2023届内蒙古通辽市尔沁左翼中旗实验高级中学高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题含解析

2023届内蒙古通辽市尔沁左翼中旗实验高级中学高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求得，进而依据交集定义求得.

【详解】，，则，

则.

故选：A

2．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由复数除法法则计算．

【详解】由题意．

故选：C．

3．已知平面向量，且，则（　　）

A． B．（0，0）

C． D．（1，2）

【答案】B

【分析】根据求得，进而求得.

【详解】由于，所以，

所以.

故选：B

4．在等差数列中,,,则公差为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】设公差为,根据题意将已知条件化为和的形式,解方程组即可得到结果.

【详解】设公差为,则

,

解得.

故选:C.

5．已知抛物线上的点到其焦点的距离是，那么实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用抛物线焦半径公式可直接构造方程求得结果.

【详解】由抛物线方程知：抛物线焦点为，准线为，

由抛物线定义知：，解得：.

故选：D.

6．从棱长为2的正方体内随机取一点，则取到的点到中心的距离不小于1的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据几何概型概率问题的计算公式求得正确答案.

【详解】点到中心距离小于等于1的几何体是以中心为球心，1为半径的球体.

所以，取到的点到中心的距离不小于1的概率为.

故选：C

7．市面上出现某种如图所示的手工冰淇淋甜筒，它的下方可以看作一个圆台，上方可以看作一个圆锥，对该几何体进行测量，圆台下底面半径为2cm，上底面半径为5cm．高为4cm，上方的圆锥高为6cm，则此冰淇淋的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分别由体积公式算出圆台及圆锥体积，即可得冰淇淋的体积

【详解】圆台的体积，圆锥的体积，总体积为.

故选：B．

8．两名运动员在某次测试的6次成绩如图所示，则两人平均数与方差的关系是（    ）

A．甲的平均数大，方差小 B．平均数相等，甲方差大

C．平均数相等，甲方差小 D．平均数和方差都相等

【答案】C

【分析】根据茎叶图看出两组数据,先求出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，比较两组数据的平均数及方差的大小，从而可得结论.

【详解】由茎叶图可看出甲的平均数是，

乙的平均数是,两组数据的平均数相等.

甲的方差是，

乙的方差是，甲的方差小于乙的方差.

故选：C.

9．已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ）

A．7 B．9 C．81 D．3

【答案】D

【分析】根据等比数列的性质以及对数的运算性质可求出结果.

【详解】依题意可得，

又，所以，

所以.

故选：D

10．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】求出双曲线一条渐近线斜率，即，从而求出离心率.

【详解】由题意得：双曲线的一条渐近线方程的斜率，

所以双曲线离心率.

故选：D

11．已知函数，则其图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】计算函数值后可得．

【详解】由条件知，A符合，其它均不符合，

故选：A．

12．下列程序框图中，输出的A的值是　　

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分析框图的作用，逐步执行框图，即可求出结果.

【详解】执行程序框图如下：

初始值，

则，进入循环，

，进入循环，

，进入循环，

，进入循环，

，进入循环，

，进入循环，

，进入循环，

，进入循环，

，结束循环，输出.

【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图作用，逐步列举即可取出结果.

二、填空题

13．袋中有个白球和个黑球，从中任意摸出个球，则恰好摸出个黑球的概率为______.

【答案】##

【分析】利用古典概型概率公式进行求解即可.

【详解】把个白球标记为、、，个黑球标记为、，

任意摸出个球，样本空间为：

，有个基本事件，

设“恰好摸出个黑球”为事件，则

，有个基本事件，

∴恰好摸出个黑球的概率为.

故答案为：.

14．已知，tanα=2，则=______________．

【答案】

【详解】由得，又，所以，因为，所以，因为，所以．

15．已知函数（，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为______．

【答案】

【分析】根据图象求得，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，即可解决.

【详解】由题知，函数（，）的部分图象如图所示，

所以，即

所以，

所以，

因为图象经过点，

所以，

所以，

因为，

所以，

所以，

将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，

得，

再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

得，

所以所得函数图象的解析式为，

故答案为：

16．曲线在点处的切线方程为___________．

【答案】.

