2023届北京市高三数学模拟试题含解析

这是一份2023届北京市高三数学模拟试题含解析，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届北京市高三数学模拟试题

一、单选题
1．若集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题目条件，先求解，再与集合A做交集运算即可.
【详解】因，故．
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题．
2．设复数满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的四则运算得到，再根据模长公式求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：C.
3．双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小.
【详解】双曲线的两条渐近线的方程为，
由直线的斜率为，可得倾斜角为，
的斜率为，可得倾斜角为，
所以两条渐近线的夹角的大小为，
故选：B.
4．的展开式的二项式系数之和为8，则展开式的常数项等于（    ）
A．4 B．6
C．8 D．10
【答案】B
【解析】由二项式系数和求出，然后写出展开式的通项公式得常数项所在项数，从而得常数项．
【详解】因为的展开式的各个二项式系数之和为8，所以，解得，
所以展开式的通项为，令，，
则r＝1，所以常数项为6．
故选：B
5．在平面直角坐标系xOy中，设角的项点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角终边过点，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由角终边过点求出，利用诱导公式及二倍角公式化简即可得解.
【详解】因为角终边过点，，
所以，
.
故选：A
【点睛】本题考查任意角的三角函数定义，涉及三角函数诱导公式及二倍角公式，属于基础题.
6．已知函数，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将已知不等式化为，在同一坐标系下作出两个函数的图象，可得不等式的解集．
【详解】由题意，不等式，即，
等价于在上的解，
令，，则不等式为，
在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，
可得不等式的解集为，
故选：B

7．宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形它广泛的出现在艺术建筑人体和自然界中，令人赏心悦目在黄金矩形中，，，那么的值为（    ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【分析】由题意求出,建立直角坐标系，求出各个点的坐标，利用数量积求结果
【详解】由已知得
解得
如图建立直角坐标系则
则
故选：C

8．设为等比数列，若，，，，则是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】根据等比数列的性质设为等比数列，若，，，，则 ，反过来设数列为常数列1，1，1，1……,任意两项的积相等，但项数和不等，所以不必要，那么为等比数列，若，，，，则是的充分不必要条件,选A.
9．已知圆：与直线：，为直线上一动点.若圆上存在点，使得，则的最大值为（    ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】C
【解析】易知直线与圆相离，为直线上一动点，当直线与圆相切时，取得最大值，求解即可.
【详解】圆的圆心为，半径为1，圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离，
由正弦定理可得三角形的外接圆直径为，
为直线上一动点，当直线与圆相切时，此时为外接圆的直径，取得最大值，最大值为.
故选：C.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及正弦定理的应用，考查数形结合的数学思想，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.
10．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是：如图，沿正方体对角面截正方体可得两个壍堵，再沿平面截壍堵可得一个阳马（四棱锥），一个鳖臑（三个棱锥），若为线段上一动点，平面过点，平面，设正方体棱长为，，与图中鳖臑截面面积为，则点从点移动到点的过程中，关于的函数图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分析得出，可得出，求出关于的函数关系式，由此可得出合适的选项.
【详解】设、分别为截面与、的交点，，，

平面，平面，所以，平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以，，同理可得，，
所以，，
所以，，易知，
因此，.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的辨别，解题的关键就是充分分析图形的几何特征，以此求出函数解析式，结合解析式进行判断.

二、填空题
11．的零点为________．
【答案】
【解析】解方程，即可得出答案.
【详解】令，则或，解得
故答案为：

三、双空题
12．正方形中，，为中点，为中点，则_______；若为上的动点，则的最大值为_________.
【答案】         
【解析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算求得，设出点坐标，求得的表达式，进而求得的最大值.
【详解】以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由于正方形的边长为，分别是线段的中点，所以，所以.
设，则，由于，所以，所以的最大值为.
故答案为：（1）；（2）

【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

四、填空题
13．已知函数(其中为实数),若对恒成立,则满足条件的值为______________(写出满足条件的一个值即可)
【答案】答案不唯一，如：
【分析】根据f（x）≤|f（）|，可得x时，f（x）取得最大值或最小值，即写出答案；
【详解】由题意，f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，可得x时，f（x）取得最大值或最小值．
若x时，f（x）取得最大值，可得2kπ，k∈Z
若x时，f（x）取得最小值，可得2kπ，k∈Z
故答案为
【点睛】本题考查了三角形函数的性质的应用，考查了转化思想，属于基础题

五、双空题
14．已知抛物线C：的焦点为，则抛物线C的方程是________；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则|FN|＝________．
【答案】          6
【解析】利用C：的焦点坐标为,对照已知焦点坐标求得,得到抛物线的方程；利用中点坐标公式求得的横坐标，利用抛物线的定义求得到焦点的距离，进而得到所求.
【详解】抛物线C：的焦点为，可得，则抛物线C的方程是.
由M为FN的中点，在轴上，的横坐标为0，的横坐标为2，得M的横坐标为1，
抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
是抛物线上的点，是抛物线的焦点，抛物线C：的准线方程为,
，
.
故答案为：；6.
【点睛】本题考查根据焦点坐标求抛物线的标准方程中的参数，利用抛物线的定义(焦半径公式)求点到直线的距离，涉及线段中点坐标公式，属基础题.
常用知识如下:
（1） C：的焦点坐标为;
（2）C：上的点到焦点的距离为.

