2023届甘肃省兰州市第五十七中学高三第一次模拟考试数学（理）试题含解析

2022-2023学年甘肃省兰州市第五十七中学第一次模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知全集．集合，，则阴影部分表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先化简集合，根据图阴影表示集合，再进行集合运算．

【详解】，，，

由题得阴影部分表示集合，

或

所以，

阴影部分表示的集合是．

故选：C

【点睛】本题主要考查维恩图，考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2．如果复数是纯虚数，那么实数m等于（    ）

A．﹣1 B．0 C．0或1 D．0或﹣1

【答案】D

【分析】先对复数化简，然后使其实部为零，虚部不为零，从而可求出实数m的值

【详解】解：，

因为复数为纯虚数，

所以 且，

解得或，

故选：D

3．设，，则“或”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由原命题和逆否命题同真假，把问题转化为判断“”是“且”的什么条件，利用充分条件和必要条件的定义验证即可.

【详解】问题可等价转化为判断“”是“且”的什么条件．

时，可以，不能推出且；

反之，当且时，一定有.

因此“”是“且”的必要不充分条件，

从而“或”是“”的必要不充分条件.

故选：B．

4．分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象，图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形则当时，该黑色三角形内共去掉个小三角形

A．81 B．121 C．364 D．1093

【答案】C

【详解】分析：观察图形可得，有如下规律，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的倍加，从而可得结果.

详解：由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的倍加，所以，时，；

时，；

时，；

时，；

时，；

时，，故选C.

点睛：常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.

5．下列函数既是奇函数又是增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由函数的单调性和奇偶性，逐项判断即可得解.

【详解】对于A，函数为偶函数，故A错误；

对于B，函数的定义域为，所以该函数为非奇非偶函数，故B错误；

对于C，函数在整个定义域内不单调，故C错误；

对于D，函数，所以该函数为奇函数且单调递增，故D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的判断，考查了运算求解能力，属于基础题.

6．如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则＝（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.

【详解】解：

故选：C.

【点睛】本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题.

7．已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，则实数k的值为（    ）

A．－1 B． C． D．1

【答案】D

【解析】由题意知，且不等式组所表示的平面区域如图所示，直线与直线的交点，利用三角形的面积公式，即可得到答案。

【详解】由题意知，且不等式组所表示的平面区域如图所示.

∵直线与轴的交点为，

直线与直线的交点为，

∴三角形的面积为××＝，

解得或，经检验，不符合题意，∴.

故选：D

【点睛】本题考查线性约束条件下，已知平面区域的面积求参数值，考查数形结合思想和运算求解能力。

8．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则（    ）

A．23 B．32 C．35 D．38

【答案】C

【解析】由题可得数列是公差为的等差数列，由可求出.

【详解】由题意可得年龄构成的数列是公差为的等差数列，

且，解得.

故选：C.

9．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题意可得,，

，

，．故A正确．

【解析】三角函数单调性．

10．某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（   ）

A．30种 B．36种

C．42种 D．48种

【答案】C

【分析】法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法即可；法二：分甲、乙同组和甲、乙不同组进行讨论即可

【详解】法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法，

即

法二：分两类，

甲、乙同组，则只能排在15日，有种排法，

甲、乙不同组，有种排法，故共有42种方法

故选：C

11．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是（    ）

A．  B．

C．(1，2) D．(2，＋∞)

【答案】A

【分析】先求得双曲线的渐近线方程y＝±x，即bx±ay＝0，将圆的方程可化为(x－a)2＋y2＝a2，根据双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，由<a，求得c>2b，即c2>4b2，再结合b2＝c2－a2求解.

【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，

圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为(a，0)，半径r＝a，

由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，

得<a，即c>2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，

所以c2>4(c2－a2)，即c2<a2，

所以e＝<，又知e>1，

所以双曲线C1的离心率的取值范围为.

故选：A

【点睛】本题主要考查双曲线离心率范围的求法以及直线与圆的位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

12．若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】函数的导函数，对进行分析可知，利用导数在函数单调性中的应用，可知当时，函数在R上单调，不可能有两个零点； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，要使函数有两个零点，只需的最小值小于零即可，由此即可求出结果.

