2023届河南省高三3月联考数学（理）试题含解析

这是一份2023届河南省高三3月联考数学（理）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河南省高三3月联考数学（理）试题 一、单选题1．若的展开式中的系数为40，则k＝（    ）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】先求得的展开式的通项公式，再根据的系数为40求解.【详解】因为的展开式的通项公式为，且的系数为40，所以，即，解得.故选：C2．已知非空集合，集合，则的取值集合与集合的交集为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由一元二次方程有解和对数型函数的定义域，分别求解的取值集合与集合，取交集即可．【详解】若集合是非空集合，则一元二次方程有解，即，解得或，所以的取值集合为，集合即函数的定义域：，解得，所以的取值集合与集合的交集是，故选：C．3．已知向量和，在上的投影为正数，p：，q：或，则p是q的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由和在上的投影是正数，求得x的值，再利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：若，则，即，得或，又因为在上的投影是正数，所以，所以，即成立，但不成立，所以p是q的充分不必要条件，故选：A．4．作为惠民政策之一，新农合是国家推出的一项新型农村合作医疗保险政策，极大地解决了农村人看病难的问题．为了检测此项政策的落实情况，现对某地乡镇医院随机抽取100份住院记录，作出频率分布直方图如下：已知该医院报销政策为：花费400元及以下的不予报销；花费超过400元不超过6000元的，超过400元的部分报销65%；花费在6000元以上的报销所花费费用的80%．则下列说法中，正确的是（    ）A．B．若某病人住院花费了4300元，则报销后实际花费为2235元C．根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为80%的概率为D．这100份花费费用的中位数是4205元【答案】C【分析】由频率和为1列方程判断A；求出该病人在医院住院报销金额判断B；根据样本中可报销80%的占比为0.15判断C；根据样本中消费费用小于4000的直方图的面积判断D．【详解】由频率分布直方图得，解得，故A错误；该病人在医院住院消费了4300元，报销金额为元，所以此人实际花费为元，故B错误；样本中可报销80%的占比为0.15，所以该医院可报销为80%的概率为，故C正确；样本中消费费用小于4000的直方图的面积为，所以中位数在内，所以消费费用的中位数的估计值为元，故D错误．故选：C．5．已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正切函数的单调性得到，结合正弦函数和余弦函数的值域得到最大，再利用诱导公式得到，结合余弦函数的单调性即可比较和，从而求解.【详解】因为在单调递增，且，所以，又因为，，则，，因为在单调递减，，所以，则，所以．故选：B．6．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由得出，再根据诱导公式及二倍角公式得出，代入计算即可．【详解】由得，则，故选：A．7．已知数列的前n项和为，且，则（    ）A． B．2n C． D．【答案】D【分析】首先令求出数列首项，再根据得，两式相减得，然后构造等差数列，通过等差数列通项公式求解数列的通项公式，进而求出的通项公式.【详解】令，由可得：，两式作差可得：，化简整理可得：，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，进而可得：．故选：D．8．已知实数a，b满足，则的最小值是（    ）A．1 B．2 C．4 D．16【答案】A【分析】将已知表示成一个以为圆心，1为半径的圆，将问题转化为圆上一点到直线距离最小值问题，从而找到解题关键.【详解】依题意可知曲线表示一个以为圆心，1为半径的圆，求的最小值相当于先求的最小值，即求圆上一点到直线的距离d的最小值，所以，即的最小值为1．故选：A．  9．已知抛物线C：，直线l经过定点，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，满足，则p＝（    ）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】联立直线与抛物线方程，根据根与系数的关系，结合向量数量积的坐标运算即可代入求值.【详解】易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，，．联立，消去x，得，则，．∵，∴，∴．故选：C．10．在四边形ABCD中，，，则的最大值为（    ）A．25 B． C． D．