物线：的焦点，过直线上任一点向抛物线引切线，切点分别为A，，若点在直线上的射影为，则的取值范围为______．

【答案】．

【分析】设，，，利用导数的几何意义确定切线方程后，得出切点弦所在直线方程，得直线过定点，从而确定在以为直径的圆上，由到圆心的距离确定出的最大值与最小值，从而得范围，注意点的特殊位置，的最大值取不到．

【详解】设，，，不妨设在轴上方，

时，，，所以切线的方程为，

代入得，又，∴，

得，同理可得．

因此直线的方程为，直线过定点，

，∴在以为直径的圆上，该圆圆心，半径为1，

由已知，，∴的最大值为，最小值为，

时，直线方程为，此时，与轴垂直，点与点重合，即，点不可能与点重合，最大值取不到．

所以的范围是．

故答案为：．

【点睛】方法点睛：

（1）直线与抛物线相切的切线方程：一种方法用导数的几何意义求解，另一种方法由判别式等于0求解，由此可得过抛物线上的点的抛物线的切线方程为；

（2）圆外的点到圆上点的距离的最值：求出圆外点到圆心距离，记圆半径为，则这个距离的最大值为，最小值不．

三、解答题

17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

(1)求a的值；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由正弦定理边化角，然后利用三角公式计算即可；

（2）先利用数量积公式求出，再利用余弦定理可求得.

【详解】（1），

由正弦定理边化角得

，

，

；

（2）

，

，

，

解得

18．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且为等差数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)已知，是否存在，使得恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)；

(2)存在，或；

【分析】（1）由题设且，应用关系求数列通项公式；

（2）由（1）知，构造且并利用导数研究单调性判断是否存在最大值，即可得结论.

【详解】（1）由题设且，

当时，，可得；

当时，，则；

由，故，

所以是首项、公差均为1的等差数列，故.

（2）由（1）知：，要使，即恒成立，

令且，则，

若，即，则，

在上，递增，上，递减，

所以在有最大值，又，

对于，当时，，当时，，

综上，，故存在或使恒成立.

19．某县依托种植特色农产品，推进产业园区建设，致富一方百姓．已知该县近年人均可支配收入如下表所示，记年为，年为，…以此类推．

(1)使用两种模型：①；②的相关指数分别约为，，请选择一个拟合效果更好的模型，并说明理由；

(2)根据（1）中选择的模型，试建立关于的回归方程．（保留位小数）

附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

参考数据：，令，．

【答案】(1)应选择

(2)

【分析】（1）根据越大，模型拟合效果越好，可确定所选模型；

（2）令，利用最小二乘法可求得，进而得到回归方程.

【详解】（1），根据统计学知识可知：越大，模型拟合效果越好，

应选择模型.

（2）令，

，，

，

又，

，，

关于的回归方程为.

20．已知点A为椭圆的左顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于B，C两点．

(1)记直线AB，AC的斜率分别为，试判断是否为定值?并说明理由；

(2)直线AB，AC分别交直线于M，N两点，当时，求线段MN长度的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先表示出，再设出直线方程，利用韦达定理代入即可求解.

（2）首先表示出、点的坐标，再结合第一问，利用韦达定理得到然后得到关于的表达式，再结合的范围，即可求解.

【详解】（1）设、，由题可知，，则，，所以①.由题意，可设所在的直线方程为，与椭圆联立可得可得，所以由韦达定理可知，，，又，，代入和，可得，将其代入①式，可得，所以,是定值.

（2）由（1）可知，设所在直线方程为，所在的直线方程为，则由题意可知、，又由（1）知，则，即，化简可得，又因为，所以，则,即.

21．已知函数．

(1)当时，求的极值；

(2)设在区间上的最小值为，求及的最大值．

【答案】(1)极大值，极小值0

(2)，的最大值为0，

【分析】（1）由极值的概念求解，

（2）根据的取值分类讨论求解的单调区间后得，再由导数判断单调性后求解最大值，

【详解】（1）当时，，

，

当或时，，

当时，，

故在和上单调递增，在上单调递减，

的极大值为，极小值为，

（2），，

当时，，在上单调递增，在区间上的最小值为，

当时，当或时，，

当时，，

故在和上单调递增，在上单调递减，

在区间上的最小值为，

当时，同理得在和上单调递增，在上单调递减，

若，在区间上的最小值为，

若，在区间上的最小值为

综上，

令，则 ，

故在上单调递增，

可知在上单调递增，故的最大值为0，

22．在极坐标系中，若点为曲线上一动点，点在射线上，且满足，记动点的轨迹为曲线．

(1)求曲线的极坐标方程；

(2)若过极点的直线交曲线和曲线分别于两点，且的中点为，求的最大值．

【答案】(1)或（或）

(2)

【分析】（1）当在线段上时，可确定或；当不在线段上时，设，采用相关点法可求得设点轨迹；综合两种情况可得结论；

（2）当时，重合，不合题意；当，设，与曲线和曲线的极坐标方程联立可得，由此用表示出，结合正弦型函数值域求法和的单调性可求得最大值.

【详解】（1）当在线段上时，由得：或；

当不在线段上时，设，则，

，，即，

又，；

综上所述：曲线的极坐标方程为或（或）.

（2）若曲线为（或），此时重合，不合题意；

若曲线为，

设，

由得：，

由得：，

是中点，，

令，

，，，即，

又在上单调递增，

（当且仅当时取等号），即，

的最大值为.

23．已知函数，若的解集为．

(1)求实数，的值；

(2)已知均为正数，且满足，求证：．

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）根据求出，再分类讨论解不等式，与已知解集比较可得；

（2）由，得，根据基本不等式得，再根据可证不等式成立.

【详解】（1）因为的解集为，所以，即，所以，

又，所以，即.

所以，

当时，,得，则，

当时，，得，

当时，，得，不成立，

综上所述：的解集为，

因为的解集为．所以.

（2）由（1）知，，所以，

所以，当且仅当，时，等号成立，

所以，

所以，当且仅当，时，等号成立.