【详解】函数的导函数.

当时，恒成立，函数在R上单调递减，不可能有两个零点；

当时，令，得，

函数在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为.

令，则.

当时，单调递增；当时，单调递减，

所以，

所以的最小值为，函数有两个零点．综上所述，实数的取值范围是.

故选：D.

【点睛】本题考查了函数零点的个数与函数图象和横轴交点的转换，属于中档题．

二、填空题

13．若，则的值为______．

【答案】8

【分析】利用赋值法即可求解

【详解】令，则；

令，则，

两式相加除以2可得．

故答案为：8

14．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的，分别为176，320，则输出的为______．

【答案】16

【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的值.

【详解】由，，，且不满足，

则，

由，则，

由，则，

由，则，

由，则，

由，则，

由，则，

由，退出循环，输出．

故答案为：16．

15．若椭圆的中心在原点，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为______．

【答案】

【分析】联立直线与椭圆方程，由韦达定理以及中点坐标公式即可求解.

【详解】法一：（直接法）椭圆的中心在原点，一个焦点为，设椭圆方程为，由，消去，

得，

设直线与椭圆相交所得弦的端点分别为，，

则

由题意知，解得．

所求椭圆方程为．

法二：（点差法）椭圆的中心在原点，一个焦点为，设椭圆的方程为．

设直线与椭圆相交所得弦的端点分别为，，

则

得

，

即，

又弦的中点的纵坐标为1，故横坐标为-2，

，代入上式得，解得，故所求的椭圆方程为．

故答案为：

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则sinA+sinC的最大值是 ______ ．

【答案】

【分析】根据条件及正弦定理，求得角B与A的关系，然后利用三角形内角和转化为C与A的关系，利用降幂公式转化为sinA的二次函数型表达式，进而根据角A的取值范围求得最大值．

【详解】∵acosA=bsinA,∴，

又由正弦定理得，

∴，

∵，

∴.

∴.

∴.

∴.

∵，

∴，

∴.

∴当时,sinA+sinC取得最大值.

【点睛】本题考查了三角函数化简求值，正弦定理的简单应用，降幂公式的用法，三角函数最值的求解等，综合性较强，属于中档题．

三、解答题

17．已知的三个内角的对边分别为，若角成等差数列，且，

（1）求的外接圆直径；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）1；（2）.

【分析】（1）由角、、成等差数列，及三角形内角和定理可求，根据正弦定理得的外接圆直径的值；

（2）由（1）知，，，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，结合范围，利用正弦函数的性质可求的取值范围.

【详解】（1）由角、、成等差数列，

所以，

又因为，

所以，

根据正弦定理得，的外接圆直径.

（2）由（1）知，，

所以，所以，

由（1）知的外接圆直径为1，根据正弦定理得，，

．

，，

，

从而，

所以的取值范围是，

【点睛】本题主要考查了正弦定理、三角函数恒等变换的应用，考查正弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

18．如图所示，在四面体中，，平面平面，，且.

（1）证明：平面；

（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值.

【答案】（1）见证明；（2）

【分析】（1）根据面面垂直的性质得到平面，从而得到，利用勾股定理得到，利用线面垂直的判定定理证得平面；

（2）设，利用椎体的体积公式求得 ，利用导数研究函数的单调性，从而求得时，四面体的体积取得最大值，之后利用空间向量求得二面角的余弦值.

【详解】（1）证明：因为，平面平面，

平面平面，平面，

所以平面，

因为平面，所以.

因为，所以，

所以，

因为，所以平面.

（2）解：设，则，

四面体的体积 .

，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

故当时，四面体的体积取得最大值.

以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则，，，，.

设平面的法向量为，

则，即，

令，得，

同理可得平面的一个法向量为，

则.

由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.

【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的性质，线面垂直的判定，椎体的体积，二面角的求法，在解题的过程中，注意巧用导数求解体积的最大值.

