2023届海南省临高县高三模拟考试数学试题含解析

2023届海南省临高县高三模拟考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先用列举法求出集合，然后根据交集法则求出的结果。

【详解】解：因为，

所以，

因为，

所以

故选：C.

【点睛】本题考查了集合的运算—交集，解题的关键是正确理解交集的定义，属简单题．

2．宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为．假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则出站后“绿巨人”速度首次达到时加速度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求导，利用导数的运算、瞬时变化率进行求解.

【详解】因为，

所以；

令，得，

解得或（舍去)；

则当时，，

即速度首次达到时加速度为．

故选：B.

3．复平面内正方形三个顶点分别对应复数，，，则另一个顶点对应的复数为（    ）

A． B．

C． D．，或

【答案】A

【分析】结合向量的知识，利用或者，求另一顶点对应的复数．

【详解】设复数，，对应的点分别为，

正方形的第四个顶点对应的复数为，

则，

．

∵，

∴,解得

故D点对应的复数为．

故选：A.

【点睛】本题考查复平面内点的表示及复数的运算问题，考查学生对于课本基本知识点的掌握程度，较易.

4．下列函数中，最小正周期为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据周期公式即可求解.

【详解】解：对A：最小正周期；

对B：最小正周期；

对C：最小正周期；

对D：最小正周期.

故选：B.

5．若曲线在点(1，f(1))的切线为，则有(   )

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据导数的几何意义可知，，由此可求a；根据切线和y＝f(x)都过点(1，f(1))可求b.

【详解】x＝1代入得y＝1，则f(1)＝1，

则①，

，则，即②

联立①②，求得，．

故选：B．

6．函数的图象恒过定点（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】令2x-3=1得x=2, ,故过点, 故选D．

7．给定下列四个命题:

命题①: ;命题②: ;

命题③: ;命题④: .

其中真命题的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据不等式的性质逐项分析①③④，利用指数函数的单调性判断②.

【详解】①中，当时，不成立，是假命题；

②中，是R上的单调递减函数，所以时，，是真命题；

③中，当时，右边成立，而左边不成立，是假命题；

④中，，是真命题.

故选：B

8．已知的三个内角所对边长分别是，若，则角的大小为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由正弦定理得，化简得，故.

点睛：本题主要考查正弦定理的应用，考查利用正弦定理进行边角互化的方法.由于题目所给已知条件一边是角的形式，另一边是边的形式，由此我们考虑将两边同时化为边或者同时转化为角的形式，考虑到正弦定理，故将角转化为边，然后利用余弦定理将式子转化为余弦值，由此求得的 大小.

二、多选题

9．一个人的领导力由五种能力—影响力､控制力､决断力､前瞻力和感召力构成.如图是某企业对两位领导人领导力的测评图，每项能力分为三个等级，“一般”记为3分､“较强”记为4分､“很强”记为5分，把分值称为能力指标，则下列判断正确的是（    ）

A．甲､乙的五项能力指标的均值相同

B．甲､乙的五项能力指标的方差相同

C．如果从控制力､决断力､前瞻力考虑，乙的领导力高于甲的领导力

D．如果从影响力､控制力､感召力考虑，甲的领导力高于乙的领导力

【答案】AB

【分析】结合测评图读出五种能力的指标，计算出均值即可

【详解】甲的五项能力指标分别为3, 4, 5, 4, 5，平均值为，

乙的五项能力指标分别为5, 3, 4, 5, 4，平均值为，

则A正确

甲乙数据指标一样，只是顺序不同，所以方差也相同，则B正确

甲的控制力､决断力､前瞻力指标分别为5，4，5，平均值为

乙的控制力､决断力､前瞻力指标分别为4，5，4，平均值为

如果从控制力､决断力､前瞻力考虑，甲的领导力高于乙的领导力，故C错误，

甲的影响力､控制力､感召力指标分别为4，5，3，平均值为

乙的影响力､控制力､感召力指标分别为3，4，5，平均值为

如果从影响力､控制力､感召力考虑，甲的领导力和乙的领导力相同，故D错误.

