2023届贵州省高三考前备考指导解压卷数学（理）试题含解析

这是一份2023届贵州省高三考前备考指导解压卷数学（理）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数即可得出答案.
【详解】由题知，.
故选：C.
2．已知集合，，若中有个元素，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分、、三种情况讨论，在前两种情况下，直接验证即可；在时，根据中有个元素，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】分以下三种情况讨论：
当时，，不合乎题意；
当时，由可得，此时，不合乎题意；
当时，，则直线、与圆各有两个交点，
则，解得.
因此，B选项满足条件.
故选：B.
3．已知在中，点D为边BC的中点，若，则（ ）
A．1B．－1C．2D．－2
【答案】D
【分析】结合几何关系，利用向量的线性运算法则即可将用来表示，从而得到答案.
【详解】因为点D为边BC中点，
所以，
所以，，.
故选：D.
4．某产品2020年1月~12月的月销售量统计如下图所示，现有如下说法：
①2020年产品销售量最多的月份在上半年，产品销售量最少的月份在下半年；
②任取1个月份，产品销售量高于20000的概率为；
③与2020年上半年相比，下半年产品的销售量相对平稳.
则正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】对于①比较条形图中最高的小矩形与最低的小矩形的分布即可；对于②运用古典概型求其概率即可；对于③比较上半年与下半年的条形图的波动性即可.
【详解】2020年产品销售量最多的月份为1月份，在上半年，销售量最少的月份为10月份，在下半年，故①正确；
任取1个月份，产品销售量高于20000的月份有5个，故所求概率，故②错误；
由图可知，2020年上半年条形图的波动性较大，下半年条形图的波动性较小，故③正确.
故选：C.
5．展开式中的常数项为（ ）
A．13B．17C．18D．22
【答案】B
【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出.
【详解】的展开式中的常数项为.
故选：B.
6．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用导数的几何意义求解.
【详解】，
，
又，
所求切线方程为，
即.
故选：C.
7．已知曲线，下列命题错误的是（ ）
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是圆，其半径为
C．若，则是双曲线，其渐近线方程为
D．若，，为上任意一点，，为曲线的两个焦点，则
【答案】D
【分析】根据椭圆和双曲线的性质以及定义逐一判断即可.
【详解】曲线，若，则是椭圆，其焦点在轴上，故A正确；
若，则，即是圆，半径为，故B正确；
若，则是双曲线，当，则渐近线方程为，当，则渐近线方程为，故C正确；
若，，则是双曲线，其焦点在轴上，由双曲线的定义可知，，故D错误；
故选：D
8．若函数的最小值为，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据x的范围分类讨论去掉的绝对值符号，再根据二次函数的性质和f(x)的最小值即可求出关于a的方程，令，根据g(a)的单调性即可求出a的范围．
【详解】当时，，
当时，，
∵，
∴的最小值为，∴，即，
设，则是R上的增函数，
∵，，
∴．
故选：C．
9．若直线：上存在长度为2的线段AB，圆O：上存在点M，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意，以AB为直径的圆与圆О有公共点，设AB中点为，则，问题转化为圆O上存在点M，直线上存在点N，使得，根据点到直线的距离公式列出不等式，即可求得的取值范围.
【详解】由题意，以AB为直径的圆与圆О有公共点，设AB中点为，则，问题转化为圆O上存在点M，直线上存在点N，使得，故只需点M到直线的距离的最小值小于或等于1，即点О到直线的距离，解得或.
故选：A.
10．已知函数满足，且在上单调，则在上的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先通过，且在上单调，确定的值，再通过三角函数值域的求法求解在上的值域即可.
【详解】由得，或，
当时在上不单调，
当时在上单调，
所以.
当时，，
所以，
所以在上的值域为.
故选：B .
11．已知正三棱锥中，，，该三棱锥的外接球球心到侧面距离为，到底面距离为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正三棱锥的性质及所给条件得到，，两两垂直，将三棱锥补成正方体，该三棱锥的外接球就是正方体的外接球，求出外接球的半径，即可得到，，从而得解.