19．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：

                               表1

为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，得到下表2：

                  表2

(1)求z关于t的线性回归方程；

(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；

(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？

 (附：对于线性回归方程，其中)

【答案】（1）；（2）；（3）千亿元.

【分析】（1）由所给数据看出，算出平均数，利用最小二乘法求出b，a，写出线性回归方程．

（2）t＝x﹣2010，z＝y﹣5，代入z＝1.2t﹣1.4得到y关于x的回归方程；

（3）把所给的x的值代入线性回归方程，求出变化以后的预报值，得到结果．

【详解】：（1），，，，

，

，

所以.

（2）将，，代入，

得，即.

（3）因为，

所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元.

【点睛】本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，考查回归方程的意义和求法，考查数据处理的基本方法和能力，考查利用统计思想解决实际问题的能力．

20．已知直线与焦点为F的抛物线相切.

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【分析】（Ⅰ）联立和，利用即可求得，从而得到抛物线方程；（Ⅱ）设直线为，与抛物线联立后可利用韦达定理求得，进而得到；由中点坐标公式可求得中点；利用点到距离之和等于点到的距离的倍，可将所求距离变为关于的函数，求解函数的最小值即可得到所求距离之和的最小值.

【详解】（Ⅰ）将与抛物线联立得：

与相切    ，解得：

抛物线的方程为：

（Ⅱ）由题意知，直线斜率不为，可设直线方程为：

联立得：

设，，则    

线段中点

设到直线距离分别为

则

    当时，

两点到直线的距离之和的最小值为：

【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到根据直线与抛物线的位置关系求解抛物线方程、抛物线中的最值问题的求解等知识；求解最值的关键是能够将所求距离之和转变为中点到直线的距离，利用点到直线距离公式得到函数关系，利用函数最值的求解方法求得结果.

21．设函数．

（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；

（2）讨论函数零点的个数．

【答案】(1)2;(2)见解析

【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；

（2）令g（x）＝0，得到；设，通过讨论m的范围，根据函数的单调性结合函数的草图求出函数的零点个数即可．

【详解】解：（1）当m＝e时，，∴

当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上是减函数；

当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在x∈（e，+∞）上是增函；

∴当x＝e时，f（x）取最小值．

（2）∵函数，

令g（x）＝0，得；

设，则′（x）＝﹣x2+1＝﹣（x﹣1）（x+1）

当x∈（0，1）时，′（x）＞0，（x）在x∈（0，1）上是增函数；

当x∈（1，+∞）时，′（x）＜0，（x）在x∈（1，+∞）上是减函数；

当x＝1是（x）的极值点，且是唯一极大值点，∴x＝1是（x）的最大值点；

∴（x）的最大值为，又（0）＝0结合y＝（x）的图象，

可知：①当时，函数g（x）无零点；

②当时，函数g（x）有且只有一个零点；

③当时，函数g（x）有两个零点；

④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；

综上：当时，函数g（x）无零点；

当或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；

当时，函数g（x）有且只有两个零点；

【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查函数的零点个数问题，是一道中档题．

22．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程：

(2)若直线与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为，求的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）消去参数t可得曲线C的方程，利用公式法转化得到直线l的直角坐标方程；

（2）利用直线l的参数方程中t的几何意义求解.

【详解】（1）∵（t为参数），∴，所以，

所以曲线C的方程为

又∵，，∴

所以直线l的直角坐标方程为；

（2）∵在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）

设A，B对应的参数分别为与

将直线l的参数方程代入到得．

∴，

∴，，

∵，

∴，

所以．

23．已知函数

（1）当时，解不等式；

（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）用平方法去绝对值将绝对值不等式转化为一元二次不等式，即可求解．

（2）将转化为，，即证即可．将函数转化为分段函数，根据各段的单调性即可求得的最小值．

【详解】（1）当时，由得，

两边平方整理得，解得或

∴原不等式的解集为

（2）由得 ，令，即

当时，单调递减，

当时， 单调递增，

当时，单调递增，

故 ，

故可得到所求实数的范围为．