2023年上海市高考考前信息必刷模拟数学卷（一）含答案

这是一份2023年上海市高考考前信息必刷模拟数学卷（一）含答案，共18页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
  绝密★启用前2023年高考数学考前信息必刷卷01上海专用（考试时间：120分钟  试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合，若，则的最大值为________.2．对数函数的图象经过点，则的解析式为______.3．已知向量，，若，则__．4．随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则__________.123450.10.20.30.15．已知函数是奇函数，则____.6．已知，则，的值域为__________.7．2022年11月30日，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．若执行下次任务的3名航天员有一人已经确定，现需要在另外2名女性航天员和2名男性航天员中随机选出2名，则选出的2名航天员中既有男性又有女性的概率为__________．8．如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，若，则球的表面积为__________.9．记为数列的前项和，为数列的前项积，已知，则的通项公式为______.10．已知点，点是双曲线的右焦点，点是双曲线右支上一动点，则当的周长取得最小时的面积为__________;11．若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为___________.12．在上非严格递增，满足，若存在符合上述要求的函数及实数，满足，则的取值范围是__________.二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（    ）A． B．C． D．14．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（    ）A． B．平面平面ABNC．直线GB与AM是异面直线 D．直线GB与平面AMD无公共点15．若在曲线上，若存在过的直线交曲线于点，交直线于点，满足或，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（     ）A．曲线上所有点都是点B．曲线上仅有有限多个点是点C．曲线上所有点都不是点D．曲线上有无穷多个点（但不是全部）是点16．已知直线上有两点，,且，已知若，且,满足，则这样的点 A个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.已知四棱锥的底面为菱形，且，，与相交于点．(1)求证：底面；(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小的正弦值．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.已知，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，且的图象关于对称．(1)求；(2)若的角所对的边依次为，外接圆半径为，且，若点为边靠近的三等分点，试求的长度．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的．经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数的取值范围．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分6分.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，、分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且.(1)求椭圆方程；(2)对于轴上的某一点，过作不与坐标轴平行的直线交椭圆于、两点，若存在轴上的点，使得对符合条件的恒有成立，我们称为的一个配对点，求证：点是左焦点的配对点；(3)根据（2）中配对点的定义，若点有配对点，试问：点和点的横坐标应满足什么关系，点的横坐标的取值范围是什么？并说明理由.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分.设是定义在上的函数，若对任何实数以及、恒有成立，则称为定义在上的下凸函数．(1)试判断函数，是否为各自定义域上的下凸函数，并说明理由；(2)若是下凸函数，求实数的取值范围；(3)已知是上的下凸函数，是给定的正整数，设，，记，对于满足条件的任意函数，试求的最大值．
绝密★启用前2023年高考数学考前信息必刷卷01上海专用（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）一、填空题1．已知集合，若，则的最大值为________.【答案】2．对数函数的图象经过点，则的解析式为______.【答案】3．已知向量，，若，则__．【答案】##0.254．随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则__________.123450.10.20.30.1 【答案】05．已知函数是奇函数，则____.【答案】##6．已知，则，的值域为__________.【答案】7．2022年11月30日，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．若执行下次任务的3名航天员有一人已经确定，现需要在另外2名女性航天员和2名男性航天员中随机选出2名，则选出的2名航天员中既有男性又有女性的概率为__________．【答案】8．如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，若，则球的表面积为__________.【答案】【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，则棱锥的高等于球的半径，由此可由棱锥体积求得球的半径，从而得球的表面积．9．记为数列的前项和，为数列的前项积，已知，则的通项公式为______.【答案】10．已知点，点是双曲线的右焦点，点是双曲线右支上一动点，则当的周长取得最小时的面积为__________;【答案】11．若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为___________.12．在上非严格递增，满足，若存在符合上述要求的函数及实数，满足，则的取值范围是__________.【答案】二、单选题13．