2023年全国高考数学真题重组模拟卷（三）含答案

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冲刺2023年高考数学真题重组卷03

新高考地区专用（原卷版）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2021年高考全国甲卷）设集合，则（    ）

A． B．

C． D．

2．（2022年高考全国甲卷）若，则（    ）

A． B． C． D．

3．（2022年高考全国乙卷）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ）

A．2 B． C．3 D．

4．（2020年高考全国新课标III卷）已知向量 ，满足， ，，则（ ）

A． B． C． D．

5．（2022高考全国甲卷）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．（2022年高考全国II卷）若，则（    ）

A． B．

C． D．

7．（2021年高考天津卷）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ）

A． B． C． D．

8．（2022年高考全国II卷）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（2021年高考全国I卷）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（    ）

A．两组样本数据的样本平均数相同

B．两组样本数据的样本中位数相同

C．两组样本数据的样本标准差相同

D．两组样本数据的样本极差相同

10．（2022年高考全国II卷）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ）

A．在区间单调递减

B．在区间有两个极值点

C．直线是曲线的对称轴

D．直线是曲线的切线

11．（2021年高考全国II卷）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（       ）

A． B．

C． D．

12．（2022年高考全国I卷）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ）

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（2022年高考天津卷）的展开式中的常数项为______.

14．（2020年高考天津卷）已知，且，则的最小值为_________．

15．（2018年高考江苏卷）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．

16．（2022年高考浙江卷）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（2022年高考全国甲卷）记为数列的前n项和．已知．

(1)证明：是等差数列；

(2)若成等比数列，求的最小值．

18．（2020年高考全国I卷）（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)若，求B；

(2)求的最小值．

19．（2022年高考全国II卷）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

20．（2022年高考全国I卷）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

(1)求A到平面的距离；

(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．

21．（2021年高考北京卷）已知椭圆一个顶 点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．

22．（2022年高考浙江卷）设函数．

(1)求的单调区间；

(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：

（ⅰ）若，则；

（ⅱ）若，则．

（注：是自然对数的底数）

冲刺2023年高考数学真题重组卷03

新高考地区专用（参考答案）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．

14．4

15．3

16．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17． (1)证明见解析；(2)．【解析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；

（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．

【详解】（1）因为，即①，

当时，②，

①②得，，

即，

即，所以，且，

所以是以为公差的等差数列．……4分

（2）[方法一]：二次函数的性质

由（1）可得，，，

又，，成等比数列，所以，

即，解得，

所以，所以，

所以，当或时，．……10分

[方法二]：【最优解】邻项变号法

由（1）可得，，，

又，，成等比数列，所以，

即，解得，

所以，即有.

则当或时，．

【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；

法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．

18．(1)；(2)．【解析 】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；

（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．

【详解】（1）因为，即，

而，所以；……4分

（2）由（1）知，，所以，

而，

所以，即有，所以

所以

．

当且仅当时取等号，所以的最小值为．……12分

19．(1)岁；(2)；(3)．【解析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；

（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，根据对立事件的概率公式即可解出；

（3）根据条件概率公式即可求出．

【详解】（1）平均年龄

    （岁）．……3分

（2）设{一人患这种疾病的年龄在区间}，所以

．……6分

（3）设“任选一人年龄位于区间[40,50)”，“从该地区中任选一人患这种疾病”，

则由已知得：

,

则由条件概率公式可得

从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为．……12分

20． (1)；(2)【解析】（1）由等体积法运算即可得解；

（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.

【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，

则，

解得，

所以点A到平面的距离为；……4分

（2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,

又平面平面，平面平面，

且平面，所以平面，

在直三棱柱中，平面，

由平面，平面可得，，

又平面且相交，所以平面，

所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，

由（1）得，所以，，所以，

则,所以的中点，

则，,

设平面的一个法向量，则，

可取，

设平面的一个法向量，则，

可取，

则，

所以二面角的正弦值为.……12分

21．（1）；（2）．【解析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求，从而可求椭圆的标准方程.

（2）设，求出直线的方程后可得的横坐标，从而可得，联立直线的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简，从而可求的范围，注意判别式的要求.

【详解】（1）因为椭圆过，故，

因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，

故椭圆的标准方程为：.……3分

（2）

设，

因为直线的斜率存在，故，

故直线，令，则，同理.

直线，由可得，

故，解得或.

又，故，所以

又

故即，

综上，或.……12分

22． (1)的减区间为，增区间为.(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.【解析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.

（2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ） ，，则题设不等式可转化为，结合零点满足的方程进一步转化为，利用导数可证该不等式成立.

【详解】（1），

当，；当，，

故的减区间为，的增区间为.……3分

（2）（ⅰ）因为过有三条不同的切线，设切点为，

故，

故方程有3个不同的根，

该方程可整理为，

设，

则

，

当或时，；当时，，

故在上为减函数，在上为增函数，

因为有3个不同的零点，故且，

故且，

整理得到：且，

此时，

设，则，

故为上的减函数，故，

故.……7分

（ⅱ）当时，同（ⅰ）中讨论可得：

故在上为减函数，在上为增函数，

不妨设，则，

因为有3个不同的零点，故且，

故且，

整理得到：，

因为，故，

又，

设，，则方程即为：

即为，

记

则为有三个不同的根，

设，，

要证：，即证，

即证：，

即证：，

即证：，

而且，

故，

故，

故即证：，

即证：

即证：，

记，则，

设，则，所以，

，

故在上为增函数，故，

所以，

记，

则，

所以在为增函数，故，

故即，

故原不等式得证：……12分

【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.