六、填空题
15．小图给出了某池塘中的浮萍蔓延的面积与时间（月）的关系的散点图．有以下叙述：

①与函数相比，函数作为近似刻画与的函数关系的模型更好；
②按图中数据显现出的趋势，第个月时，浮萍的面积就会超过；
③按图中数据显现出的趋势，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍；
④按图中数据显现出的趋势，浮萍从月的蔓延到至少需要经过个月．
其中正确的说法有__________（填序号）．
【答案】①②③.
【分析】结合图形求出函数的表达式，然后逐一判断
【详解】①由题意知：浮萍蔓延的面积（）与时间（月）的关系：（且），且由函数图象可知函数过点，∴，
∴这个指数函数的底数是，正确，故①正确．
∴函数解析式为．
②当时，，故第个月时，浮萍的面积就是超过成立，故②正确．
③由知，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两位，③正确．
④由知，，；，，即需要经过个月，故④不正确．
【点睛】运用函数解决实际问题，关键是建立数学模型，将其转化为函数问题，然后求解，需要理解题目意思．

七、解答题
16．如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）根据平面，得到；根据线面垂直的判定定理，得到平面，进而可证；
（Ⅱ）设的中点为，连接，连接，根据面面平行的判定定理，先证明平面平面，进而可证线面平行；
（Ⅲ）以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，根据题意，分别求出平面和平面的一个法向量，由向量夹角公式求出夹角余弦值，进而可得出结果.
【详解】（Ⅰ）因为平面，平面，所以；
又，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
即；
（Ⅱ）设的中点为，连接，则，
又平面，平面，
所以平面；
连接，因为且，          
所以是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
又，且平面，平面，
所以平面平面，  
又平面，
所以平面；    
（Ⅲ）以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、.由（Ⅰ）可知，
平面，即平面，
所以是平面的一个法向量，  
又，．
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得．  
，  
因为二面角的平面角是钝角，        
所以，二面角的余弦值为.

【点睛】本题主要考查证明线线垂直，证明线面平行，以及求二面角的余弦值，熟记线面垂直、线面平行的判定定理，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.
17．在中，，，_________.求的值.从①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】选①：5；选②：5或3；选③：或.
【解析】如果选①：利用正弦定理求出，再求出，利用正弦定理得解；
如果选②：先求出，再利用余弦定理求出；
如果选③：先求出，再利用余弦定理求解.
【详解】如果选①：因为，，，
所以在中，由正弦定理得.
所以.
故.
，所以.
又因为，所以.
所以.
在中，
.
所以.
如果选②：因为，，，所以，
由正弦定理得：.故，
由余弦定理可得：，
，解得或3.
如果选③：，则，
则，
所以.
当时，，；
当时，，
所以或.
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．某大学为调研学生在，两家餐厅用餐的满意度，从在，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分.
整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，，，，，，得到餐厅分数的频率分布直方图，和餐厅分数的频数分布表：

定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：
分数



满意度指数




(1)在抽样的100人中，求对餐厅评价“满意度指数”为0的人数；
(2)从该校在，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对餐厅评价的“满意度指数”比对餐厅评价的“满意度指数”高的概率；
(3)如果从，两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)详见解析

【分析】（1）对A餐厅“满意度指数”为0，是指分数在内，由频率分布直方图求出 内的频率，再求出人数；
（2）分别求出对A,B餐厅评价“满意度指数”为0,1,2时的概率，对餐厅评价的“满意度指数”比对餐厅评价的“满意度指数”高包括：对餐厅评价的“满意度指数”为1，对B餐厅评价的“满意度指数”为0；对餐厅评价的“满意度指数”为2，对B餐厅评价的“满意度指数”为0；对餐厅评价的“满意度指数”为2，对B餐厅评价的“满意度指数”为1，由相互独立事件计算公式，求出结果；
（3）从学生对A,B餐厅评价的“满意度指数”期望看，分别求出分布列，算出期望，得出结果.
【详解】（1）由对餐厅评分的频率分布直方图，得
对餐厅“满意度指数”为0的频率为，
所以，对餐厅评价“满意度指数”为0的人数为.
（2）设“对餐厅评价‘满意度指数’比对餐厅评价‘满意度指数’高”为事件.
记“对餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件；“对餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件；“对餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件；“对餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件.
所以，，
由用频率估计概率得：，.
因为事件与相互独立，其中，.
所以


