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2023届江西省九所重点中学高三第二次联考联合考试数学(文)试题含解析
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这是一份2023届江西省九所重点中学高三第二次联考联合考试数学(文)试题含解析,共18页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023届江西省九所重点中学高三第二次联考联合考试数学(文)试题 一、单选题1.已知全集,集合,,则( )A. B. C. D.【答案】D【分析】根据集合的交集与补集的概念及运算,即可求解.【详解】由题意,全集,,可得,因为集合,所以.故选:D.2.下面是关于复数(为虚数单位)的命题,其中假命题为( )A. B.的共轭复数为 C.的虚部为-1 D.【答案】B【分析】先利用复数除法运算化简复数,然后求解复数的模、共轭复数、虚部及,从而确定假命题【详解】因为复数,所以z的虚部为-1,的共轭复数为,,,故假命题为:的共轭复数为,故选:B3.已知函数对任意自变量都有,且函数在上单调.若数列是公差不为的等差数列,且,则的前项之和是( )A. B. C. D.【答案】B【分析】由已知可得函数的图象关于直线对称,再结合函数及数列单调性可得,然后利用等差数列前n项和公式计算作答.【详解】因为函数对任意自变量都有,于是函数的图象关于直线对称,数列是公差不为的等差数列,则数列是单调数列,又函数在上单调,由得,所以的前项之和是.故选:B4.设为任一实数,表示不超过的最大整数,表示不小于的最小整数,例如,,,,那么“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据给定的信息,结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】对于实数,依题意,,而,因此,若,如取,有,显然,所以“”是“”的充分不必要条件,A正确.故选:A5.函数的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】C【分析】先判断函数的定义域及奇偶性进行排除,根据0到第一个零点处的函数值正负,即可判断选项C,D的正误.【详解】解:由题知,定义域为,解得,所以,故为奇函数,排除A,B;令可得,即,解得,当时,,,此时,故选项D错误,选项C正确.故选:C6.荀子《劝学》中说:“不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”我们可以把看作是每天的“进步”率都是1,一年后是;而把看作是每天“退步”率都是1,一年后是.若经过200天,则“进步”的值大约是“退步”的值的( )(参考数据:,,)A.40倍 B.45倍 C.50倍 D.55倍【答案】D【分析】根据给定条件,求出经过200天的“进步”的值和“退步”的值,再结合对数与指数运算求解作答.【详解】依题意,经过200天的“进步”的值为,“退步”的值为,则“进步”的值与“退步”的值的比,两边取对数得:,因此,所以“进步”的值大约是“退步”的值的55倍.故选:D7.将函数的图像向左平移个单位长度,得到函数的图像,若函数在上单调递增,则的最小值为( )A.2 B. C.3 D.4【答案】A【分析】根据正弦型函数的图像变换性质,结合余弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】因为函数的图像向左平移个单位长度,得到函数的图像,所以,当时,,因为函数在上单调递增,所以有,因此的最小值为.故选:A.8.设,,,则a,b,c的大小关系为( ).A. B. C. D.【答案】B【分析】由,,可得解.【详解】由,且,所以,即.又,即.综上:.故选:B.9.2023年是农历癸卯兔年,在中国传统文化中,兔被视为一种祥瑞之物,是活力和幸福的象征,寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔图》,该绢本设色画纵约176cm,横约95cm,其挂在墙壁上的最低点离地面194cm.小南身高160cm(头顶距眼睛的距离为10cm),为使观赏视角最大,小南离墙距离应为( )A. B.76cm C.94cm D.【答案】D【分析】由题意只需最大,设小南眼睛所在的位置点为点,过点做直线的垂线,垂足为,求出,,设,则,求出,,代入,利用基本不等式求解即可.【详解】由题意可得为锐角,故要使最大,只需最大,设小南眼睛所在的位置点为点,过点做直线的垂线,垂足为,如图,则依题意可得(cm),(cm),,设,则,且,,故,当且仅当即时等号成立,故使观赏视角最大,小南离墙距离应为cm.