【答案】B【分析】设（），在中，根据正弦定理得到，在中，根据余弦定理和三角函数值得到，从而得到，再在中，由余弦定理得到，结合正弦函数的图像与性质，即可求解.【详解】设（），则，在中，由正弦定理可得，又，在中，，，则，则，在中，由余弦定理可得，即，又，则，所以当，即时，取得最大值为．故选：B．11．已知正三棱柱的底面边长，其外接球的表面积为，D是的中点，点P是线段上的动点，过BC且与AP垂直的截面与AP交于点E，则三棱锥的体积的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据外接球的表面积求解球半径，利用正三棱柱的外接球球心位置结合勾股定理可得棱柱的高，进而根据点的轨迹在以AF为直径的圆上,即可确定点到底面ABC距离的最大值,最后利用体积公式求解即可.【详解】外接球的表面积为，可得外接球半径为.因为正三棱柱的底面边长，所以,所以的外接圆半径为，设三棱柱的侧棱长为h，则有，即侧棱，设BC的中点为F，作出截面如图所示，因为，,所以，所以点E在以AF为直径的圆上，当点E在的中点时，此时点到底面ABC距离的最大，且最大值为，因为，所以此时点P在线段上，符合条件，所以三棱锥的体积的最大值为．故选：A．12．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P为第一象限内一点，且点P在双曲线C的一条渐近线上，，线段与双曲线C相交于点M，直线与y轴相交于点N，轴，则双曲线C的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意求出点P坐标，继而表示出直线和的方程，根据点N位置求出求出点N坐标，根据，求出点M坐标，将M坐标代入曲线方程即可求出离心率.【详解】设双曲线C的焦距为2c，由可得点P在圆上，联立方程，可解得点P的坐标为，直线的方程为，令，可得点N的坐标为，直线的方程为，令，解得，可得点M的坐标为，将点M的坐标代入双曲线C的方程有，有，化解得，解得．故选:D． 二、填空题13．已知a为实数，为纯虚数，则______．【答案】2【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据纯虚数的定义列方程求解a的值.【详解】为纯虚数，所以且，解得.故答案为：2.14．为了庆祝新年的到来,某校“皮影戏”社团的6名男同学,2名女同学计划组成4人代表队代表本校参加市级“皮影戏”比赛,该代表队中有队长,副队长各一名,剩余两名为队员.若现要求代表队中至少有一名女同学,一共有______种可能.【答案】【分析】先分类:代表队中有1名女同学和有2名女同学,再选出队长,副队长各一名即可得到结果.【详解】若代表队中有1名女同学,此时共有种可能;若有2名女同学,则共有种可能,所以一共有种可能.故答案为:.15．已知等腰的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，成等差数列，点D为外接圆劣弧上一点（不含端点），若，则______．【答案】5【分析】利用等差中项及余弦定理求出角B，设，利用圆周角定理求出，，从而利用正弦定理求出，进一步求出.【详解】因为，，成等差数列，所以，即，即，因为，所以，因为是等腰三角形，所以是正三角形，设的边长为x，，易得，根据圆周角定理，有，所以，，在中，根据正弦定理有，同理在中，，，所以．故答案为：516．若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】根据给定条件，求导并构造函数，分和讨论，结合导函数与函数单调性、最值的关系即可.【详解】令，则，，令，，则，则函数在上单调递减，有，当时，，即，则在上为减函数，，不等式恒成立时，，解得，若，，则存在，使得，于是在上单调递增，在上单调递减，此时，有，不符合题意，综上所述，不等式恒成立时，实数a的取值范围是．故答案为：.【点睛】关键点睛：本题的关键在于合理地进行分类讨论，首先对于较为简单的进行讨论，对时，需要再次找到函数单调的分界点，即，对于时，需采用隐零点法结合不等式放缩即可. 三、解答题17．已知正项数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前n项和，且．求数列的通项公式．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用换底公式和累乘法求出数列的通项公式；（2）由作差法求出数列的通项公式．【详解】（1）已知（且），设，则，所以，当时，．即，所以，当时，符合上式，所以；（2），当时，，当时，，则．18．