2023届甘肃省兰州市五十九中高三下学期高考模拟考试数学（理）试题含解析

2023届甘肃省兰州市五十九中高三下学期高考模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则中元素的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】求得集合的元素，由此求得的元素，从而确定正确选项.

【详解】依题意，

其中满足的有，

所以，有个元素.

故选：B

2．已知复数，则

A． B．的实部为 C．的虚部为 D．的共轭复数为

【答案】C

【详解】分析：由题意首先化简复数z，然后结合z的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法.

详解：由复数的运算法则可得：，

则，选项A错误；

的实部为，选项B错误；

的虚部为，选项C正确；

的共轭复数为，选项D错误.

本题选择C选项.

点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3．已知向量，，．若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量共线坐标表示得方程，解得结果.

【详解】因为，所以,选C.

【点睛】本题考查向量共线，考查基本分析与求解能力，属基础题.

4．执行如图所示的程序框图,输出的s值为(　　)

A．2 B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：时，成立，第一次进入循环：；成立，第二次进入循环：；成立，第三次进入循环：，不成立，输出，故选C.

【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.

5．函数f(x)=的零点所在的一个区间是

A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）

【答案】B

【详解】试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B．

【解析】本试题主要考查了函数零点的问题的运用．

点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．

6．若等差数列的前项和满足， ，则（    ）

A． B．0 C．1 D．3

【答案】B

【详解】根据等差数列的性质仍成等差数列，则，则

，，选B.

7．若是正数，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先根据题意得到，再利用基本等式求最小值即可.

【详解】

当且仅当或时取等号.

故选：C

【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查学生分析问题的能力，属于简单题.

8．已知函数f(x)＝a sin x－b cos x(a，b为常数，a≠0，x∈R)在x＝处取得最小值，则函数是（    ）

A．偶函数且它的图象关于点(，0)对称 B．偶函数且它的图象关于点对称

C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点(，0)对称

【答案】D

【分析】由辅助角公式化f(x)＝a sin x－b cos x＝sin (x＋φ)，tan φ＝－，再由最小值点求得，得出函数的表达式，然后判断各选项．

【详解】f(x)＝a sin x－b cos x＝sin (x＋φ)，tan φ＝－.

∵f(x)在x＝处取得最小值，∴＋φ＝2kπ－ (k∈Z)，∴φ＝2kπ－ (k∈Z)，

∴＝sin ＝－sin (－x)＝sin x，

∴是奇函数，且图象关于点(kπ，0)(k∈Z)对称.

故选：D.

9．中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则名同学所有可能的选择有

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】D

【分析】分两类求解：(1)甲选《春秋》；(2)甲不选《春秋》；分别求出可能的选择情况，再求和即可得出结果.

【详解】(1)若甲选《春秋》，则有种情况；

(2)若甲不选《春秋》，则有种情况；

所以名同学所有可能的选择有种情况.

故选D

【点睛】本题主要考查计数原理，熟记排列组合的概念等即可，属于常考题型.

10．若双曲线 上存在一点P满足以为边长的正方形的面积等于（其中O为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：由条件，，又P为双曲线上一点，从而，∴，∴，

又∵，∴．

【解析】双曲线的离心率．

11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)，在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】设P(x,y)，由求得点轨迹是圆，又在已知圆上，判断出两圆相交后可得点个数．

【详解】设P(x,y)，则(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，圆心为，半径为2，又圆圆心为，半径为2，

因为，

所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2.

故选：B.

12．设函数，则使得成立的的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本道题目结合奇函数的判定条件和单调函数满足的条件，建立不等式，即可得出答案．

【详解】,所以为奇函数,

        ,所以单调递增

,转化成

 得到,解得x满足，故选B．

【点睛】本道题目考查了奇函数判定条件和单调函数的性质，注意判断与0的关系．

二、填空题

13．已知在直角三角形中，，点是斜边的中点.则__________.

【答案】4

【分析】由题意以为坐标原点，CA边为x轴，CB边为y轴建立直角坐标系，求出各点坐标，利用向量坐标和向量数量积的坐标计算方法即可求解.

【详解】由题意以为坐标原点，建立直角坐标系，

可得C(0，0)，，，，

故可得，，，

∴，

故.

故答案为：4.

14．已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，，则此球的表面积等于______．

【答案】8π

【分析】根据球和直三棱柱的对称性可知，直三棱柱的外接球球心是上下底面的三角形的外接圆的圆心连线的中点，根据几何关系，在直角三角形内利用勾股定理即可求出外接球半径.

【详解】设直三棱柱的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点，

∴直三棱柱的外接球的球心为线段的中点，

设的外接圆半径为，直三棱柱的外接球的半径为，如图所示：

在中，，

由余弦定理得：，

由正弦定理得：，

在中，，

，

直三棱柱的外接球的表面积为：，

故答案为：8π.

15．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是________.