故选:D.10.已知长方体中,底面为正方形且边长为2,侧棱长为4,以为球心,为半径的球面与侧面的交线长为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】设以为球心,为半径的球面与侧面交于两点,因为平面,则所求即为以为圆心,半径为作圆与面的交线,又,,则根据弧长公式即可求得结果.【详解】设以为球心,为半径的球面与侧面交于两点,因为平面,平面,所以,则,故,所以点为的中点,,,因为平面,则以为球心,为半径的球面与侧面的交线,即为以为圆心,半径为作圆与面的交线,在中,,则,所以,所以弧长为.故选:C.11.已知双曲线的左右焦点记为,,直线过且与该双曲线的一条渐近线平行,记与双曲线的交点为P,若所得的内切圆半径恰为,则此双曲线的离心率为( )A.2 B. C. D.【答案】A【分析】设,,的方程为:,与双曲线的方程联立可得点的坐标,设,,直线的倾斜角为, 则,运用三角形面积相等,双曲线的定义,可得关于、的方程,由即可得离心率.【详解】设双曲线的左焦点、右焦点,设双曲线的一条渐近线方程为:,可得直线的方程为:,由可得: ,即,设,,可得,即,整理可得:,即,由双曲线的定义可得:,所以,设直线的倾斜角为,在中,, ,,所以,所以,所以,整理可得:,解得:或(舍),所以双曲线的离心率为,故选:A.12.已知函数,若恒成立,则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】依题意可得,进而可得在上恒成立,构造函数,利用导数研究函数的单调性以及最值,即可求出参数的取值范围.【详解】等价于.令函数,则,故是增函数.等价于,即.令函数,则.当时,,单调递增:当时,,单调递减..故实数a的取值范围为.故选:C. 二、填空题13.设向量满足,则__.【答案】【详解】∵||=2,||=|+|=3,∴=4, =9,∴+2•+=9,故2•=﹣4,故+4•+4=4+36﹣8=32,故|+2|=4,故答案为4.14.在一组样本数据的散点图中,若所有样本点都在曲线附近波动.经计算,,,则实数的值为_________.【答案】【分析】根据题意,得到,进而得到方程,即可求解.【详解】根据题意,把对应的点的坐标代入曲线的方程,即,所以因为,,,可得,所以.故答案为:.15.写出与圆和抛物线都相切的一条直线的方程_____________.【答案】或(写出其中之一即可)【分析】首先设切线为,根据题意得到,,即可得到答案.【详解】由题知:与圆和抛物线都相切的直线存在斜率,设切线方程为,所以,化简得:.又,因为,所以,解得或.当时,,.当时,,舍去.所以切线方程为或.故答案为:或(写出其中之一即可)16.如图C是圆台母线AB的中点,BD是底面的直径,上底面半径为1,下底面半径为2,AB=2,点M是弧BD的中点,则C、M两点在圆台侧面上连线长最小值的平方等于______.【答案】##【分析】将圆台展开为平面图形,结合几何位置关系在中利用余弦定理求解.【详解】因为圆台上底面半径为1,下底面半径为2,AB=2,所以该圆台是由底面半径为2,母线长为4的圆锥所截得,所以圆锥的侧面展开图的弧长为,所以圆锥的侧面展开图的圆心角为,即侧面展开图为一个半圆,所以圆台侧面展开图为一个半圆环, 沿母线展开如图所示,,.,由余弦定理可得:.故答案为: . 三、解答题17.已知等差数列的前项和为,(1)求 和.(2)若数列成等比数列,且,求【答案】(1),(2) 【分析】(1)首先根据题意得到,再解方程组即可得到答案.(2)根据题意得到,,即可得到答案.【详解】(1)设等差数列的公差为,由,得方程组 ,解得.所以,.(2)由(1)知,所以.因为所以数列的公比.所以,所以.18.江西省新高考改革自2021年执行,在取消文理科后实行“”考试模式,即除语数外三科,学生需从物理、历史2科中任选1科,化学、生物、政治、地理4科任选2科参加高考.某学校为了解学生对全理(选择物理、化学、生物)的选择是否与性别有关,从该校高一年级的500名男生和400名女生中按男女分层随机抽样抽取90人进行模拟选科,经统计,选择全理的人数比不选全理的人数多10人. 选择全理不选择全理合计男生 15 女生 合计 (1)完成上面的列联表并判断是否有99.5%的把握认为选择全理与性别有关;(2)为了解学生选科的理由,随机选取了男生4名,女生2名进行座谈,再从中抽取2名代表作问卷调查,求至少抽到一名女生的概率.附:,其中.0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828 【答案】(1)填表见解析;有99.5%的把握认为选择全理与性别有关;(2). 【分析】(1)根据给定的数据信息完善列联表,再计算的观测值,与临界值表比对作答.(2)利用列举法结合古典概率、对立事件的概率公式求解作答.