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（    ）A． B．C． D．【答案】D14．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（    ）A． B．平面平面ABNC．直线GB与AM是异面直线 D．直线GB与平面AMD无公共点【答案】D15．若在曲线上，若存在过的直线交曲线于点，交直线于点，满足或，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（     ）A．曲线上所有点都是点B．曲线上仅有有限多个点是点C．曲线上所有点都不是点D．曲线上有无穷多个点（但不是全部）是点【答案】D16．已知直线上有两点，,且，已知若，且,满足，则这样的点 A个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B 三、解答题17．已知四棱锥的底面为菱形，且，，与相交于点．(1)求证：底面；(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）欲证明一条直线垂直于一个平面，只需证明该直线垂直于平面内两条相交的直线即可；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量的数量积计算.【解析】（1） ， 是等腰三角形，O是BD的中点， ，同理 ，又 平面ABCD， 平面ABCD， 平面ABCD；（2） 四边形ABCD是菱形， ，以O为原点，直线BD为x轴，AC为y轴，PO为z轴，建立空间直角坐标系如下图：则有： ， ， ， ，设平面PCD的一个法向量为 ，则有 ，即 ，令 ，则 ， ，设直线PB与平面PCD的夹角为 ，则 ；综上，直线PB与平面PCD的夹角的正弦值为 .18．已知，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，且的图象关于对称．(1)求；(2)若的角所对的边依次为，外接圆半径为，且，若点为边靠近的三等分点，试求的长度．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据三角恒等变换可得，由正弦型函数的图象变换可得，根据正弦型函数的对称性即可求解；（2）由可得，根据正弦定理可求，从而可求，在中利用余弦定理可求与，在中利用余弦定理即可求.【解析】（1），，因为的图象关于对称，所以，所以.又，所以；（2），因为，所以或，所以或.因为，所以，在中，由正弦定理得，因为点为边靠近的三等分点，所以，由余弦定理得，即，解得，所以，在中，由余弦定理得，所以．19．疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的．经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数的取值范围．【答案】（1）当时不满足条件②，见解析（2）【分析】（1）因为当时，，所以不满足条件② ；（2）求导得：，当时，满足条件①；当时，在上单调递增，所以.由条件②可知，，即，等价于在上恒成立，问题得解.【解析】（1）因为当时，，所以当时不满足条件② .（2）由条件①可知，在上单调递增，所以当时，满足条件；当时，由可得当时，单调递增，，解得，所以 由条件②可知，，即不等式在上恒成立，等价于当时，取最小值综上，参数的取值范围是．【点睛】本题考查了导数求函数单调性以及恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题.20．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，、分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且.(1)求椭圆方程；(2)对于轴上的某一点，过作不与坐标轴平行的直线交椭圆于、两点，若存在轴上的点，使得对符合条件的恒有成立，我们称为的一个配对点，求证：点是左焦点的配对点；(3)根据（2）中配对点的定义，若点有配对点，试问：点和点的横坐标应满足什么关系，点的横坐标的取值范围是什么？并说明理由.【答案】(1)(2)证明见解析(3)，的取值范围是 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆方程.（2）设，设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，通过计算来证得结论成立.（3）根据求得的取值范围，设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，由求得与的关系.【解析】（1）由于椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且，所以，解得，所以椭圆方程为.（2）由（1）得，由于在椭圆内，所以，过且与坐标轴不平行的直线与椭圆必有两个交点，设此时直线的方程为，由消去并化简得，设，则，设， 所以，所以，所以，所以点是左焦点的配对点.（3）依题意，点有配对点，设直线的方程为，由于，所以必须在之间，而在椭圆上，结合椭圆的对称性以及直线与坐标轴不平行，可知的取值范围是.此时在椭圆的内部，直线必与椭圆有两个交点，由消去并化简得，设，则，由于，所以，即，所以.【点睛】在圆锥曲线中，求解角度相等的题（），可转化为斜率问题来进行求解，联立直线的方程和圆锥曲线的方程，化简写出根与系数关系后的解题关键点一个是运算要准确，另一个是利用方程的思想来进行求解.21．设是定义在上的函数，若对任何实数以及、恒有成立，则称为定义在上的下凸函数．(1)试判断函数，是否为各自定义域上的下凸函数，并说明理由；(2)若是下凸函数，求实数的取值范围；(3)已知是上的下凸函数，是给定的正整数，设，，记，对于满足条件的任意函数，试求的最大值．【答案】(1)是下凸函数，不是下凸函数，理由见解析(2)(3) 【分析】（1）利用下凸函数的定义结合作差法判断可得出结论；（2）利用下凸函数的定义结合作差法可得出，由此可求得实数的取值范围；（3）对任意，，取，，，利用下凸函数的定义可得出，取可使得成立，即可求得的最大值.【解析】（1）解：是下凸函数，证明如下：对任意实数、及，有．即，所以是下凸函数．不是下凸函数，理由如下：取，，，则．即．所以不是下凸函数．（2）解：是下凸函数，则对任意实数、及，有．即当时，；当时，，当且仅当时，等号成立，不合乎题意.所以当时，是下凸函数．（3）解：当且，对任意，，取，，．因为是上的下凸函数，令，且，，所以．那么．由（1）可知是下凸函数，且使得都成立，此时；当时，，合乎题意.综上所述，的最大值为．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义“下凸函数”，本题第3问求的最大值时，除了利用下凸函数的定义推导出，还应找出相应的下凸函数使得，才能使得的最大值能取到.