故选：AB

10．在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BC

【解析】根据椭圆定义，由AB选项中的式子，可判断AB的正误；对于CD选项，将式子化简整理，即可判断出CD的正误.

【详解】A选项，表示动点到定点和的距离等于，即，所以点的轨迹是线段，故A错；

B选项，表示动点到定点和的距离等于，即，满足椭圆定义，所以表示焦点在轴上，焦距为，长轴长为的椭圆，故B正确；

C选项，由可得，整理得显然表示椭圆，故C正确；

D选项，由可得，则，显然不表示椭圆，故D错.

故选：BC.

11．下列说法正确的是（    ）

A．若且，则，至少有一个大于2

B．，

C．若，，则

D．的最小值为2

【答案】AC

【分析】根据逆否命题的真假性即可判断A，根据幂的运算性质即可判断B，根据不等式的性质即可判断C,根据对勾函数的单调性即可判断D.

【详解】对于A,若，均不大于2，则 ，则 ，故，则，至少有一个大于2为真命题，故A正确，

对于B, B. ，，故 B错误，

对于C,由得，由得，所以，故C正确，

对于D，由于 ，函数 在单调递增，故，D错误，

故选:AC

12．已知函数，则下列说法中正确的有（    ）

A．函数的图象关于点对称

B．函数图象的一条对称轴是

C．若，则函数的最小值为

D．若，，则的最小值为

【答案】BCD

【分析】根据点关于点对称的点不在函数图象上，判断A不正确；

根据判断B正确；

求出函数在上的值域可判断C正确；

根据函数的最大值，结合推出，再根据的最小正周期为可得的最小值为，可得D正确.

【详解】在的图象上取一点，其关于点对称的点不在的图象上，所以函数的图象不关于点对称，故A不正确；

因为，所以函数图象的一条对称轴是，故B正确；

若，则，所以，故C正确；

因为，所以，所以，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．下列命题中正确的有______．

①若是空间三个非零向量，且满足，则；

②回归直线一定过样本中心．

③若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；

④用相关指数来刻画回归效果，越接近0，说明模型的拟合效果越好；

【答案】②③

【分析】根据数量积的运算判断①，利用线性回归直线方程性质判断②，利用方差的性质判断③，利用相关指数的含义判断④

【详解】①当，时，，但与不一定相等，错误；

②由回归直线方程的性质知，回归直线一定过样本中心，正确；

③方差描述的是数据的波动程度，都加上相同数值后波动程度不变，正确；

④相关指数来刻画回归效果，越接近1，说明模型的拟合效果越好，错误；

综上，正确的命题有②③.

故答案为：②③

14．若，则___________.

【答案】

【分析】求得展开式的通项公式，令k=1，可得，由题意得，即为的系数，即可得答案.

【详解】展开式的通项公式为：，

令k=1，得，

又，

则即为的系数，即为-20.

故答案为：-20.

15．设椭圆（a>b>0）的左、右焦点分别为、，其焦距为2，点Q（，）在椭圆内部，点P是椭圆上动点，且|PF1|+|PQ|<6|F1F2|恒成立.则椭圆离心率的取值范围是__________.

【答案】，．

【分析】点在椭圆的内部，所以，，由，且，要恒成立，即．

【详解】点在椭圆的内部，，．

所以

又因为，且，

要恒成立，即

所以，，则椭圆离心率的取值范围是，．

故答案为： ，．

【点睛】本题主要考查了椭圆的方程、性质，椭圆的离心率，考查了椭圆中的范围问题的求法，转化思想是解题关键．

16．在数列中，，（n∈），若，则当取得最小值时，整数的值为___________.

【答案】4

【分析】由递推关系式求得值，结合即可得解.

【详解】，，，

，，，

，

又，则当取得最小值时，整数的值为4.

故答案为：4.