【详解】(1)依题意,高一男生的人数为,则女生人数为,而选择全理的人数比不选全理的人数多10人,则选择全理的人数为50,不选全理的人数40,所以列联表为: 选择全理不选择全理合计男生351550女生152540合计504090 的观测值,所以有99.5%的把握认为选择全理与性别有关.(2)设“至少抽到一名女生”为事件A,设4名男生分别为1,2,3,4,两名女生分别为5,6,从6名学生中抽取2名学生的所有可能结果为:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种.不包含女生的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种.所以至少抽到一名女生的概率.19.如图,点C在直径为的半圆O上,垂直于半圆O所在的平面,平面.且.(1)证明:平面平面(2)若,,异面直线与所成的角是,求三棱锥的外接球的表面积【答案】(1)证明见解析;(2). 【分析】(1)根据给定条件,证明平面,再借助线面平行可得,然后利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.(2)取的中点M,连接,确定球心为M,再计算球半径及表面积作答.【详解】(1)因为点C在半圆O上,为直径,则,而平面,平面,于是,又平面,则有平面,由知点共面,又平面,平面平面,平面,因此,即有平面,又DE在平面ADE内,所以平面平面(2)由(1)知,,因为,则为与所成的角,即,则,平行四边形中,,因为平面,则有平面,平面,则,又,平面,于是平面,而平面,从而,取的中点M,连接,如图,因此,则点M是三棱锥的外接球球心,而,所以三棱锥的外接球表面积.20.已知椭圆的左、右焦点分别为 ,点在椭圆上,,若的周长为6,面积为.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点的直线交椭圆于两点,交轴于点,设,试判断是否为定值?请说明理由.【答案】(1)(2)为定值,理由见解析 【分析】(1)根据题意得到,再解方程组即可得到答案。(2)首先直线的方程为,与椭圆联立得到,,根据得到,同理可得,再计算即可。【详解】(1)设椭圆C的焦距为2c,因为的周长为6,面积为,所以,由①得:,将此式代入②得:,所以,所以或当时,,,所以不满足题意;当时,,,所以满足题意.所以椭圆C的方程为.(2)由题可得直线斜率存在,由(1)知,设直线的方程为,则联立,消去,整理得:,设,则,,又,则,由可得,所以,同理可得,所以所以为定值.21.设函数.(1)当时,求在上的最值;(2)对,不等式恒成立,求实数的范围.【答案】(1),;(2). 【分析】(1)通过导数结合三角函数值域可求得最值;(2)结合(1)及不等式放缩可得满足题意;对于与,找到使不成立的关于的区间,综上可得的范围.【详解】(1)时,,..则在上单调递增,故,.即, .(2),.当时,.由(1)知时,,∴;当时, ,∴.即时, ; 当时,,时,,不合题意.当时,则. 令,则 .当时,,∴在单调递增,又,∴存在使,则当时,.∴在单调递减,此时,则不合题意综上.【点睛】关键点点睛:本题涉及与三角函数有关求函数最值及函数恒成立求参数问题,难度较大.对于含有三角函数问题,常利用结合不等式放缩判断相关导数符号确定函数单调性;求参数范围可利用分类讨论的手段,而分类讨论的标准可由题目前面小问找到相关提示.22.在平面直角坐标系中,圆的方程为,圆以为圆心且与圆外切.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆的参数方程与极坐标方程.(2)若射线与圆交于点,与圆交于点且,求直线的斜率.【答案】(1)(为参数),(2) 【分析】(1)根据直角坐标方程和参数方程与极坐标方程的转化关系即可;(2)根据极坐标方程的几何意义,求出直线的倾斜角即可.【详解】(1)因为圆以为圆心且与圆外切,所以其半径为.所以圆的普通方程为.圆的参数方程为(为参数)由得由得圆的极坐标方程为(2)由题意得所以把代入得则是的两个根,所以解得所以所以所以直线的斜率为23.已知正数满足.(1)求证:(2)若正数满足,求证:【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】(1)首先根据题意得到,,,再利用不等式的性质即可证明.(2)首先根据三个正数均值不等式得到,再根据证明即可.【详解】(1)因为为正数,所以(当且仅当时,取等号).同理可得(当且仅当时取等号),(当且仅当时取等号). 因为正数满足,所以(当且仅当时取等号)(2)因为正数满足.所以因为正数满足,所以 =(当且仅当时取等号).
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