2023届河南省部分学校高三高考仿真适应性测试数学（文）试题含解析

2023届河南省部分学校高三高考仿真适应性测试数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集， 集合，，则（    ）

A．{1} B．{5} C．{1，2，3，4} D．

【答案】B

【分析】解方程和不等式，得到，求出并集和补集.

【详解】解可得，故，

的解为或2，故，则．

故选：B

2．已知复数，其中i为虚数单位，则复数z的模的值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】利用复数运算法则化简得到，进而求出模长.

【详解】，故．

故选：D

3．已知是第二象限角，则点（，）所在的象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】利用诱导公式化简再确定象限.

【详解】由题意知：，，进而得到，，

所以点（，）位于第三象限.

故选：C

4．关于椭圆C：，有下面四个命题：

甲：长轴长为4；

乙：短轴长为2；

丙：离心率为；

丁：．

如果只有一个假命题，则该命题是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】D

【分析】先假设某两个正确，则另两个必有一个正确一个错误，从而判断出答案．

【详解】假设甲乙正确，则，，所以，所以，，

可得到甲、乙、丙三个命题中，已知某两个正确，均可推出第三个正确，

故丁是假命题.

故选：D

5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是S，若，则m的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用循环语句研究数列的前99项和，利用裂项相消求和得到，得到．

【详解】由程序框图可知，本题要求的是

，

即．

故选：C

6．我们可以把看作每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是，大约经过m天后“进步”的是“落后”的10倍，则m的值为（参考数据：，）（    ）

A．100 B．115 C．230 D．345

【答案】B

【分析】根据指数与对数的联系计算即可.

【详解】由题意可得：，两边取常用对数可得，即．

故选：B

7．在正方体中，下列说法不正确的是（    ）

A．直线与直线垂直

B．直线与平面垂直

C．三棱锥的体积是正方体的体积的三分之一

D．直线与直线垂直

【答案】D

【分析】AB选项，根据线线垂直得到线面垂直，进而得到AB正确；C选项，设出棱长，利用正方体体积减去四个三棱锥体积求出三棱锥的体积；D选项，求出异面直线的夹角为，D错误.

【详解】AB选项，因为在正方体中，，，且，平面，

所以平面，

又平面，

所以，

同理可得，，，

因为，平面，

所以平面，所以A，B正确；

D选项，由正方体中的基本关系得到，而三角形是等边三角形，

故与所成角为，故直线与直线所成角为，所以D错误；

C选项，设棱长为1，则四棱锥的体积等于正方体体积减去4个三棱锥的体积，

即，所以三棱锥的体积是正方体的体积的三分之一，C正确．

故选：D

8．已知向量，，且，则实数λ的值为（    ）

A．8 B． C．4 D．

【答案】A

【分析】先计算出，由向量垂直得到方程，求解即可．

【详解】因为，，

则

，

解得，

故选：A

9．棱长为2的正方体的外接球的球心为O，则四棱锥的体积为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】求出到平面的距离，利用体积公式进行求解.

【详解】正方体的外接球的球心为O，由对称性可知O为正方体的中心，

O到平面的距离为1，即四棱锥的高为1，而底面积为，

所以四棱锥O-ABCD的体积为．

故选：B

10．已知等差数列满足，若，则k=（    ）

A．10 B．15 C．20 D．25

【答案】A

【分析】根据等差数列的定义与性质计算即可.

【详解】设公差为，因为，

所以，故数列是首项和公差均为2的等差数列，

所以，则，即．

故选：A

11．已知函数的最小正周期为T，若，且的图象关于对称，则（    ）

A． B．1 C．3 D．

【答案】C

【分析】先根据周期T的范围确定ω的范围，再利用对称性确定ω的值，进而求出的值即可．

【详解】因为，所以，即，

又因为的图象关于对称，所以，，，

所以，，

又因为，所以当时，满足要求，其他均不合要求，

所以．

故选：C

12．已知，且，则实数t的最小值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】先将化成，再利用函数在R上单调递增得到，进而转化为求的最小值即可．

【详解】解：因为可化成，

又因为函数在R上单调递增，

所以，

所以，

所以，

令，解得，

所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；

所以当时，．

故选：C.