四、解答题

17．在中，内角所对的边分别是，已知．

（1）求证：为等腰三角形；

（2）若是钝角三角形，且面积为，求的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）利用切化弦将角化成，利用三角变换公式以及正弦定理可证；

（2）利用面积公式和余弦定理可得．

【详解】（1）由得：，

则，

，，，

由正弦定理可知：，则为等腰三角形.

（2）由题意得：，解得：，

∵为钝角三角形，且，为钝角，，

由余弦定理得：，

.

【点睛】本题考查了正余弦定理、三角形的面积公式，属中档题．

18．已知等差数列的前项和为，且满足，.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】(1) ;(2) .

【分析】(1)由题意结合等差数列的性质可得，据此列方程组可得：，结合等差数列通项公式可得；

(2)由题意结合(1)的结论和等差数列前n项和公式可得，裂项求和可得.

【详解】（1）由得，即

，即；

（2）由（1）知

∴

∴

∴.

19．如图，在梯形中，平面，平面．

（1）求证：；

（2），求点到平面的距离．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，先证明平面，进而可得线线垂直；

（2）先由题意，得到点到平面的距离为，，，设点到平面的距离为，根据等体积法，由求解，即可得出结果.

【详解】（1）因为平面，平面，所以．     

因为，

所以，则有，      

因为平面平面，

所以，则有四点共面．     

又，所以平面，

因为平面，所以．     

（2）由（1）可知，平面，所以点到平面的距离为．

在中，，，，

在中，，，，   

设点到平面的距离为，

由（1）可知，平面，平面，

所以平面，所以      

由得，，       

所以，

即点到平面的距离为．

【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求点到面积的距离，熟记线面垂直的判定定理与性质，以及等体积法求线面距离即可，属于常考题型.

20．已知两定点，，动点满足，线段的垂直平分线与线段相交于点，设点的轨迹为曲线．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆相交于两点，且，判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【详解】解：（Ⅰ）∵点在线段的垂直平分线上

∴

∴

∴点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆

设此椭圆方程为，则 解得

∴曲线的方程为

（Ⅱ）设，

由得：

∵

∴

∴，

∴

∴

∵

∴

∴

∵

又点O到直线AB的距离

∴

【解析】1．椭圆的方程；2．直线与椭圆的位置关系．

21．一个口袋中装有个红球且和个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖.

(1)用表示一次摸奖中奖的概率；

(2)若，设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有次中奖,求的数学期望；

(3)设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有一次中奖的概率,当取何值时，最大？

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）直接根据概率公式，即可得到结果.

（2）根据（1）中结论及题设可知服从二项分布，根据其期望公式即可得到结果.

（3）根据题意得到三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有一次中奖的概率，对其进行求导即可得到在时，取得最大值，从而得到

【详解】（1）一次摸奖从个球中任选两个，有种，它们等可能，其中两球不同色有种，一次摸奖中奖的概率

（2），设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有次中奖，由（1）及题设知 ，∴

（3）设每次摸奖中奖的概率为，则三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有一次中奖的概率

则

知在上为增函数，在上为减函数，当时，取得最大值，

又，得时，最大

22．已知函数．

(1)当时，是的一个极值点且，求及的值；

(2)已知，设，若，，且，求的最小值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由已知可得出，消去可得，令，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，可得出的值，进而可求得的值；

（2）由已知可得，即为，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，可得出，利用导数求出函数在上的最小值，即为所求.

【详解】（1）解：因为，其中，则，

令，则对任意的恒成立，

所以，函数在上单调递增，

因为是的一个极值点且，则，

消去可得，

令，其中，则，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，，所以，，故，

此时，则，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

故函数在处取得极小值，合乎题意.

综上所述，.

（2）解：因为，

因为，即，即，

即，其中，，则，

当时，，故函数在上单调递增，

由可得，所以，，其中，

构造函数，其中，则，由可得，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

故，即的最小值为.

【点睛】关键点点睛：解本题第（2）的关键就是将等式变形为，转化为，利用指对同构的思想得出，将转化为以为自变量的函数，进而利用导数求解.