2023年中考数学模拟卷八（重庆专用）

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 2023年中考数学模拟卷八（重庆专用）
（本卷满分150分，考试时间为120分钟）
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中只有一个选项是最符合题意的）
1．在实数，，0，2中最小的实数是（　　）
A．
B．
C．0
D．2
【答案】B
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵，
∴在实数，，0，2中最小的实数是．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．下列图标中，是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义进行分析即可．
【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴．
3．如图，若，，那么＝（　　）

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质可得，，，，进而可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，难度不大，仔细审题即可．
4．下列运算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．如图所示，在平面直角坐标系中，，，，以A为位似中心，
把在点A同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为
（　　）

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据位似比得到，根据线段中点的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵以A为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作，
∴，
∴点C是线段的中点，
∵，，
∴的坐标为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，掌握位似比的概念是解题的关键．
6．与最接近的整数是（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【分析】先根据二次根式混合运算的法则计算，然后估算结果即可．
【详解】解：，
∵，
∴接近9，
∴接近7．
∴与最接近的整数是7．
故选：D．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
7．找出以下图形的变化规律，计算第2022个图形中黑色正方形的个数（　　）

A．3031
B．3032
C．3033
D．3034
【答案】C
【分析】仔细观察图形并从中找到规律，然后利用找到的规律即可得到答案．
【详解】解：∵当n为偶数时第n个图形中黑色正方形的数量为个；
当n为奇数时第n个图形中黑色正方形的数量为个，
∴当时，黑色正方形的个数为（个）．
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察图形并正确的找到规律．
8．上学年初一某班的学生都是两人一桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女
生的，本学年该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学年该班有男生x人，
女生y人，则列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据初一某班的学生都是两人一桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，本学年该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多，列二元一次方程组即可．
【详解】解：根据题意，得，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并根据题意建立方程组是解题的关键．
9．如图，是的直径，是的切线，D为切点，，垂足为C，
连接．若，且，则的长为（　　）

A．2
B．
C．4
D．
【答案】B
【分析】连接，，根据切线的性质证明是等边三角形，然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，，

∵是的切线，
∴，
∴，
∵是的直径，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数，掌握切线的性质是解题关键．
10．已知正整数a，b，c，d满足，且，
关于这个四元方程下列说法正确的个数是（　　）个．
①，，，是该四元方程的一组解；
②连续的四个偶数一定是该四元方程的解；
③若，则该四元方程有7组解．
A．0
B．1
C．2
D． 3
【答案】C
【分析】先将四元方程移项、配方，得，再根据各个说法，逐一判断．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即
对于①：当，，，，原方程成立，
故①正确；
对于②：
设，，，，
则，，
∴，
故②正确；
对于③：
同理易证，连续四个奇数也是该四元方程的解，
另外，在③的条件下，当b、c满足：，时，正整数a，b，c，d为四元方程的解，
以上的情况使得该四元方程的解超过7组，
故③错误；
综上所述，结论正确的个数有2个．
故选：C．
【点睛】本题考查了配方化简多元方程，方程的解的概念，解题的关键是将原四元方程进行恰当的配方变形，然后逐一分析．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在每题对应的横线上．
11．计算： 　 　．
【答案】1
【分析】计算，根据绝对值的性质得，，然后计算的值．
【详解】解：原式＝．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了含有绝对值的计算，掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是关键．
12．的系数是 　 　．
【答案】
【分析】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数．
【详解】解：的系数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查单项式的系数，知道单项式中数字因数是单项式的系数是解题的关键．
13．因式分解：＝　 　．
【答案】
【分析】原式提取x，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：原式＝
＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的3名同学（1男2女）组成了“关爱老
人”志愿小分队．若从该小分队中任选2名同学参加周末的志愿活动，则恰好是1男1
女的概率是 　 　．
【答案】
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：

