2023届辽宁省名校联盟高三下学期质量检测考试数学试题含解析

2023届辽宁省名校联盟高三下学期质量检测考试数学试题

一、单选题

1．复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数运算公式求的代数形式，结合复数的几何意义确定其对应点的位置.

【详解】因为，

所以复数在复平面内对应的点为，该点在第四象限.

故选：D.

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据一元一次不等式和一元二次不等式的解法，结合交集的定义和运算即可求解.

【详解】因为，，

所以．

故选：C.

3．某地有9个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360，284，290，300，402，188，240，260，288，则这组数据的第72百分位数为（    ）

A．290 B．295 C．300 D．330

【答案】C

【分析】根据百分位数的估计方法计算即可.

【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列得188，240，260，284，288，290，300，360，402，

因为，所以这组数据的第72百分位数为300.

故选：C

4．“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据圆与圆的位置关系、充分和必要条件的知识确定正确答案.

【详解】因为圆内切于圆，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

5．已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求出的范围，再利用向量夹角公式求解作答.

【详解】，是单位向量，由得：，

依题意，不等式对任意实数恒成立，则，

解得，而，则，

又，函数在上单调递减，因此，

所以向量，的夹角的取值范围为.

故选：B

6．已知函数的最小正周期为，设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由题意得，再由得，，，从而得解.

【详解】因为函数的最小正周期为，

所以，

因为，

所以，，

又因为，

所以.

故选：B

7．在平面中，若正内切圆的面积为，内切圆与外接圆之间的圆环面积为，则在空间中，若正四面体内切球的体积为，内切球之外与外接球之内的几何体的体积为，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设正四面体的内切球与外接球的半径分别为，，点到底面的距离为，底面的面积为，先利用等体积法求出，再结合勾股定理求出，再根据球的体积公式即可得出答案.

【详解】设正四面体的内切球与外接球的半径分别为，，点到底面的距离为，底面的面积为，

由等体积法得，

设，正的中心为，

则，，

由，得，

故

故选：B.

8．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声.现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由条件求的解析式，设，利用表示梯形的面积，利用导数求其最大值.

【详解】因为曲线是函数的图象，点的坐标为，

所以，故，

所以，

设线段对应的函数解析式为，

因为直线经过点，所以，

所以，

设，则点的坐标为

由可得，

所以点的坐标为，

所以，

所以直角梯形的面积，

所以，

令，可得，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

所以当时，函数取最大值，最大值为.

故选：D.

二、多选题

9．在正方体中，E，F分别为，的中点，则下列结论错误的是（    ）

A．平面 B．平面

C．平面 D．平面

【答案】BCD

【分析】以点为坐标原点，以，，方向为，，轴为正方向，建立空间直角坐标系，根据线与面的平行与垂直的向量求法对选项一一验证即可.

【详解】

以点为坐标原点，以，，方向为，，轴为正方向，建立如图所示空间直角坐标系，

设正方体的边长为2，

则，，，，，，，，，

则，，，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

则，则平面，故A正确；

，，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

，则与平面不平行，故B错误；

，，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

，则与平面不垂直，故C错误；

，，

设平面的一个法向量为，

则，令，则，

，则与平面不垂直，故D错误；

故选：BCD.

10．设均为正数，且，则（    ）

A． B．当时，可能成立

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用基本不等式相关公式逐项分析即可求解.

【详解】对于A：因为，

所以，

当且仅当时，等号成立，

又，所以，

所以A选项正确；

对于B：若，则，

因为为正数，所以，

所以B选项错误；

对于C：由，且为正数，

得，则，即，

所以C选项正确；

对于D：

，

当且仅当时，等号成立，所以，

所以D选项正确．

故选：ACD.

11．已知函数，则（    ）

A．是奇函数 B．当时，

C．的最大值是1 D．的图象关于直线对称

【答案】BCD

【分析】根据奇偶性的定义判断A，利用同角三角函数的关系判断B，换元法，利用单调性与导数的关系求最大值判断C,根据对称轴的性质判断D.

【详解】对于A, 不恒成立，

所以不是奇函数，故A错误；

对于B，，

当时，

所以，所以，故B正确；

对于C，令，

则，所以，

所以原函数可换元为，

，

令解得，

令解得或，

所以在单调递减，单调递增，单调递减，

，所以函数的最大值为，

故C正确；

对于D，，

，

因为

所以，所以的图象关于直线对称，故D正确，

故选：BCD.

12．已知F是抛物线的焦点，点在抛物线W上，过点F的两条互相垂直的直线，分别与抛物线W交于B，C和D，E，过点A分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则（    ）

A．四边形面积的最大值为2

B．四边形周长的最大值为

C．为定值

D．四边形面积的最小值为32

【答案】ACD

【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，确定四边形形状，利用勾股定理及均值不等式计算判断A，B；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出弦长即可计算推理判断C，D作答.

【详解】因为点在抛物线上，

所以，故，，

抛物线的焦点的坐标为，

因为，，

所以，当且仅当时，等号成立，

所以四边形面积的最大值为2，故A正确.

由，

得，即，

当且仅当时，等号成立，

所以四边形周长的最大值为，故B不正确.

设直线的方程为，联立消x得，

方程的判别式，

设，，则，

则，

同理得，

，C正确.

