2023届内蒙古通辽市尔沁左翼中旗实验高级中学高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题含解析

2023届内蒙古通辽市尔沁左翼中旗实验高级中学高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求得，进而依据交集定义求得.

【详解】，，则，

则.

故选：A

2．已知复数，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】根据复数的乘除法则求出z的实部和虚部，再求出共轭复数.

【详解】 ，

；

故选：D.

3．已知向量，，且，则实数（    ）

A．2 B． C．8 D．

【答案】D

【分析】计算出和，利用垂直列出方程，求出实数的值.

【详解】由题意得，，

由．得，所以.

故选：D．

4．在等差数列中,,,则公差为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】设公差为,根据题意将已知条件化为和的形式,解方程组即可得到结果.

【详解】设公差为,则

,

解得.

故选:C.

5．已知抛物线上的点到其焦点的距离是，那么实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用抛物线焦半径公式可直接构造方程求得结果.

【详解】由抛物线方程知：抛物线焦点为，准线为，

由抛物线定义知：，解得：.

故选：D.

6．在中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正弦定理即可求解.

【详解】由，得.

故选：B.

7．市面上出现某种如图所示的手工冰淇淋甜筒，它的下方可以看作一个圆台，上方可以看作一个圆锥，对该几何体进行测量，圆台下底面半径为2cm，上底面半径为5cm．高为4cm，上方的圆锥高为6cm，则此冰淇淋的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别由体积公式算出圆台及圆锥体积，即可得冰淇淋的体积

【详解】圆台的体积，圆锥的体积，总体积为.

故选：B．

8．已知不等式组，则目标函数的最大值是（    ）.

A．1 B． C． D．4

【答案】A

【分析】根据不等式组，画出可行域.根据目标函数平移后的位置，可得最大值.

【详解】如图，作出可行域，

目标函数，即，其表示斜率为，纵截距为的直线，

平移直线可得：过点时，纵截距为最大，

联立方程，解得，即，

故目标函数的最大值.

故选：A.

9．某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（    ）种排法？

A．72 B．36 C．24 D．12

【答案】A

【分析】先排唱歌节目，利用插空法排舞蹈节目即可.

【详解】先排三个唱歌节目这有：种情况，

然后四个空排两个舞蹈节目这有：种情况，

所以舞蹈节目不能相邻的情况有：情况.

故选：A.

10．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】求出双曲线一条渐近线斜率，即，从而求出离心率.

【详解】由题意得：双曲线的一条渐近线方程的斜率，

所以双曲线离心率.

故选：D

11．已知函数，则其图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】计算函数值后可得．

【详解】由条件知，A符合，其它均不符合，

故选：A．

12．下列程序框图中，输出的A的值是　　

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析框图的作用，逐步执行框图，即可求出结果.

【详解】执行程序框图如下：

初始值，

则，进入循环，

，进入循环，

，进入循环，

，进入循环，

，进入循环，

，进入循环，

，进入循环，

，进入循环，

，结束循环，输出.

【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图作用，逐步列举即可取出结果.

二、双空题

13．假设，，且，相互独立，则______；______.

【答案】     0.56     0.94

【分析】（1）由与相互独立知，代入求解即可，

（2），代入求解即可．

【详解】解：（1）∵，，且与相互独立，

∴；

（2），

故答案为：0.56；0.94．

三、填空题

14．已知，tanα=2，则=______________．

【答案】

【详解】由得，又，所以，因为，所以，因为，所以．

15．已知函数（，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为______．

【答案】

【分析】根据图象求得，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，即可解决.

【详解】由题知，函数（，）的部分图象如图所示，

所以，即

所以，

所以，

因为图象经过点，

所以，

所以，

因为，

所以，

所以，

将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，

得，

再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

得，

所以所得函数图象的解析式为，

故答案为：

16．曲线在点处的切线方程为___________．

【答案】.

【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程

【详解】详解：

所以，

所以，曲线在点处的切线方程为，即．

【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．

四、解答题

17．已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且，，成等比数列.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用等比数列和等差数列的定义求解即可；

(2)利用裂项相消求和.

【详解】（1）因为，所以，

又因为，，成等比数列，所以，

即，所以，

联立解得，

所以.

（2）由（1）可得，

所以.