男
女
女
男

（女，男）
（女，男）
女
（男，女）
（女，女）

女
（男，女）

（女，女）
由表可知，共有6种等可能结果，恰好是1男1女的有4种结果，
所以恰好是1男1女的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用树状图法或列表法求概率．解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．如图，在矩形中，，，以A为圆心，为半径画弧，
分别与边交于点E，与的延长线交于点F，则阴影部分的面积为 　 　．（结
果不取近似值）

【答案】
【分析】过E作交于点G，证明四边形，都是矩形，得到矩形是正方形，推出阴影部分的面积＝矩形的面积，据此求解即可．
【详解】解：如图，过E作交于点G，

∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形，都是矩形，
∵，，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，，
∴阴影部分的面积＝矩形的面积＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理的应用，掌握矩形的判定和性质是正确解答的关键．
16．如图，矩形纸片，，，点E、F分别在、上，
把纸片按如图所示的方式沿折叠，点A、B的对应点分别为、，连接并
延长交线段于点G，G为线段中点，则线段的长为　 　．

【答案】3
【分析】根据矩形的性质、图形翻折的特征，可以求得，然后根据，可求得的长，最后运用勾股定理求得的长．
【详解】解：如图，过点E作交于点H，

∵四边形是矩形，，
∴，即，
∵把纸片按如图所示的方式沿折叠，
∴，
∴，即．
∵四边形是矩形，，G为线段中点，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
故答案为：3
【点睛】本题考查矩形的性质、图形的翻折、锐角正切值、勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
17．若关于y的不等式组有解，且关于x的分式方程有
非负整数解，则满足条件的所有整数m的和为　 　．
【答案】9
【分析】通过一元一次不等式的解的条件可得，再解分式方程可得，根据分式方程解得情况确定m的值为或或，再求和即可．
【详解】解：不等式组，
由①得，
由②得，
∵不等式组有解，
∴，
解得，
，
∴，
∵方程有非负整数解，
∴或或或，
∵，
∴，
∴满足条件的所有整数m的和为9，
故答案为：9
【点睛】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意方程的增根情况是解题的关键．
18．如果一个三位数m满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个三
位数为“互异数”．将“互异数”m的个位数字去掉，得到一个两位数，将其与m的
个位数字的差记为，将m的十位数字与个位数字的差记为．已知一个三
位正整数（其中x、y都是整数，且，）是“互
异数”，为整数且能被13整除，则满足条件的“互异数”m的最大值为__________．
【答案】932
【分析】．
【详解】解：当时，
，则，
由题意可得，
，，
∴，
∴若要m取最大值，则有；
当时，
，则，
由题意可得，
，，
∴，
∴若要m取最大值，则有，，；
综上，m的最大值为932．
【点睛】本题考查了数字整除问题，不定方程，综合运用题设条件进行数值分析是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，19、20题每小题8分，21-25题每小题10分，26题12分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）．
19．计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先计算单项式乘多项式、利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减即可；
（2）先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，最后约分即可．
【详解】解：（1）原式＝；
（2）原式＝．
【点睛】本题主要考查分式和整式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20．如图，在平行四边形中，连接对角线，交于点E，交
于点G．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点C作的垂线，交于点F，交于点H；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图形中，求证：．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴　 　①　 　．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵　 　②　 　，
∴，．
即 　 　③　 　，
∴，
∴　 　④　 　，
∴，
∴．

【答案】见解析
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先根据平行四边形的性质得到，，则根据平行线的性质得到，接着利用垂直的定义和平行线的性质得到，则可判断，所以，从而得到．
【详解】（1）解：如图，为所作；

（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，．
即，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，，，．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质．
21．重庆市红色旅游景点众多，例如歌乐山烈士陵园、红岩革命纪念馆、刘伯承同志纪
念馆、聂荣臻元帅陈列馆等等．某学校为了解初三学生对重庆历史文化的了解程度，随
机抽取了男、女各50名学生进行问卷测试，问卷共30道选择题，现将得分情况统计，
并绘制了如图不完整的统计图（数据分组为A组：x≤15，B组：15＜x≤20，C组：20
＜x≤25，D组：25＜x≤30，x表示问卷测试的分数，大于20分为优秀），其中男生得
分处于C组的得分情况分别为：21，22，22，22，22，22，23，23，24，24，24，25，
25，25．

