2023届安徽省滁州市定远县育才学校高三下学期第一次模拟数学试题含解析

2023届安徽省滁州市定远县育才学校高三下学期第一次模拟数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解不等式确定集合后，由交集定义计算．

【详解】由题意得：，，即，

故选：A.

【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握对数函数的性质是解题关键．

2．已知复数满足且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，根据条件先求出复数，由，先求出，从而可得出答案.

【详解】设，则，

且，即，

即，解得，，

所以，

又，

当时，

，

当时，

，

故．

故选：D

3．已知是定义在上的偶函数，且在为减函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先比较、、的大小，然后再根据函数的性质比较即可.

【详解】因为，，.

根据是定义在上的偶函数，且在为减函数，

则有，所以.

故选：C

4．函数的图像的一条对称轴为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由倍角公式和辅助角公式化简，令，即可得出答案.

【详解】

令，

解得.

故选：C.

5．记函数的定义域的交集为I，若存在，使得对任意，不等式恒成立，则称构成“单交函数对”.下列所给的两个函数构成“单交函数对”的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由“相关函数对”的定义，可得两个函数的图象有一个交点，交点两侧图象一侧满足，另一侧满足，对选项一一判断，可得结论．

【详解】解：选项A，，，可得时，函数递增；

时，函数递减，可得处函数取得最小值0，即，故不满足“相关函数对”的定义，故A错误；

选项B，在递增，与的图象有一个交点，画出两个函数的图象，符合“单交函数对”的概念，所以和在构成“相关函数对”，故B正确；

选项C，令，则在 上有一个解，和，4，有3个解，不符合“单交函数对”的定义，故C错误；

选项D，画出函数的图象如下：两个函数有两个交点，不符合“单交函数对”的定义，故D错误．

故选：B．

6．函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据奇偶性，结合特殊点，即可求解.

【详解】函数的定义域为，

，

函数是奇函数，排除AC；

当时，，

此时图像在轴的上方，排除B.

故选：D

7．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据，，两式平方相加得到，根据，得到代入求解.

【详解】因为，，

所以两式平方相加得，

即，

又因为，

所以，即，，

将代入，

得，即，

所以，

∴.

故选：D.

8．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且 .若，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，，进而在焦点三角形中由余弦定理即可得，由即可得的范围.

【详解】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，

在双曲线的右支上，由双曲线的定义，由椭圆定义，

可得，，

又，由余弦定理得，

可得，

得，即，

可得，即，

又时，可得，

即，亦即，

得.

故选：B

二、多选题

9．2022年4月23日至25日，以“阅读新时代，查进新征程”为主题的首届全民阅读大会胜利召开，目的是为了弘扬全民阅读风尚，共建共享书香中国．某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校为了了解学生在暑假期间每天的读书时间，按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取100人，其中高一学生、高二学生，高三学生每天读书时间的平均数分别为，，，每天读书时间的方差分别为，，，则下列正确的是（    ）

A．从高一学生中抽取40人

B．抽取的高二学生的总阅读时间是1860小时

C．被抽取的学生每天的读书时间的平均数为3小时

D．估计全体学生每天的读书时间的方差为

【答案】ACD

【分析】对A，由分层抽样可求解；对B，由平均数的意义可求解；对C，由平均数的估计可求解；对D，由方差的估计可去处得解.

【详解】对A，根据分层抽样，分别从高一学生、高二学生，高三学生中抽取40人，30人，30人，故A正确；

对B，抽取的高二学生的总阅读时间是，故B错误；

对C，被抽取的学生每天的读书时间的平均数为（小时），故C正确；

对D，被抽取的学生每天的读书时间的方差为，所以估计全体学生每天的读书时间的方差为，故D正确．

故选：ACD．

10．如图，在正四棱柱中，，为四边形对角线的交点，下列结论正确的是（    ）

A．点到侧棱的距离相等 B．正四棱柱外接球的体积为

C．若，则平面 D．点到平面的距离为

【答案】BD

【分析】利用正四棱柱的体对角线等于外接球直径，以及空间位置关系的向量方法证明和空间距离的向量方法计算方法即可求解.

