2023届陕西省高三下学期教学质量检测（二）数学（理）试题含解析

2023届陕西省高三下学期教学质量检测（二）数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】解不等式求得集合A，可得其补集，根据集合的运算即可判断每个选项，可得答案.

【详解】因为或,故，

又，

所以，，，，

则A正确，B，C，D错误，

故选：A．

2．定义：若复数与满足，则称复数与互为倒数.已知复数，则复数的倒数（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题首先可根据题意得出，然后通过以及复数的除法运算即可得出结果.

【详解】因为复数与互为倒数，满足，，

所以，

通过验算满足题意，

故选：A.

3．设，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据向量的运算及命题的充分必要性分别判断.

【详解】时，，，成立，“”是“”的充分条件，

时，，，解得或，所以“”不是“”的必要条件，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

4．，，，四人之间进行投票，各人投自己以外的人票的概率都是（个人不投自己的票），则仅一人是最高得票者的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】确定的得票数，分情况计算概率，求和即可.

【详解】若仅一人是最高得票者，

则的票数为，．

若的票数为，则；

若的票数为，则，，三人中有两人投给，剩下的一人与不能投同一个人，．

所以仅一人是最高得票者的概率为，

故选：C.

5．短道速滑队6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内)进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若是真命题，是假命题，是真命题，则选拔赛的结果为(    )

A．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名 B．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名

C．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名 D．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名

【答案】D

【分析】根据或且非命题真假判断即可.

【详解】若是真命题，是假命题，则p和q一真一假；

若是真命题，则q是假命题，r是真命题；

综上可知，p真q假r真，故“甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名”.

故选：D.

6．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的（    ）

A．25 B．45 C．55 D．75

【答案】A

【分析】根据程序框图依次计算可得.

【详解】；；；；；．

所以

故选：A

7．已知等比数列的前n项和与前n项积分别为，，公比为正数，且，，则使成立的n的最大值为（    ）

A．8 B．9 C．12 D．13

【答案】C

【分析】先求出，，再求出，接着求出并建立不等式，最后求解即可.

【详解】解：因为，，公比为正数显然不为1，所以，解得，，

所以，则，

要使，则，解得，

故n的最大值为12.

故选：C.

【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.

8．已知函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，．则下列选项正确的是（    ）

A．

B．的图象的对称轴方程为（）

C．的单调递减区间为（）

D．的解集为（）

【答案】D

【分析】由题意，求出函数的解析式，然后根据余弦型函数的图象与性质即可求解.

【详解】解：对A：因为函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以，故选项A错误；

对B：因为，所以，因为，所以，

所以，令（）得（），

即的图象的对称轴方程为（），故选项B错误；

对C：令（）得（），

即的单调递减区间为（），故选项C错误；

对D：令，得，

所以（），解得（），

所以的解集为（），故选项D正确．

故选：D．

9．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为，则展开式中常数项为（    ）

A．540 B．480 C．320 D．160

【答案】A

【分析】由题得求出的值，再利用二项式展开式的通项求出常数项.

【详解】由题得.

的通项为，

令.

所以展开式中的常数项为.

故选：A.

【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数，考查二项式定理求指定的项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

10．已知三棱锥中，，，D是的中点，平面ABC，点P，A，B，C在球心为O的球面上，若三棱锥的体积是，则球O的半径为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【分析】先由体积求出的长，由的外接圆的圆心为的中点，平面ABC，所以三棱锥的外接球的球心在直线上，根据直角三角形中勾股定理可求解.

【详解】三棱锥的体积,则

，则的外接圆的圆心为的中点,

又平面ABC，所以三棱锥的外接球的球心在直线上

如图，三棱锥的外接球的半径为，连接,则,

在直角三角形中，，即，解得

故选：D

11．如图，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据正三角形可得及点坐标，将点代入椭圆方程，可得，，进而可得离心率.

【详解】

由于是面积为的正三角形，

过点作轴于，则为的中点，

所以，，

所以，解得，

所以，

将点的坐标代入椭圆方程，得，

即，

解得，，

，

，

故选：B．

12．已知集合，.若存在，，使，则称函数与互为“n度零点函数”若函数与函数互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】易知的零点，设的零点为，再根据“1度零点函数”的定义得到，然后由得，构造函数求解.