二、填空题

13．直线与抛物线交于A，B两点，则=______．

【答案】16

【分析】联立直线与抛物线方程，利用两点距离公式计算即可.

【详解】联立方程解得或，不妨令，则，即．

故答案为：16

14．点满足不等式组，若的最小值为0，则实数a的值为______．

【答案】-1

【分析】画出可行域，求出三个顶点坐标，分，，三种情况，利用中的z的几何意义，数形结合求出答案．

【详解】作出不等式组满足的可行域如图阴影部分，

联立可得，联立可得，

联立可得，

则三个顶点坐标分别为，，，

若，此时，此时取得最小值为1，不合题意，

若，画出目标函数，如图1，则当经过点时，取得最小值，

故，解得，不合要求，

若，画出目标函数，如图2，则当经过点或时，取得最小值，

故，解得，满足要求，

故答案为：

15．已知⊙C的圆心在直线上，且⊙C与y轴和直线均相切，则⊙C的半径为______．

【答案】

【分析】利用直线与圆的位置关系，设圆心坐标，根据点到直线的距离公式计算即可.

【详解】因为⊙C的圆心在直线上且⊙C与y轴相切，所以可设⊙C的圆心为，

则其方程为，

又因为⊙C与直线相切，所以可得，

解之得，所以⊙C的半径为．

故答案为：

三、双空题

16．已知函数，若函数，则函数的图像的对称中心为______；若数列为等差数列，，则______．

【答案】          8088

【分析】对于空①，可通过构造函数，由函数奇偶性的判断方法可知为奇函数，再通过函数图像平移变换，可得到关于点中心对称；对于空②，利用等差数的性质和函数的对称性可得到，从而求出结果.

【详解】令，因为，

所以为奇函数，图像关于原点中心对称，又，所以的图像可由的图像先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到，所以关于点中心对称；

因为，由等差数列前项和公式得，，得到，

所以由等差数数列的性质可得到，

故点与点关于点对称，由函数的对称性知，，

又，

所以．

故答案为：    8088

四、解答题

17．某校随机调查了100名学生，统计发现其中有60名学生喜欢户外运动，然后对他们进行了一场体育测试，得到如下不完整的列联表：

(1)补全列联表，并分别估计该校喜欢户外运动和不喜欢户外运动的学生体育测试成绩优秀的概率；

(2)根据列联表分析，能否有95%的把握认为该校学生体育测试是否优秀与喜欢户外运动有关？

附：，其中．

【答案】(1)列联表见解析，喜欢和不喜欢户外运动学生成绩优秀概率分别为、

(2)有95%的把握认为该校学生体育测试成绩是否优秀与喜欢户外运动有关

【分析】（1）数据分析，补全列联表，计算出相应频率，估计出概率；

（2）计算出卡方，与3.841比较，得到结论.

【详解】（1）由题意得喜欢户外运动且体育测试成绩优秀的有（人），补全的列联表如下：

抽查的100名学生中，喜欢户外运动的学生优秀率为；不喜欢户外运动的学生优秀率为．

所以可以估计该校喜欢户外运动的学生体育测试成绩优秀的概率为；不喜欢户外运动的学生体育测试成绩优秀的概率为．

（2）的观测值，所以有95%的把握认为该校学生体育测试成绩是否优秀与喜欢户外运动有关

18．在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若，，．

(1)证明：平面⊥平面；

(2)求四棱锥的体积与表面积．

【答案】(1)证明见解析

(2)体积为，表面积为

【分析】（1）作出辅助线，由等腰三角形三线合一得到，求出各边长，由勾股定理逆定理得到，证明出线面垂直，得到面面垂直；

（2）在（1）的基础上，得到为四棱锥的高，由体积公式求出四棱锥的体积，得到△QAB和△QCD均为直角三角形，△QAD和△QCB均为等腰三角形，求出四个三角形面积，求出表面积.