18．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．

（1）求；

（2）求二面角的正弦值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知条件得出，求出的值，即可得出的长；

（2）求出平面、的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.

【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法

平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则、、、、，

则，，

，则，解得，故；

[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法

如图，连结．因为底面，且底面，所以．

又因为，，所以平面．

又平面，所以．

从而．

因为，所以．

所以，于是．

所以．所以．

 [方法三]：几何法+三角形面积法

   如图，联结交于点N．

由[方法二]知．

在矩形中，有，所以，即．

令，因为M为的中点，则，，．

由，得，解得，所以．

（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法

设平面的法向量为，则，，

由，取，可得，

设平面的法向量为，，，

由，取，可得，

，

所以，，

因此，二面角的正弦值为.

[方法二]：构造长方体法+等体积法

  如图，构造长方体，联结，交点记为H，由于，，所以平面．过H作的垂线，垂足记为G．

联结，由三垂线定理可知，

故为二面角的平面角．

易证四边形是边长为的正方形，联结，．

，

由等积法解得．

在中，，由勾股定理求得．

所以，，即二面角的正弦值为．

【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得.

（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.

19．在卡塔尔世界杯期间，某体育学院统计了该校足球系10个班级的学生喜欢观看世界杯的人数，统计人数如下表所示：

(1)该校计划从这10个班级中随机抽取3个班级的学生，就世界杯各国水平发挥进行交谈，求这3个班级喜欢观看世界杯的人数不全相同的概率；

(2)从10个班级中随机选取一个班级，记这个班级喜欢观看世界杯的人数为X，用上表中的频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，38

【分析】（1）先用组合求出基本事件和事件的个数，再利用古典概率公式，即可求出结果；

（2）根据表格，求出可能取值及对应概率，从而写出的分布列，再利用期望的定义求出的期望.

【详解】（1）从10个班任取3个班有种选法，人数完全相同只有1种选法，就是恰好抽取3，4，10班，所以3个班级喜欢看世界杯的人数不全相同的概率；

（2）根据表格知：任取1个班，人数为，，，，，，

所以的可能取值为，，，，，，

又由题知，用表中的频率估计概率，所以

，，，

，，，

所以分布列如下表：

数学期望.

20．已知椭圆E：的离心率为，且过点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点，直线l过点且与直线m平行.设直线l与椭圆E交于A，B两点，求AB的长度.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由待定系数法求椭圆方程.

（2）运用韦达定理及弦长公式可求得结果.

【详解】（1）由题意知，，所以，，设椭圆E的方程为.

将点的坐标代入得：，，所以椭圆E的方程为.

（2）由（1）知，椭圆E的右焦点为，上顶点为，所以直线m斜率为，

由因为直线l与直线m平行，所以直线l的斜率为，

所以直线l的方程为，即，

联立，可得，

，，，

所以.

21．已知函数 是的一个极值点.

（1）求函数的单调区间；

（2）若当时，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）；单调减区间为（1，2）.（2）0＜a＜1．

【分析】（1）求导函数，利用，可求b的值，进而利用可得函数的单调增区间，可得函数的单调减区间；

（2）时，恒成立等价于，由此可求a的取值范围．

【详解】（1）求导函数，可得，

∵是的一个极值点

∴ ，∴，∴，

由得x＞2或x＜1，∴函数的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）；

由得1＜x＜2，∴函数的单调减区间为（1，2）.

（2）由（1）知，函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增

∴当x＝2时，函数f（x）取得最小值，，

 x∈[1，+∞）时，恒成立等价于，，

即，

∴0＜a＜1．

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于，两点，设，求的值.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）直接消去参数可得到直线的普通方程，利用极坐标方程和直角坐标方程的互化公式可得曲线的直角坐标方程；

（2）将直线的参数方程代入，可得，然后利用参数的几何意义求解即可

【详解】（1）解：由，得直线l的普通方程为，

由，得曲线C的直角坐标方程为，

（2）解：将代入中，化简得，

所以，

所以

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集;

(2)若恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）把代入，将函数化为分段函数的形式，然后分别列出不等式求解即可得到结果；

（2）利用绝对值三角不等式可得，再由转化为，解出即可．

【详解】（1）当时，

等价于或或

解得或，

∴不等式的解集为或；

（2）由绝对值三角不等式可得，

∴若恒成立，则，即，

或，解得，

的取值范围为．