某社区对是否愿意参与2023年元旦文艺与体育活动进行调查，随机抽查男性居民，女性居民各35人，参与调查的结果如下表： 愿意参与不愿参与男性居民15人20人女性居民25人10人 (1)从已知数据判断能否有95%的把握认为是否愿意参与文艺和体育活动与性别有关；(2)用分层抽样方法，在愿意参与的居民中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记抽到的男性居民人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828  【答案】(1)有95%的把握认为是否愿意参与文艺和体育活动与性别有关(2)分布列见解析， 【分析】（1）根据给定的数表，结合的计算公式，求出的观测值并与临界值表比对作答；（2）根据分层抽样原则可确定8人中，男性居民和女性居民应抽取的人数，则可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值.【详解】（1）由已知得列联表： 愿意参与不愿参与总计男性居民152035女性居民251035总计403070 因为．所以有95%的把握认为是否愿意参与文艺和体育活动与性别有关；（2）用分层抽样方法，在愿意参与的居民中抽取8人，男性居民应抽取3人，女性居民应抽取5人，再从这8人中随机抽取3人，记抽到的男性居民为X，则X的可能取值为0，1，2，3．，，，，所以X的分布列为：X0123P 所以．19．已知圆柱的底面圆心为O，底面直径，圆柱的高为4，C为圆弧的中点，为圆柱的一条母线，D为AC的中点，E为CD的中点．(1)证明：；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由平面证明，然后再结合证明平面， 从而证明；（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，从而计算出平面和平面的法向量，最后计算出二面角的余弦值．【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，又因为，，所以平面，因为平面，所以；（2）解：由题意分别以CA，CB，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，所以，，，则，，则，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，所以，所以，即二面角的余弦值为．20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且椭圆的离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)相互垂直且斜率存在的直线，都过点，直线与椭圆相交于 、 两点，直线与椭圆相交于 、 两点，点为线段的中点，点为线段的中点，证明：直线过定点．【答案】(1).(2)直线过定点，证明见解析. 【分析】(1)根据椭圆过点及离心率为，列方程组求解；(2) 将直线方程与椭圆方程联立得到二次方程，用韦达定理表示出中点、的坐标，由对称性可知直线所过x轴上的定点，由三点共线列出方程可解出为定值.【详解】（1）设点，的坐标分别为、，由题意有解得故椭圆的标准方程为；（2）证明：设直线的斜率为，可得直线的斜率为，设点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为，联立方程消除后有，有，可得，，同理，，由对称性可知直线所过的定点必定在 轴上，设点的坐标为，有，有，化简得，解得，故直线过定点．21．已知函数．(1)若，求在点处的切线方程；(2)若（）是的两个极值点，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）求导，得切点处的导数值，根据点斜式即可求解切线方程；（2）根据极值点的定义，可得方程的两个根，根据韦达定理代入化简，将问题转化成，构造函数，结合导数证明即可.【详解】（1）当时，，则，，，所以在处的切线方程为,即；（2）证明：由，可知，因为（）是的极值点,所以方程的两个不等的正实数根，所以，，则．要证成立，只需证，即证，即证，即证，即证，设，则，即证，令，则，所以在上单调递减，则，所以，故．【点睛】本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.22．在平面直角标系xOy中，曲M的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．(1)求曲线M的普通方程；(2)若D为曲线M上一动点，求D到l距离的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用求得的普通方程；（2）将直线的极坐标方程化为普通方程，设点，利用点到直线的距离公式结合正弦型函数的有界性可求得点到直线距离的范围．【详解】（1）由题意可知：，由可得，所以的普通方程为；（2）直线l可化简为，将代入直线l可得，设，则，，∴．23．已均为正数，且，证明：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）利用题意构造基本不等式，再利用柯西不等式证明即可；（2）构造基本不等式即可证明.【详解】（1）证明：由柯西不等式可得，当且仅当时取等号．即，则原式成立；（2）证明：．当且仅当时取等号.