【答案】

【分析】先求导函数，递减小于0，再解含参数的不等式分类讨论即可.

【详解】，

由题意知，在上有实数解，

即有实数解，

当时，显然满足，

当时，只需

综上所述

故答案为：

【点睛】本题考查导函数的单调性，及含参数的不等式有解求参数的取值范围问题.

16．命题p：实数a满足；命题q：函数的定义域为．若命题p∧q为假，p∨q为真，则实数a的取值范围为________.

【答案】

【分析】分别求出当命题为真命题时的取值范围，由为假，为真可得“真假”或“假真”，分两种情况分别求解即可．

【详解】当命题p为真时，即，解得或；

当命题q为真时，可得对任意恒成立，

若a＝0，则满足题意；

若，则有，解得,

所以，

∵p∧q为假，p∨q为真，∴“p真q假”或“p假q真”，

①当p真q假时，则，∴或；

②当p假q真时，则，∴．

综上，实数a的取值范围是.

故答案为：.

三、解答题

17．已知△ABC中，C＝，角A，B，C的对边分别为a，b，c.

(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；

(2)若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值.

【答案】(1)7

(2)2＋.

【分析】（1）由等差数列的性质把用表示，然后由余弦定理可求得；

（2）设B＝θ，求出外接圆半径后由正弦定理把用表示，从而把三角形周长表示为的函数，由三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数后，利用正弦函数性质得最大值．

【详解】（1）∵a，b，c依次成等差数列，且公差为2，

∴b－a＝c－b＝2，∴b＝c－2，a＝c－4，

∵C＝，由余弦定理得

cos ＝＝＝－，

整理得c2－9c＋14＝0，解得c＝7或c＝2，

又a＝c－4>0，则c>4，∴c＝7.

（2）设B＝θ，外接圆的半径为R，则πR2＝π，

解得R＝1，由正弦定理可得

＝＝＝2R＝2，

∴＝＝＝2，

可得b＝2sin θ，a＝2sin ，c＝，

∴△ABC的周长＝2sin θ＋2sin ＋

＝2sin θ＋2sin cos θ－2cos sin θ＋

＝sin θ＋cos θ＋＝2sin ＋，

又θ∈，∴<θ＋，

∴当θ＋＝，即θ＝时，△ABC的周长取得最大值2＋.

18．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.

(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；

(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列.

【答案】(1)2.3

(2)分布列见解析

【分析】（1）人均次数等于总的“爱心送考”次数除以200；

（2）由题意知X的所有可能取值为0，1，2，求出对应概率，进而得出分布列．

【详解】（1）由统计图，得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，

所以该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为＝2.3．

（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，

由题意知X的所有可能取值为0，1，2，则

P(X＝0)＝P(D)＝＝，

P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，

P(X＝2)＝P(C)＝＝.

所以X的分布列为

19．如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.

（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;

（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．

【详解】（Ⅰ）由已知得.

取的中点，连接，由为中点知，.

又，故，四边形为平行四边形，于是.

因为平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）取的中点，连结.由得，从而，且

.

以为坐标原点， 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，

，，，，

， ，.

设为平面 的一个法向量，则

即

可取.

于是.

【解析】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角．

【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．

20．已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．

（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；

（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

【答案】(Ⅰ) ，；

(Ⅱ)见解析.

【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；

(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论.

【详解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，

故抛物线方程为：，其准线方程为：.

(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，

设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.

故：.

设，则，

直线的方程为，与联立可得：，同理可得，

易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，

且：，，

则圆的方程为：，

令整理可得：，解得：，

即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.

【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

21．已知曲线的参数方程为(为参数，)．点在曲线上，直线l过点P，且倾斜角为．

（1）求点P在曲线上对应的参数θ的值；

（2）求直线l被曲线截得的线段的长度．

【答案】（1）；（2）6．

【分析】（1）由题知，再结合得；

（2）根据题意得直线的方程，再把曲线化为普通方程得，进而得直线过圆心，进而得答案.

【详解】解：（1）曲线S的参数方程为(为参数，)．点在曲线S上，

所以，由于，

所以．

（2）曲线的参数方程为(为参数，)转换为直角坐标方程为，

直线l过点，且倾斜角为，

所以直线的方程为，

由于圆心在直线上，故直线l被曲线S截得的线段成为圆的直径6．

【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆相交的弦长问题，考查运算求解能力，本题解题的关键在于写出直线l的方程，曲线的普通方程得直线l过圆心，进而得答案.

22．已知函数.

(1)解不等式；

(2)若，，，，求证：.

【答案】(1)或

(2)证明见解析

【分析】（1）根据绝对值不等式的解法求解即可；

（2）由，得，两边平方后利用作差法证明即可.

【详解】（1）由，得，

即或，解得或，

综上所述，不等式的解集为或.

（2）证明：由，得，

因为，，所以，，

所以 ，

所以，则，

则.