所以该学生对餐厅评价的“满意度指数”比对餐厅评价的“满意度指数”高的概率为.
（3）如果从学生对，两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：
餐厅“满意度指数”的分布列为：









餐厅“满意度指数”的分布列为：









因为；
，
所以，会选择餐厅用餐.
注：本题答案不唯一.只要考生言之合理即可
19．已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点，已知，过且与轴垂直的直线与直线交于点，求证：点在一定直线上，并求出此直线的方程.
【答案】（1）；（2）证明见解析，直线.
【分析】（1）由椭圆过定点，结合离心率求椭圆参数，写出椭圆方程.
（2）由题设知的斜率不可能为0，可设直线的方程为，，，联立椭圆方程，应用韦达定理可得，再由点斜式表示直线：，则即可判断是否为定直线.
【详解】（1）由题意，且，又，解得，.
椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，，，联立方程
整理得，，
由，，即.
直线的方程为.①
过且与轴垂直的直线的方程为.②
联立①②可得.
点在定直线上.
【点睛】关键点点睛：第二问，设直线的方程联立椭圆方程，由韦达定理确定的关系，进而由的位置用表示出其横坐标.
20．已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若，讨论函数的单调性；
（Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）根据导数几何意义求出导数即为斜率，根据点斜式写出直线方程；
（Ⅱ）由题意得，讨论根据判定其单调区间；
（Ⅲ）法一：由题意得，讨论根据单调性判定是否成立即可得出答案；
法二：原命题等价于在上恒成立，用参变分离法求出函数最值.
【详解】（Ⅰ）当时，
，        
，   
所以切线方程为：，即：；
（Ⅱ）由题，可得
由于，的解为，
（1）当，即时，，则在上单调递增；
（2）当，即时，
在区间上，在区间上，，
所以的单调增区间为；单调减区间为.  
(3)当，即时，
在区间 上，
在区间上，，
则在上单调递增，上单调递减.  
（Ⅲ）解法一：
（1）当时，因为，所以，，所以，
则在上单调递增，成立  
（2）当时，，
所以在上单调递增，所以成立.  
（3）当时，在区间上，；在区间，，
所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合题意.     
综上所述，的取值范围是.   
解法二：
当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”.
即在上恒成立.
当时，，所以.  
当时， ，所以恒成立.
设，则
因为，所以，所以在区间上单调递增.
所以，所以.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
21．设数列（）的各项均为正整数，且.若对任意，存在正整数使得，则称数列具有性质.
（1）判断数列与数列是否具有性质；（只需写出结论）
（2）若数列具有性质，且，，，求的最小值；
（3）若集合，且（任意，）.求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列.
【答案】（1）数列不具有性质；数列具有性质（2）的最小值为（3）证明见解析
【解析】（1）不满足存在正整数使得，故数列不具有性质；根据定义可知数列具有性质；
（2）由题可知，，，，，所以，再验证可知时，数列不具有性质，时，数列具有性质，从而可知的最小值为；
（3）反证法：假设结论不成立，即对任意都有：若正整数，则，再根据定义推出矛盾，从而可证结论正确.
【详解】（1）数列不具有性质；数列具有性质.
（2）由题可知，，，，，
所以.
若，因为且，所以.
同理，
因为数列各项均为正整数，所以.所以数列前三项为.
因为数列具有性质，只可能为之一，而又因为，
所以.
同理，有.
此时数列为.
但数列中不存在使得，所以该数列不具有性质.
所以.
当时，取.（构造数列不唯一）
经验证，此数列具有性质.
所以，的最小值为.
（3）反证法：假设结论不成立，即对任意都有：若正整数，则.
否则，存在满足：存在，使得，此时，从中取出：
当时，是一个具有性质的数列；
当时，是一个具有性质的数列；
当时，是一个具有性质的数列.
（i）由题意可知，这个集合中至少有一个集合的元素个数不少于个，
不妨设此集合为，从中取出个数，记为，且.
令集合.
由假设，对任意，，所以.
（ii）在中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为，
从中取出个数，记为，且.
令集合.
由假设.对任意，存在使得.
所以对任意，，
由假设，所以，所以，所以.
（iii）在中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为，
从中取出个数，记为，且.
令集合.
由假设.对任意，存在使得.
所以对任意，，
同样，由假设可得，所以，所以.
（iv）类似地，在中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为，
从中取出个数，记为，且，
则.
（v）同样，在中至少有一个集合包含中的至少个元素，不妨设这个集合为，
从中取出个数，记为，且，同理可得.
（vi）由假设可得.
同上可知，，
而又因为，所以，矛盾.所以假设不成立.
所以原命题得证.
【点睛】本题考查了对新定义的理解和运用能力，考查了反证法，考查了集合的并集运算，准确理解定义和运用定义解题是解题关键，属于难题.