2023届陕西省咸阳市乾县第一中学高三上学期第四次质量检测数学（理）试题含解析

2023届陕西省咸阳市乾县第一中学高三上学期第四次质量检测数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用绝对值不等式、对数式的真数为正、一元二次不等式的解法化简两个集合，再求补集.

【详解】由题意，得

，

或，

所以.

故选：D.

2．已知复数，为z的共轭复数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出复数，再利用复数除法运算计算作答.

【详解】因，则，

所以.

故选：C

3．“”是“1，，9成等比数列”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用等比数列中项公式先求出值，再根据命题的充分、必要条件进行判断即可.

【详解】若1，，9成等比数列，则有，解得；

而是的充分不必要条件，

等价于“”是“1，，9成等比数列”的充分不必要条件.

故选：B.

4．在等比数列中，，，则（    ）

A．-8 B．16 C．32 D．-32

【答案】D

【分析】根据等比数列的通项公式即可求解．

【详解】设等比数列的公比为

则，所以

故

故选：D

5．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.

【详解】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为，底面为直角梯形，上下底分别为、，梯形的高为，因此几何体的体积为，选C.

【点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状，再在具体几何体中求体积或表面积等.

6．如图所示的程序框图中， 若输入的 ， 则输出的（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由程序框图得分段函数，然后分段求函数的值域即得．

【详解】由程序框图，可得函数 ，

当 时，，

当时，，

当时，，

所以.

故选：A.

7．在数学的研究性学习中，常利用函数的图象研究函数的性质，也利用函数的解析式研究函数的性质，下列函数的解析式（其中为自然对数的底数）与所给图象最契合的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】分析合选项中函数值符号、单调性、奇偶性，并与题中的函数图象作比较，由此可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，当时，，与题中函数图象不符；

对于B选项，设，该函数的定义域为，

，函数为奇函数，

当时，，，

由，可得；由，可得或.

所以，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为，

与题中函数图象相符；

对于C选项，，

所以，函数为上的增函数，与题中函数图象不符；

对于D选项，对于函数，，可得，该函数的定义域为，

与题中函数图象不符.

故选：B.

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；

（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．

（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.

8．定义在上的偶函数满足，且在上是减少的，下面关于的判断不正确的是（    ）

A．是函数的最小值 B．的图像关于点对称

C．在上是增加的 D．的图像关于直线对称

【答案】C

【分析】根据函数性质的定义与性质逐项分析判断.

【详解】A 项：∵ ，则，

∴是周期为 4 的周期函数，

又∵在上是减少的，且在上是偶函数，

∴在上是增加的，

故是函数在上的最小值，结合周期性可得：是函数的最小值，A正确；

B项：∵ ，则，

∴的图象关于点中心对称，B正确；

C 项： ∵ 在上是减少的，且是周期为 4 的周期函数，

∴在上是减少的，C错误；

D 项：∵，故 的图象关于直线对称，D正确.

故选：C.

9．已知，，，则的最小值是

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【详解】试题分析：由，可得，所以，则，因为，，则，当且仅当即时，取得等号，所以，即的最小值是，故选A．

【解析】1、对数运算性质；2、基本不等式．

10．已知双曲线的离心率为2，则双曲线M的渐近线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先由离心率的值求出的值，则可得双曲线方程，从而可求出其渐近线方程

【详解】因为双曲线的离心率为2，

所以，解得，

所以双曲线方程为，

由，得，

所以双曲线的渐近线方程为，

故选：A

11．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用，可判断，再利用，即可得到答案.

【详解】

，则，故函数在单调递减，单调递增，则

则，即

由，∴，故

同理可证

又，∴，则

故选：C.

12．已知函数 是定义在上的可导函数， 其导函数记为， 若对于任意实数， 有， 且， 则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，利用导函数讨论其单调性，根据单调性解不等式.

【详解】令 ，

则，

因为，所以， 即为减函数，

又 ， 故，

则不等式 等价，

即， 解得，

故不等式的解集为．

故答案为: .

二、填空题

13．已知平面向量、满足，，若，则与夹角的余弦值为__.

【答案】

【分析】可求出，从而根据得出，然后进行数量积的运算即可.

【详解】由已知可得：，；

；，；

，.

故答案为：.

【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，根据向量的坐标可求向量的长度，属于中档题．

14．若曲线在在点处的切线为，则__________.