男生、女生得分的平均数、中位数、众数、优秀人数百分比如表所示：
组别
平均数
中位数
众数
优秀人数所占百分比
男
20
m
22
72%
女
20
23
20
n
（1）填空：m＝　 　，n＝　 　，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为男生和女生对重庆历史文化了解哪个更好？请说明理由（一条即可）；
（3）已知该校初三年级共有男生400人，女生460人，请估计该校初三年级参加问卷测试成绩处于C组的总人数．
【答案】（1），，作图见解析；（2）见解析；（3）250人
【分析】（1）根据男生C组的百分比，再根据中位数的定义求m，先求女生C组的人数，再求n即可；
（2）根据中位数或众数的大小判断即可；
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【详解】解：（1）男生C组的百分比为，
所以，
女生C组的人数为（人），
所以，
故答案为：24.5，70%．
（2）我认为男生了解更好，理由如下：
从中位数来看，男生得分的中位数24.5，大于女生得分的中位数23，所以男生对历史文化了解更好；
（3）（人），
答：估计该校参加问卷测试成绩处于C组的人数约为250人．
【点睛】本题考查扇形统计图，条形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A
型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．
（1）求A型设备每小时铺设的路面长度；
（2）通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，
B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设
备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．
【答案】（1）A型设备每小时铺设的路面长度为110米；（2）m的值为18
【分析】（1）设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据“A型设备铺设的路面长度+B型设备铺设的路面长度＝5800”列出方程，求解即可．
【详解】解：（1）设B型设备每小时铺设路面x米，则A型设备每小时铺设路面米，
根据题意得，
，
解得：，
则，
答：A型设备每小时铺设的路面长度为110米；
（2）根据题意得，
，
整理得，，
解得：，（舍去），
答：m的值为18．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．
23．如图是某景区的观光扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为的扶梯
，扶梯总长为米．但这样坡度太陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修
改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形
成的为，从E点看D点的仰角为，段扶梯长20米．（参考数据：
，）
（1）求点A到的距离．
（2）段扶梯长度约为多少米？（结果保留1位小数）

【答案】（1）30米；（2）31.8米
【分析】（1）过点A作，垂足为F，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理求出米，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答；
（2）延长交于点G，过点D作，垂足为H，根据题意可得：，，再利用平角定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出，的长，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答．
【详解】解：（1）过点A作，垂足为F，

∵扶梯的坡度为，
∴，
∴设米，则米，
在中，（米），
∵米，
∴，
∴，
∴（米），
∴点A到的距离为30米；
（2）如图，延长交于点G，过点D作，垂足为H，

由题意得：
，，
∵，
∴，
在中，米，
∴（米），
∵米，
∴米，
在中，，
∴（米），
∴段扶梯长度约为31.8米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象
研究函数性质的过程，以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程．请
按要求完成下列各小题．
（1）函数的自变量的取值范围是 　 　，下表中的a＝　 　，b＝　 　；
x
a


0
1

6

……

0

1

2
b
3

……
（2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象，并写出这个函数的一条性质：　 　；
（3）结合你所画的图象分析，关于x的不等式的解集为 　 　．

【答案】（1），，；（2）y随x的增大而增大，作图见解析；（3）或
【分析】（1）由题意得：，解得，当时，时，分别代入求解即可得a、b的值；
（2）根据表格数据描点连线绘制函数图象即可，从图象看，函数为中心对称图形，即可求解；
（3）在所给的平面直角坐标系中画出的图象，根据交点横坐标，即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意得：，解得，
当时，，解得：，
∴，
当，时，，
∴，
故答案为：，，；
（2）根据表格数据描点连线绘制函数图象如下：

