人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数达标测试
展开第三章 函数的概念与性质
3．3 幂函数
例 证明幂函数是增函数.证明：函数定义域是.
，，且，有
.
因，，
所以，即幂函数是增函数.
练习
1. 已知幂函数的图象过点，试求出这个函数的解析式.
【答案】
【解析】
【分析】直接带点计算即可.
【详解】由已知，得，即.
2. 利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1），；（2），.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据的单调性比较大小；
（2）根据在上的单调性比较大小.
【详解】解：（1）设，则在R上为增函数.
，.
（2）设，则在上为减函数，
，.
【点睛】本题考查幂函数的单调性的应用，属于基础题.
3. 根据单调性和奇偶性的定义证明函数的单调性和奇偶性.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义判断，利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.
【详解】证明：的定义域为R.
任取，且，则.
，且，，.
，即.
在上为增函数.
又，为奇函数.
【点睛】本题考查幂函数的单调性及奇偶性的证明，属于基础题.
习题3．3
复习巩固
4. 画出函数的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.
【答案】图像见解析，偶函数，讨论见解析
【解析】
【分析】
将绝对值去掉，将函数解析式写出分段函数的形式，再根据幂函数的性质及图象画出函数图象，从而可以判断函数的奇偶性和单调性.
【详解】解：
的图象如图所示，
设的定义域为R.
，
为偶函数.
当时，为增函数，证明如下：
设任意的，且，则.
，且即.
在上为增函数.
当时，为减函数，证明如下：
设任意的，且，则.
，且，即.
在上是减函数.
【点睛】本题考查分段函数及幂函数的图象及性质，属于中档题.
综合运用
5. 在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v，（单位：）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比.
（1）写出气体流量速率v，关于管道半径r的函数解析式；
（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到）.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1））设比例系数为，由题意可得：．
（2）代入可得．
（3）利用（2）的表达式即可得出．
【详解】解：（1）设比例系数为，气体的流量速率关于管道半径的函数解析式为.
（2）将与代入中，有.解得，
所以，气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式为.
（3）当时，.所以，当气体81通过的管道半径为5cm时，该气体的流量速率约为.
【点睛】本题考查了正比例函数的解析式及幂函数其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6. 试用描点法画出函数的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.
【答案】图像见解析，定义域：，值域：，讨论见解析，证明见解析
【解析】
【分析】
函数，可得．可得定义域，，可得，可得值域；在求解奇偶性，并作出其大致图象，利用定义证明单调性即可；
【详解】解：.
列表：
x | … | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | … |
… | 1 | 1 | … |
描点，连线.图象如图所示.
定义域：，值域：.在上是增函数，在上是减函数.
证明如下：设任意的，且.则.
.
，即，在上是增函数.
设任意的，且，则.
，
，即.
在上是减函数.
是偶函数.
【点睛】本题考查幂函数的图象及性质，单调性的证明，属于中档题．
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