【详解】由得，

由，得设其解为，

因为函数与函数互为“1度零点函数”，

所以 ，解得，

由得，

令，则，

当时，，当时，，

所以当时，取得极大值，

又，

所以实数a的取值范围为，

故选：A

二、填空题

13．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程为，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为________．

【答案】39

【分析】求得，根据样本中心点在回归直线上，求得，即可求得答案.

【详解】因为，在回归直线上，所以，

设该数据为m，则，解得，

故答案为：39

14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若的面积为，则的最小值为______．

【答案】

【分析】利用正弦定理结三角函数恒等变换公式对已知的式子化简可求出，然后由的面积为，可求出，再利用基本不等式可求出的最小值

【详解】由正弦定理，得．

，

，

因为，

所以，，

所以，

因为

所以

所以，即．

因为的面积为，所以，即 ，

所以，当且仅当时取等号，

故的最小值为．

故答案为：

15．已知函数，则的解集为________．

【答案】

【分析】判断分段函数每段上的函数值范围，进而求解不等式，即得答案.

【详解】因为当时，，当时，，

所以等价于，此时，即，解得，

所以的解集为,

故答案为：

16．如图，两个椭圆、内部重叠区域的边界记为曲线是曲线上的任意一点，给出下列四个判断：

①到、、、四点的距离之和为定值；

②曲线关于直线均对称；

③曲线所围区域面积必小于36．

④曲线总长度不大于6π．上述判断中正确命题的序号为________________．

【答案】②③

【分析】对于①，根据椭圆的定义判断即可；对于②，根据两个椭圆关于直线均对称判断即可；对于③，根据曲线所围区域在边长为6的正方形内部判断即可；对于④，根据曲线所围区域在半径为3的圆外部判断即可.

【详解】对于①，考虑点不是交点的情况，若点在椭圆 上，到、两点的距离之和为定值10、到、两点的距离之和不为定值，故错；

对于②，两个椭圆关于直线均对称，曲线关于直线均对称，故正确；

对于③，因为两个椭圆的短半轴长均为3，故曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；

对于④，因为两个椭圆的短半轴长均为3，故曲线所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长：6π，故错误；

综上可得：上述判断中正确命题的序号为②③．

故答案为：②③．

三、解答题

17．已知在各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项.

(1)求数列，的通项公式；

(2)设数列___________，求数列的前项和.请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.

【答案】(1)，

(2)答案见解析

【分析】（1）根据等差中项的定义，结合条件，可求解得到，设出公差为，则根据条件，，构成等比数列的前三项，利用等比中项的定义即可得到关于的方程从而求解得出结果；

（2）若选①，利用错位相减法计算可得；

若选②，利用裂项相消法求和即可；

若选③，利用分组求和法及对分奇偶两种情况讨论，计算可得；

【详解】（1）解：根据题意，因为数列为各项均为正数的等差数列，

所以，即得，

设公差为，则有，，，

又因为，，构成等比数列的前三项，

所以，即，

解之可得，或（舍去），

所以，即得数列是以3为首项，2为公差的等差数列，

故可得，

且由题可得，，，

所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故可得，

（2）解：若选①，则，

则①，

在上式两边同时乘以2可得，②，

①②可得，，

即得；

若选②，则，

则；

若选③，则，

则

所以当为偶数时，；

由上可得当为奇数时，，

综上可得，．

18．如图，在四棱锥中，，，，△是边长为2的等边三角形，平面平面，为线段上一点.

（1）设平面平面，证明：平面；

（2）是否存在这样点，使平面与平面所成角为，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.

【分析】（1）由线面平行的判定有平面，根据线面平行的性质得，再由线面平行的判定可证平面.

（2）设中点为，易知、、两两垂直，构建以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系并写出对应点坐标及面的一个法向量，设，求面的一个法向量，最后根据二面角大小及向量夹角的坐标表示列关于的方程求解即可，注意的范围.

【详解】（1）证明：∵，平面，平面，

∴平面，又平面，且平面平面，

∴，又平面，平面，

∴平面.

（2）设中点为，则，

∵面面，面，面面，

∴平面，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

由已知，、、、，

∴面的一个法向量为，

假设存在点使面与面所成角为，设，则，即，

设面的一个法向量为，，则，即，取，有，

由面与面所成角为，则，整理得，解得，

故存在这样的点满足条件，.