，所以，

当且仅当时，等号成立，

此时，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．某容器内液体的高度单位：与时间单位：的函数关系式为，则当时，液体高度的瞬时变化率为__________

【答案】

【分析】直接求出导函数，即可求解.

【详解】因为，所以.

依题意可得当时，液体高度的瞬时变化率为

故答案为：4

14．的展开式中，项的系数为_________．

【答案】40

【分析】根据题意可得，结合二项式展开式的通项公式计算即可求解.

【详解】，

的展开式中项为，

的展开式中没有项，

所以的展开式中含项的系数为40．

故答案为：40.

15．若数列是等比数列且，，，则______.

【答案】

【分析】求出等比数列的公比后，得的通项公式，再用累加法可求出结果.

【详解】设等比数列的公比为q，则，

则，

当时，

.

因为也适合上式，所以.

故答案为：.

16．为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，，，，若，则到轴的距离为__________.

【答案】

【分析】首先表示出，，，的坐标，依题意可得，即可得到为椭圆上一点，联立两椭圆方程，求出，即可得解.

【详解】解：不妨设，，，，

则，为椭圆的焦点，所以，

又，所以，

且，所以在以、为焦点的椭圆上，且，所以，

所以为椭圆上一点，

由，解得，则，

故到轴的距离为.

故答案为：

四、解答题

17．已知的内角，，的对边分别为，，，且，.

(1)求的大小；

(2)若，求边上高的长度.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）运用余弦定理建立的关系，代入，可求得，三角形为等腰三角形，进而求得.

（2）结合第一问，可以求得三角形的三边，利用等面积法求得高.

【详解】（1），

，

，,又，

（2），

设边上高为，

则

18．在①，②这两个条件中选一个合适的补充在下面的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程.

问题：在各项均为整数的等差数列中，，公差为，且______.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列通项公式的基本计算求解即可；

（2）根据错位相减法计算求解即可.

【详解】（1）解：若选①，则，，故不能选①，

若选②：依题意可得，解得

故．

（2）解：由（1）知，，

则，

所以，

所以

，

故．

19．口袋中有5个球，其中白球2个，黑球3个，每次从口袋中取一个球，若取出的是白球，则不放回，若取出的是黑球，则放回袋中.

(1)求在第2次取出的是黑球的条件下，第1次取出的是白球的概率；

(2)求取了3次后，取出的白球的个数的分布列及数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）运用条件概率公式计算即可；

（2）先分析出取出白球的个数的几种可能，再写出分布列，最后根据分布列算出期望.

【详解】（1）解:设第一次取出白球为事件A，第二次取出黑球为事件B，

，，

在第2次取出的是黑球的条件下，第1次取出的是白球的概率.

（2）解：设取出白球的个数为，则，

，，

，

所以X的分布列为

20．如图，在直三棱柱中，，，且二面角为为45°.

(1)求棱AC的长；

(2)若D为棱的中点，求平面与平面夹角的正切值.

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）由图及题意可得是二面角的平面角，后可得棱AC的长；

（2）建立以C为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.

【详解】（1）因平面ABC，平面ABC，则.

又，，平面，平面，

则平面.又平面，则，

故是二面角的平面角，则.

又，则.

（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，.可得，，，.

设平面的法向量为，则，

取，得.

设平面的法向量为，则，

取，得

由，得平面与平面的夹角为60°，

故平面与平面的夹角的正切值为.

21．已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，点关于轴对称的点为.当时，.

(1)求双曲线的方程；

(2)若的外心为，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)设双曲线的半焦距为，由条件列关于的方程，解方程求可得双曲线方程；

(2)设直线的方程为，利用设而不求法求点的坐标，利用表示，再求其范围.

【详解】（1）设双曲线的半焦距为，

因为双曲线的右焦点为，所以，

因为点和点关于轴对称，

所以当时，直线的方程为，

联立可得，又，

所以，又，

所以，

故双曲线方程为；

（2）若直线的斜率为0，则直线与双曲线右支只有一个交点，与已知矛盾，

所以可设直线的方程为，

联立，消，得，

方程的判别式，

设，

则，

，

由已知，所以，

所以线段的中点坐标为，

所以线段的垂直平分线方程为，

又线段的垂直平分线方程为，

所以点的坐标为，

所以，

所以，

所以，，

因为，所以，

所以，

所以

所以的取值范围为.

【点睛】直线与双曲线的综合问题，一般利用设而不求法解决；其中范围或最值问题，一般利用设而不求法求出变量的解析式，再结合函数方法求其范围或最值.

22．已知函数．

(1)求在上的极值；

(2)若，求的最小值．

【答案】(1)为极小值，无极大值.

(2)

【分析】(1)求导后，借助导数分析单调性，借助单调性分析极值的情况；

(2) 令,令，设，再借助导函数的正负性，分析原函数的单调性确定极值，再反推的单调性，判断极大值情况.

【详解】（1），令，得，

在为负，单调递减，

在为正，单调递增，

故为极小值，无极大值.

（2）由题知 ,令，

令，则 ，

设 则 ，

，为正，在单调递增，

，为负，在单调递减，

故为极大值，

若，即，此时，则在单调递减，

又，所以时，在单调递增，

时，，在单调递减，

故为极大值，所以，则当时，符合条件；

，即 此时，

存在，在上；，则在单调递增，

又，则在区间上

所以在区间上，单调递减，则，不满足条件.

综上所述的最小值为.