【详解】在正三棱锥中为等边三角形，顶点在底面的射影为底面的重心，所以，
又，，所以，所以，同理可得、
即，，两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，该三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
正方体的体对角线就是外接球的直径，易得三棱锥的外接球半径，又，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，令，所以，
则点到平面的距离，所以.
故选：B
12．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵，若，随机变量所有可能的取值为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用对数的运算和作差法，随机变量的创新应用即可判断.
【详解】依题意知，，，，…，，
∴，
又，
∴，又，，…，，
∴，∴.
故选：D.
二、填空题
13．已知实数，满足约束条件则的最大值是___________.
【答案】##.
【分析】画出不等式组所表示的平面区域，平移直线，当其经过点C时取得最大值.
【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，
设，则，
，则点，
所以当直线经过点时，取到最大值，且.
故答案为：.
14．国庆节期间，某市举行―项娱乐活动，需要从5名男大学生志愿者及3名女大学生志愿者中选出6名分别参与A，B，C三个服务项目，每个项目需要2人，其中A项目需要男志愿者，B项目需要1名男志愿者及1名女志愿者，则不同的选派方法种数为_________________．
【答案】540
【分析】根据分步计数，计算安排A项目、B项目、C项目的选派方法数，应用乘法公式求总选派方法数.
【详解】1、A项目选派方法数有种，
2、B项目选派方法数有种，
3、C项目选派方法数有种，
不同的选派方法种数为．
故答案为：
15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为___________.
【答案】##
【分析】结合余弦定理和已知条件表示出csA，再利用基本不等式求出csA的最小值，判断角A的大小，再根据求出tanA的最大值，从而根据即可求出答案．
【详解】由余弦定理及,得，
∴，
∵A是三角形内角，故A为锐角，
∴，
∴的面积．
故答案为：
16．设О为坐标原点，A为椭圆C：上一个动点，过点A作椭圆C内部的圆E：的一条切线，切点为D，与椭圆C的另一个交点为B，D为AB的中点，若OD的斜率与DE的斜率之积为2，则C的离心率为___________.
【答案】
【分析】设，，，根据点差法可得，由题意可知，则，进而可求得椭圆的离心率.
【详解】设，，，则，.
将A，B代入C，得两式相减，得，
所以，即.
由：可知，圆E与y轴相切，如图.
由题意可知，不妨设OD的斜率为，且.
,是等腰三角形，，
，所以.
由OD的斜率与DE的斜率之积为2，可得，解得（负值舍去）.
所以，所以，即.
所以，所以，
所以C的离心率为.
故答案为：.
三、解答题
17．已知数列是等差数列，数列是公比不等于1的等比数列，且，，.
(1)求与；
(2)设，求.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）运用等差数列、等比数列的基本量计算即可.
（2）运用错位相减法求和即可.
【详解】（1）设的公差为，的公比为，
由，，，得，
解得，，
所以，.
（2）由（1）得，
所以，
两式相减得，
所以.
18．如图，在五面体中，平面，平面，.
（1）求证：；
（2）若，，且与平面所成角的大小为，设的中点为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由线面垂直的性质可得，再由线面平行的判定可得平面，再由线面平行的性质即可证明.
（2）过作于点，在平面中，作，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建系，求出平面的一个法向量 与平面的一个法向量，由即可求解.
【详解】（1）证明：平面，平面，.
平面，平面，平面.
平面平面，平面，.
（2）解：平面，平面，
平面平面，过作于点，则平面，
，为边长等于的等边三角形.
在平面中，作，
如图，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建系，
则，，，，.
设平面的法向量为，平面的法向量为，
，，，取，
，，，取，
记平面与平面所成的角为，
所以.
19．2021年1月8日，青岛市委统筹疫情防控和经济运行工作领导小组（指挥部）办公室发布致广大市民朋友们的一封信，提出线上拜年､见屏如面也是一种时尚，呼吁春节期间尽量就地过节，家庭私人聚会聚餐时控制在10人以下，非必要不出青岛.某社会活动研究小组随机调研了某区域500名居民对“春节期间非必要不出青岛”的态度，分为“出青岛”和“不出青岛”两种情况将调研数据进行整理，统计如下：
(1)判断是否有95%的把握认为对“春节期间非必要不出青岛”的态度与“性别”有关；
(2)在参与调研的“出青岛”的居民中，按照性别进行分层抽样，共选取5人进行工作环境追踪，再从5人中随机取3人进行出行地域追踪，若这3人中抽取的男性人数为，求的分布列与数学期望.