【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程

【详解】详解：

所以，

所以，曲线在点处的切线方程为，即．

【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．

三、解答题

17．在中，角的对边分别是，，，且

(1)求角A；

(2)若，且面积为，求的周长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据余弦定理即可求得角A；

（2）由三角形面积求出，利用余弦定理结合完全平方公式求得，即得答案.

【详解】（1）由题意在 中，，

即，故 ，

由于 ，所以 .

（2）由题意的面积是 ， ,即, ，

由 ,,得,

则 ，

故的周长为 .

18．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求四棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面；

（2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出，再根据四棱锥的体积公式即可求出．

【详解】（1）因为底面，平面，

所以，

又，，

所以平面，

而平面，

所以平面平面．

（2）[方法一]：相似三角形法

 由（1）可知．

于是，故．

因为，所以，即．

故四棱锥的体积．

[方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法

   由（2）知,所以．

建立如图所示的平面直角坐标系，设．

因为，所以，，，．

从而．

所以，即．下同方法一.

 [方法三]【最优解】：空间直角坐标系法

  建立如图所示的空间直角坐标系，

设，所以，，，，．

所以，，．

所以．

所以，即．下同方法一.

 [方法四]：空间向量法

   由，得．

所以．

即．

又底面，在平面内，

因此，所以．

所以，

由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义，

得，即．

所以，即．下同方法一.

【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；

方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；

方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解；

方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.

19．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：

（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较．附：

【答案】（1）0.62（2）有99%的把握 （3）新养殖法优于旧养殖法

【详解】试题分析：

(1)由频率近似概率值，计算可得旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为0.62.据此，事件A的概率估计值为0.62.

(2)由题意完成列联表，计算K2的观测值k＝≈15.705＞6.635，则有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．

(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．

试题解析：

(1)旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为

(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.

因此，事件A的概率估计值为0.62.

(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表

K2的观测值k＝≈15.705.

由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．

(3) 由频率分布直方图可得：

旧养殖法100个网箱产量的平均数1＝（27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.032+62.5×0.012+67.5×0.012）×5

＝5×9.42＝47.1；

新养殖法100个网箱产量的平均数2＝（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.054+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008）×5＝5×10.47＝52.35；

比较可得：12，

故新养殖法更加优于旧养殖法．

点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．

20．已知椭圆的离心率为，短轴长为4.椭圆与直线相交于、两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求弦长

【答案】（1）（2）

【分析】（1）由已知条件列方程组求解即可；

（2）联立直线方程与椭圆方程得，再利用韦达定理及弦长公式求解即可.

【详解】解：（1）椭圆的离心率为，短轴长为4，

，

解得，，

椭圆方程为.

（2）联立，得，

显然有，

设，，

则，，

由弦长公式可得.

【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，重点考查了直线与椭圆的位置关系及弦长公式，属基础题.

21．已知函数 是的一个极值点.

（1）求函数的单调区间；

（2）若当时，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）；单调减区间为（1，2）.（2）0＜a＜1．

【分析】（1）求导函数，利用，可求b的值，进而利用可得函数的单调增区间，可得函数的单调减区间；

（2）时，恒成立等价于，由此可求a的取值范围．

【详解】（1）求导函数，可得，

∵是的一个极值点

∴ ，∴，∴，

由得x＞2或x＜1，∴函数的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞）；

由得1＜x＜2，∴函数的单调减区间为（1，2）.

（2）由（1）知，函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增

∴当x＝2时，函数f（x）取得最小值，，

 x∈[1，+∞）时，恒成立等价于，，

即，

∴0＜a＜1．

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于，两点，设，求的值.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）直接消去参数可得到直线的普通方程，利用极坐标方程和直角坐标方程的互化公式可得曲线的直角坐标方程；

（2）将直线的参数方程代入，可得，然后利用参数的几何意义求解即可

【详解】（1）解：由，得直线l的普通方程为，

由，得曲线C的直角坐标方程为，

（2）解：将代入中，化简得，

所以，

所以

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集;

(2)若恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）把代入，将函数化为分段函数的形式，然后分别列出不等式求解即可得到结果；

（2）利用绝对值三角不等式可得，再由转化为，解出即可．

【详解】（1）当时，

等价于或或

解得或，

∴不等式的解集为或；

（2）由绝对值三角不等式可得，

∴若恒成立，则，即，

或，解得，

的取值范围为．