【详解】对于A, 到侧棱的距离等于,

到侧棱的距离相等且等于,故A错误；

对于B，设正四棱柱外接球的直径为，则有,

即，所以外接球的体积等于，故B正确；

对于C，建立空间直角坐标系，如图，

则,

因为，所以,

所以，，,

所以，所以与平面不垂直，故C错误；

对于D,由以上知，设平面的法向量为，

则有，,

,即，令则，

所以，

因为,所以点到平面的距离为，故D正确.

故选:BD.

11．已知圆 ，点P是直线l:x + y = 0上一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别是A，B，下列说法正确的有（    ）

A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为

B．切线长PA的最小值为1

C．四边形AMBP面积的最小值为1

D．直线AB恒过定点

【答案】BCD

【分析】利用圆心到直线的距离可判断A，利用圆的性质可得切线长利用点到直线的距离可判断B，由题可得四边形面积为，可判断C，由题可知点，，在以为直径的圆上，利用两圆方程可得直线的方程，即可判断D．

【详解】由圆，可知圆心，半径，

圆心到直线的距离为，

圆上的点到直线的最小和最大距离分别为和，由于圆上有两个点到直线的距离距离为，故A错误；

由圆的性质可得切线长，

当最小时，有最小值，又，

，故B正确；

四边形面积为，

四边形面积的最小值为1，故C正确；

设，由题可知点，，在以为直径的圆上，又，

所以，即，

又圆，即，

两式子相减得：直线的方程为：，即，

由，得，即直线恒过定点，故D正确．

故选：BCD

12．如图，在梯形ABCD中，，，E在线段BC上，且BE=2EC，现沿线段AE将ABE折超，折成二面角，在此过程中：（     ）

A．

B．三棱锥B—AED体积的最大值为6

C．若G，F是线段AE上的两个点，GE=1，AF=，则在线段AB上存在点H，当AH=1时，HF//BG

D．

【答案】AB

【分析】对于A，通过证明面来得到；

对于B，推出当时，最大，利用体积公式求解即可；

对于C，通过得到来判断；

对于D，通过推出AD，AE是两相交线来判断.

【详解】对于A，如图，延长DC，AE相交于K点

易得，得，所以，

得四边形ABKD是为正方形.

连接BD交AK于M点，则.

则，

.

在翻折过程中始终有，，面平面

所以面平面，，故A正确.

对于B，，

当时，最大，又

此时，

，故B正确.

对于C，在选项A的正方形ABKD中，

，则，

故点为中点，则

，所以为中点，若，则H为AB的中点，

所以，故C错误.

对于D，利用选项中图像和结论来解答

若成立，又，，面，面

面，又面，

，即，

，与矛盾，故D错误.

故选：AB.

三、填空题

13．若非零向量满足，则夹角的余弦值为_______.

【答案】

【详解】试题分析：由，得，即，所以＝．

【解析】1、平面向量的数量积运算；2、平面向量的夹角．

【技巧点睛】平面向量中对模的处理主要是利用公式进行转化，即实现平面向量的运算与代数运算的转化，而求向量的夹角时，如果已知条件中没有明确关于的数量积与模的大小，通常要利用已知条件找到三者之间的关系．

14．已知定义在上的奇函数满足是上的偶函数，且，则__________.

【答案】##0.5

【分析】通过讨论函数的奇偶性、对称性和周期性，即可计算出所求的式子的值.

【详解】由题意，，

在中，是奇函数，是偶函数，

∴，，，

∴，

∴，则，

∴，即，

∴函数是以4为周期的周期函数，，

∴，，，

∴.

故答案为：.

15．的两个极值点满足，则的最小值为________.

【答案】

【分析】由已知函数求导，令则可得，代入极值点后两式作商，可得到的关系，作商得到的结果指对互换，便可解出，根据题目所求，代入后便可构造新的函数，通过求导可求得最小值.

【详解】由函数，，则，因为函数两个极值点，则

①，②，得③，设，则且，代入③得，

设，则，

设，则

，在单调递减，，从而，在单调递减，，故的最小值为.

故答案为：

【点睛】求函数最值，通常是对所求函数求导，当一阶导数不能确定极值点时，可二阶求导确定导函数的单调性和零点，可得到原函数的单调区间，进而求得原函数的最值.

16．第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为______．

【答案】

【分析】分别设出内外椭圆的方程，求出、点的坐标，得到直线与的方程，分别与内椭圆联立，根据得到的一元二次方程中的，表示出与，根据，即可得到离心率的值.