附：，.
临界值表：
【答案】(1)有95%的把握认为对“春节期间非必要不出青岛”的态度与“性别”有关
(2)分布列答案见解析，数学期望为
【分析】（1）计算出卡方，与3.841比较后得到结论；
（2）利用分层抽样的概念求出抽取的5人中，男性3人，女性2人，从而得到的可能取值及对应的概率，得到分布列，并求出期望值.
【详解】（1）由题意得2×2列联表如下：
所以，
所以有95%的把握认为对“春节期间非必要不出青岛”的态度与“性别”有关.
（2）由题意可知，分层抽样抽取的5人中，男性3人，女性2人，
随机变量的所有可能取值为1，2，3，
其中，，，
所以随机变量的分布列为：
所以.
20．已知抛物线：，直线与抛物线C只有1个公共点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线与曲线C交于A，B两点，直线OA，OB与直线分别交于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)过定点和，理由见解析
【分析】（1）联立直线与抛物线并整理为一元二次方程，由题设知，即可求参数p，进而写出抛物线方程；
（2）设，，联立直线与已知抛物线方程，应用韦达定理得、，进而求出、，根据，写出以MN为直径的圆，韦达公式代入得，即可判断定点.
【详解】（1）由，得，
因为直线与抛物线C只有1个公共点，
所以，解得或（舍），故抛物线的方程为.
（2）设，，由得，，
所以，，.
所以，
，
直线OA的方程为，直线OB的方程为，
令得，，.
以MN为直径的圆的方程为，
即，即，
令，可得，解得或.
所以以MN为直径的圆经过定点和.
21．已知.
(1)讨论的单调性；
(2)确定方程的实根个数.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）对求导，讨论，，和时，的正负，即可得出的单调性；
（2）将方程的实根个数转化为直线与的图象交点个数，对求导，结合的单调性和值域即可求出答案.
【详解】（1）因为，
所以，
当时，时，，是增函数，
时，，是减函数.
当时，或时，，是增函数，
时，，是减函数.
当时，，在上是增函数.
当时，或时，，是增函数，
时，，是减函数.
综上可得:当时，在上是增函数，在上是减函数；
时，在，上是增函数.在上是减函数；
时，在上是增函数；
时，在，上是增函数，在上是减函数.
（2）方程的实根个数即的实根个数.
即直线与的图象交点个数.
因为，所以时，，是增函数，
时，，是减函数.
因为，则的图象如图所示：
时，取值范围是，
时，取值范围是，
所以当，即时，方程没有实根，
当或，即或时，方程有1个实根；
当，即时，方程有2个实根.
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，在确定导函数的正负时，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照是否有根，根的大小进行分类求解的．
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数且）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程及的直角坐标方程；
(2)若曲线及没有公共点，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由曲线的参数方程，利用代入法消去参数得曲线的普通方程，注意变量的取值范围；再将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）由圆心到直线的距离大于半径可求出的取值范围.
【详解】（1）曲线的参数方程为，消去参数得曲线的普通方程为.
，即，
由，，，得曲线的直角坐标方程为，
即.
（2）曲线表示以，为端点的线段（不包括点B），曲线及没有公共点，如图：
当与相切时，， ，
解得：，
即的取值范围是.
23．已知，且.
(1)解关于的不等式：；
(2)求证：对任意恒有.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分类讨论、、时分别解不等式即可.
（2）根据已知条件证得，再运用绝对值三角不等式可证得即可.
【详解】（1）由，且得，
所以，，
当时，由得，该不等式不成立.
当时，由得，解得.
当时，由得，该不等式恒成立.
综上得不等式的解集为.
（2）证明：由，且得，
所以，
又因为，
所以，
又因为，当且仅当时取等号.
所以对任意：恒有.
出青岛
不出青岛
男性
60
190
女性
40
210
0.15
0.10
0.05
0.25
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
出青岛
不出青岛
总计
男性
60
190
250
女性
40
210
250
总计
100
400
500
1
2
3