从图象得这个函数的一条性质：y随x的增大而增大，
故答案为：y随x的增大而增大；
（3）在所给的平面直角坐标系中画出的图象，

由图象得，关于x的不等式的解集为的解集为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了函数的图象与性质，解题的关键是准确画出函数图象，再根据图象得到函数的性质．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，
两点，与y轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作交抛物线于D，点E为直线上一动点，连接，，，，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位，M为平移后的抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）四边形的面积最大为，此时；（3）点N的坐标为，，，
【分析】（1）把，两点坐标代入抛物线的解析式即可．
（2）由抛物线的解析式可得，，由点B，点C的坐标可求得直线的解析式；过点P作x轴的垂线，交直线于点Q，设点P的坐标为，则，其中．，根据可表达出四边形的面积，再结合二次函数的性质可求出当时，四边形的面积最大为，此时．
（3）抛物线沿射线方向平移个单位，等同于将该抛物线向右平移1个单位，向下移动个单位．则新抛物线的对称轴为：直线，设点M的坐标为，点N的坐标为，当为菱形的边时，①以点B为圆心，长为半径作圆，交直线于点，，此时，可得，，利用点的平移可得到点，；②以点C为圆心，长为半径作圆，交直线于点，，过点C作轴，交直线于点G，如图所示，此时，，由点的平移可知，，；当为菱形的对角线时，为另一对角线，垂直平分，此时的中点为，则点M与的中点重合，此时不存在点N，不能构成菱形．
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：；
（2）由抛物线的解析式可得，，
设直线的解析式为，代入点B，点C的坐标，得
，
解得：，
∴直线的解析式为．
如图，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q，

设点P的坐标为，则，其中．
∴，
∴，
∵，
∴当时，四边形的面积最大为，此时；
（3）存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形，理由如下：
抛物线沿射线方向平移个单位，等同于将该抛物线向右平移1个单位，向下移动个单位．
∵原抛物线的顶点坐标为，
∴新抛物线的顶点坐标为，
∴新抛物线的对称轴为：直线，设对称轴与x轴交于点F；
设点M的坐标为，点N的坐标为，
当为菱形的边时，
①以点B为圆心，长为半径作圆，交直线于点，，如图所示，

此时，
可得，，
∴，，
∵，，
∴点B向上平移3个单位长度，向左平移6个单位长度可得到点C，
∴点向上平移3个单位长度，向左平移6个单位长度可得到点，
同理可得，；
②以点C为圆心，长为半径作圆，交直线于点，，过点C作轴，交直线于点G，如图所示，

此时，
∴，
∴，，
∴，，
由点的平移可知，，；
当为菱形的对角线时，为另一对角线，垂直平分，此时的中点为，则点M与的中点重合，此时不存在点N，不能构成菱形．
综上，点N的坐标为，，，．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
26．如图，在中，．
（1）如图1，在内取点D，连接，，将绕点A逆时针旋转至，，连接，，，若，求的长；
（2）如图2，点D为中点，点E在的延长线上，连接交于点F，，连接并延长至点G，连接，若，，求证：；
（3）如图3，，点D在的延长线上，连接，在上取点E， ，连接，，若，当取最小值时，直接写出的面积．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）过点E作交延长线于点F，证明，由，，，可得，，在中，运用勾股定理求得，进而求得；（2）过点D作交于点M，过点C作交延长线于点H，连接，先证，得是平行四边形，再证，，证得是等边三角形，故有；（3）建立平面直角坐标系，设，则，，，
当时，有最小值，也即有最小值．
【详解】（1）解：如图1，过点E作交延长线于点F，
∵将绕点A逆时针旋转至，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，．
在中，
，
∴．
（2）证明：如图2，过点D作交于点M，过点C作交延长线于点H，连接，

∵，点D为中点，
∴点F为中点，
∴，
∵，
在与中，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴是平行四边形，
∴．
∴，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
在与中，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
即．
（3）解：建立如图所示的平面直角坐标系，其中点B与原点重合，

设，则，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
，
当时，有最小值，也即有最小值，
此时．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，综合运用以上几何性质是解题关键．