【详解】设内层椭圆方程为，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭圆方程为.

所以点坐标为，点坐标为，设切线的方程为，切线的方程为，

联立直线的方程与内层椭圆方程得，，因为直线与椭圆相切，

所以，

整理可得，.

同理，联立直线的方程与内层椭圆方程，可推出，

所以.

因为，所以，则，

所以.

故答案为：.

四、解答题

17．已知数列满足，且．

(1)求证：数列等差数列，并求出数列的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)证明见解析，

(2)

【分析】（1）利用等差数列的定义可证得结论成立，并确定数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式；

（2）利用错位相减法可求得.

【详解】（1）证明：，所以，，

即，又，则数列是等差数列，且该数列首项为，公差为，

所以，，解得．

（2）解：，①

∴，②

①②，得

，所以，．

18．在中，的对边分别为.

(1)若，求的值；

(2)若的平分线交于点，求长度的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理得出，再由余弦定理求得结果；

（2）设，把表示成两个三角形的面积和，表示出，再求其取值范围；

【详解】（1）已知，

由正弦定理可得，

，

，

，

， 即，

.

（2）由（1）知，由，则.

设，，

，，

.

19．某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：

(1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？

(2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值.

(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.

附：

【答案】(1)认为数学成绩与语文成绩有关；

(2)；

(3)分布列见解析，.

【分析】（1）零假设后，计算的值与比较即可；

（2）根据条件概率公式计算即可；

（3）分层抽样后运用超几何分布求解.

【详解】（1）零假设：数学成绩与语文成绩无关.

据表中数据计算得：

根据小概率值的的独立性检验，我们推断不成立，而认为数学成绩与语文成绩有关；

（2）∵，

∴估计的值为；

（3）按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量的所有可能取值为.

，，

，，

∴的概率分布列为：

∴数学期望.

20．如图，在四棱锥中，底面，四边形是正方形，且，是棱上的动点，是线段的中点.

(1)求证：平面；

(2)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为 ?若存在，请求出线段的长；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，计算得到，，得到证明.

（2）平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，根据向量的夹角公式计算得到或，得到答案.

【详解】（1）以为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴，

建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，，则，

，，，

，，

故，，

又，平面，平面，平面，

因此平面.

（2）由（1）平面的一个法向量为，

，，设平面的一个法向量为，

则，不妨令，则，，

故平面的一个法向量为，

设平面与平面所成的二面角为，则，

解得或，此时点在线段的延长上，

所以，不存在这样的点.

21．已知椭圆过点为.

(1)求椭圆的方程及其焦距；

(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与轴交于点，求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用代入法进行求解即可；

（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合直线的点斜式方程、代入法进行求解即可.

【详解】（1）因为椭圆过点为，

所以有；

（2）依题意过点的直线为，设、，不妨令，

由，消去整理得，

所以，解得，

所以，，

直线的方程为，令，解得，

直线的方程为，令，解得，

，

因为，，

所以，

因为，

所以，

即，

于是有，即.

【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系，得到是解题的关键.

22．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若有两个不相同的零点，设的导函数为.证明：.

【答案】(1)当时，在上单调递增，

当时，在上单调递减，在上单调递增

(2)证明见解析

【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，根据导函数的正负求出函数的单调性；

（2）先确定，不等式变形，只需证明，且得到，接下来证明对数平均不等式，得到，从而得到，所以，.

【详解】（1）的定义域为，

且，

当时，恒成立，在上单调递增，

当时，令，解得，令，解得，

故在上单调递减，在上单调递增，

综上：当时，在上单调递增，

当时，在上单调递减，在上单调递增；

（2）由（1）知：当时，在上单调递增，故至多有一个零点，不合要求，故，

要想有两个不相同的零点，则，

解得：，

，故

要证，即证，

即证：，

因为在上单调递增，

所以只需证，不妨设，

两式相减得：，

变形为，

下面证明在上成立，

只需证，即，

令，即证，

构造，，

则恒成立，

故在上单调递增，

故，所以，，

故，即，所以，，证毕.

【点睛】对数平均不等式为，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明的方法是结合，换元后将二元问题一元化，利用导函数进行证明.