【答案】##

【分析】由题意可得，，从而可求出的值，进而可求得

【详解】将代入，得切点为，

①，

又，

，，

代入①得，

∴.

故答案为：

15．函数的零点个数为_________.

【答案】2

【解析】分段求函数零点个数，当时，利用零点存在性定理判断.

【详解】当时，，解得：，

当时，单调递增，并且，，，所以在区间内必有一个零点，所以零点个数为2个.

故答案为：2

16．已知直三棱柱 的 6 个顶点都在球的表面上， 若， 则球的体积为__________．

【答案】##

【分析】根据正余弦定理可得的外接圆半径，然后根据球的性质结合条件可得球的半径，再利用球的体积公式即得.

【详解】因为，，

所以，即，

所以的外接圆半径为，

在直三棱柱中， ，

设球的半径为，则，

因此球的体积为.

故答案为：.

三、解答题

17．求下列情况下的值

(1)若函数是偶函数, 求的值．

(2)已知 是奇函数, 且当时,,若, 求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据偶函数定义,代入化简即可得的值;

(2)根据奇函数定义,先求出的解析式,再将代入,即可得的值.

【详解】（1）因为 ,

故 ,

因为为偶函数,

故,

所以,

 整理得到,

故;

（2）因为是奇函数,

 且当时,

,

因为,

,

所以,

化简可得,

解得: .

18．已知锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若.

(1)求；

(2)若，求周长的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知及正弦定理角化边，再利用余弦定理，可求出，由已知条件得出角的范围，

进而求出角即可以求出的值.

（2）由，的值，利用正弦定理求出，进而表示出三角函数的周长，利用三角形的内角和

定理及两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质确定出周长的取值范围.

【详解】（1）由及正弦定理，

得即.

所以，由为锐角， 得，

所以.

（2）由得.

∴得周长.

，

因为，，

所以，，

所以，

即.

所以周长的取值范围为.

19．已知函数，直线是函数f(x)的图象的一条对称轴.

（1）求函数f(x)的单调递增区间;

（2）已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）首先化简函数，再根据是函数的一条对称轴，代入求，再求函数的单调递增区间；（2）先根据函数图象变换得到，并代入后，得，再利用角的变换求的值.

【详解】（1），

当时，，得，

，，

即，令，

解得：，，

函数的单调递增区间是；

（2），

，得，

，，，

【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及的性质，属于中档题型，的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，得到函数的解析式是，若向右（或左）平移（）个单位，得到函数的解析式是或.

20．已知数列，定义：“，当时，，则叫做数列的前n项差”设.

(1)求数列的前n项差；

(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）分两种情况，直接利用数列前n项差的定义求解；

（2）先求出，再利用错位相减法求解.

【详解】（1）解：∵，

∴，.

当时，

，满足.

∴.

（2）解：.

①

∴②

①-②得

.

∴.

21．如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，且，为的中点．

(1)求证：平面；

(2)求与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据已知可得结合可证明平面，进而可得，同理可得，由线面垂直的判定定理即可求证；

（2）如图建系，求出的坐标以及平面的一个法向量，利用空间向量夹角公式计算的值即可求解.

【详解】（1）因为底面为正方形，所以，

又因为，，

所以平面，

因为平面，所以，

因为，，，

所以平面，

因为平面，所以，

因为，所以平面.

（2）如图建立如图的空间直角坐标系，

则，

设为平面的一个法向量，

又因为，，

所以令，可得，，

所以得，

设与平面所成角为，

则.

所以与平面所成角的正弦值为.

22．已知函数，是其导函数，其中．

(1)若在上单调递减，求a的取值范围；

(2)若不等式对恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出导函数，根据在上单调递减，可得在上恒成立，分类参数可得在上恒成立，令，利用导数求出函数的最大值即可得解；

（2）将已知不等式转化为对恒成立，令，在对分类讨论，求出的最大值小于等于0，即可求出答案.

【详解】（1）解：，

因为在上单调递减，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

令，

则，

当时，，当时，，

所以函数在上递增，在上递减，

所以，

所以a的取值范围为；

（2）解：由得，

即对恒成立，

令，

，

当时，，不满足；

当时，时，，时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以，不符合题意；

当时，时，，时，，

所以函数在上递增，在上递减，

所以，解得，

综上所述，a的取值范围.

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，考查了学生的计算能力.