【点睛】关键点点睛：

（1）应用线面平行的判定及性质证线面平行；

（2）构建空间直角坐标系，假设点存在，设该点所在线段的线段比，利用二面角的大小及向量坐标表示，列方程求参数.

19．如图，椭圆：内切于矩形，其中，与轴平行，直线，的斜率之积为，椭圆的焦距为2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)椭圆上的点，满足直线，的斜率之积为，其中为坐标原点.若为线段的中点，则是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.

【答案】(1)

(2)是定值，定值为

【分析】（1）由题意求出直线，的斜率，即可求出，又因为焦距为2，即可就出椭圆的标准方程.

（2）方法一：联立直线与椭圆的方程由可求出，又因为：，又点，在椭圆上，代入即可求出答案.

方法二：由，是椭圆上的点，可得，

联立直线与椭圆的方程由可求出，代入化简得，即可求出答案.

【详解】（1）由题意，，则，所以，，所以，

解得：，，∴椭圆的标准方程为.

（2）（方法一）设，，则.

设直线：，由，得：，

，

由，得，

代入化简得：.

∵

，

又点，在椭圆上，∴，，即，

∵，

∴.∴.

即为定值.

（方法二）由，是椭圆上的点，可得，

把代入上式，化简，

得，，

.

20．为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．

减排器等级分布如表．

(1)若从这100件甲型号减排器中按等级用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；

(2)将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数的分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）由分层抽样的性质结合频率分布直方图得出抽取一级品的件数，再由组合公式计算概率；

（2）由二项分布的定义判断二级品数，列出分布列，计算期望.

【详解】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，

甲型号减排器中的一级品的概率为，

用分层抽样的方法抽取10件，则抽取一级品为（件），

则至少有2件一级品的概率．

（2）由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为，二级品的概率为，三级品的概率为，

若从乙型号减排器中随机抽取3件，则二级品数所有可能的取值为0，1，2，3，

且，

所以；；

；．

所以的分布列为

所以数学期望，或．

21．已知函数，．

（1）当时，设函数在区间上的最小值为，求；

（2）设，若函数有两个极值点，且，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】（1）当时，则，通过分类讨论参数，利用导数研究函数在区间上的单调性和最值，即可求得.

（2）要证，即证，当时，，则，构造函数，利用导数求出在单调递增，得出，即可证明出.

【详解】解：（1）当时，函数，则，

①当时，，在上单调递增，

所以．

②当时，令，解得，，

（i）当时，即时，在上单调递增，

由上知，此时；

（ii）当时，即时，

在上单调递减，在上单调递增，

所以；

（iii）当时，即时，在上单调递减，

此时．

综上得：，

即当时，，属于一次函数，

由于，则在区间上单调递增，

所以在区间上，；

当时，，则，

所以在区间上单调递增，

所以在区间上，；

当时，，

综合上述得出：．

（2）原式转化为求证，

当时，，

所以是方程的两根，所以，，

因为且，，所以，，

所以，

令，则，

所以在单调递增，所以，

即．

【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的单调性和最值以及利用导数证明不等式，涉及分类讨论和构造函数的方法，考查转化思想和计算能力.

22．在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)写出直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线与曲线C交于P，Q两点，PQ中点为M，A（1，0），求的值．

【答案】(1)直线的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为；

(2)8.

【分析】（1）根据参数方程、极坐标方程的知识进行转化即可；

（2）直线的参数方程也可表示为（为参数），然后利用的几何意义求解即可.

【详解】（1）由可得，即直线的普通方程为，

由可得，所以，即

所以曲线C的直角坐标方程为

（2）直线的参数方程也可表示为（为参数），

将其代入可得，

设该方程的根为，则，

所以，

所以

23．已知a，b，c为正实数且．

(1)求的最小值；

(2)当时，求a+b+c的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由已知条件，应用三元柯西不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件.

（2）由基本不等式可得，结合已知有，进而确定a、b、c的值，即可求目标式的值.

【详解】（1）由柯西不等式得：，

所以，当且仅当，即，，时，等号成立．

因此当，，时，的最小值为．

（2）由基本不等式得：，，；

以上三个式子相加得，故，

当时，仅当即，，时成立，

故．