【详解】（1）取AD的中点为O，连接QO，CO．

因为，，则，

而，，故．

在正方形ABCD中，因为，故，故，

因为，故，

故为直角三角形且，

因为，平面，故⊥平面，

因为QO平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD．

（2）取中点，连接，

由（1）可知为四棱锥的高，且，

底面正方形ABCD的边长为2，

所以四棱锥的体积，

由（1）可知平面QAD⊥平面ABCD，

又因为，AB平面ABCD，平面QAD平面，

所以AB⊥平面QAD，

又因为AQ平面QAD，QD平面QAD，

所以，，故

又，，

故⊥，△QAB和△QCD均为直角三角形，△QAD和△QCB均为等腰三角形,

其中，

四边形的面积为，三角形的面积为，

三角形的面积为，，

所以棱锥的表面积为．

19．在△ABC中，D是边BC上的点，，，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ACD的面积的两倍．

(1)求△ACD的面积；

(2)求△ABC的边BC上的中线AE的长．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）运用正弦定理的面积公式及面积关系计算即可；

（2）运用向量的数量积与模长关系计算即可．

【详解】（1）由已知及正弦定理可得：，

化简得：．

又因为：

，所以， 所以，

所以△ACD的面积为．

（2）由（1）可知，因为AE是△ABC的边BC上的中线，

所以，

所以，

所以△ABC的边BC上的中线AE的长为．

20．已知双曲线的离心率为，且双曲线C过点，直线l交双曲线C于P，Q两点（异于点A），直线AP，AQ的倾斜角互补．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)求证：直线l与直线平行．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由离心率设出双曲线方程，结合双曲线上的点的坐标，求出答案；

（2）设出直线的方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，由两直线倾斜角互补得到斜率之和为0，列出方程，求出，并证明出结论.

【详解】（1）因为双曲线C：的离心率为，

所以双曲线的方程可表示为，又因为双曲线C过点，

所以，所以，，

所以双曲线的标准方程为；

（2）根据题意可知直线l的斜率一定存在，故可设直线l的方程为，将代入得，，

所以，，

又因为直线AP，AQ的倾斜角互补，

设P点坐标为，Q点坐标为 ，

所以，

即，

所以，

所以，

化简得．

又因为，所以，

又因为，

所以，所以，

所以直线l：与直线平行．

【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，处理两直线倾斜角互补或相等问题时，往往会转化为斜率之和为0或斜率相等，进而列出方程，代入计算即可.

21．已知函数．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当时，若，求证：

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）先求定义域，再求导，分与两种情况，由导函数的正负求出函数的单调性；

（2）先结合（1）中函数单调性得到，构造，求导得到其单调性，从而证明出，得到结论.

【详解】（1）的定义域为，

因为，

当时，，

所以在上单调递增；

当时，令得，令得，

所以在上单调递增，在上单调递减；

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）当时，，定义域为，

，所以在上单调递增，在上单调递减，

又因为，所以，

设，

则在上恒成立，

所以在上单调递增，

所以， 即，

又因为，，所以，

又因为在上单调递减，

所以，即．

【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解.

22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为（t为参数），抛物线C的极坐标方程为．

(1)求直线l和抛物线C的直角坐标方程；

(2)求直线l被抛物线C截得的弦长.

【答案】(1)，；

(2)．

【分析】（1）根据消参法将参数方程转化为普通方程，根据极坐标方程与直角坐标方程的联系将极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）利用直线参数方程即几何意义求弦长.

【详解】（1）因为，

所以直线l的直角坐标方程为，

因为抛物线C的极坐标方程为，

即，

所以抛物线C的直角坐标方程为；

（2）将直线的参数方程代入抛物线的方程得，即，

所以，所以截得的弦长为．

23．已知a，b，c是正实数，且．求证：

(1)；

(2)．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用三个正数的算术平均数不小于其几何平均数；

（2）利用柯西不等式．

【详解】（1）因为a，b，c是正实数，所以，所以 （当且仅当时等式成立），即；

（2）因为，当且仅当等号成立

所以，即．