人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换练习，共39页。试卷主要包含了5 三角恒等变换等内容，欢迎下载使用。

第五章 三角函数
5．5 三角恒等变换
例1 利用公式证明：
（1）； （2）.
证明：（1）

.
（2）

.
例2 已知，，，是第三象限角，求的值.
解：由，，得

.
又由，是第三象限角，得

.
所以

.
例3 已知，是第四象限角，求，，的值.
解：由，是第四象限角，得，
所以.
于是有
；

；

.
例4 利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）.
分析：和、差角公式把的三角函数式转化成了，的三角函数式.如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简.
解：（1）由公式，得



.
（2）由公式，得



.
（3）由公式及，得



.
例5 已知，，求，，的值.
分析：已知条件给出了的正弦函数值.由于是的二倍角，因此可以考虑用倍角公式.
解：由，得.
又，
所以
于是

；


；

.
例6 在中，，，求的值.
解法1：在中，
由，，得，
所以，
.
又，
所以.
于.
解法2：在中，
由，，得，
所以，
又，
所以，.
所以

.
例7 试以表示，，.
解：是的二倍角.在倍角公式中，以代替，以代替，得，
所以. ①
在倍角公式中，以代替，以代替，得，
所以. ②
将①②两个等式的左右两边分别相除，得.
例8 求证：
（1）；
（2）.
证明：（1）因为
，

将以上两式的左右两边分别相加，得，
即.
（2）由（1）可得. ①
设，，
那么，.
把，的值代入①，即得.
例9 求下列函数的周期，最大值和最小值：
（1）； （2）.
分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是，利用和角公式将其展开，可化为的形式.反之，利用和（差）角公式，可将转化为的形式，进而就可以求得其周期和最值了.
解：（1）

.
因此，所求周期为，最大值为2，最小值为-2.
（2）设，则.
于是，，
于是，
所以.
取，则，.
由可知，所求周期为，最大值为5，最小值为-5.
例10 如图5.5-2，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形.记，求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.

分析：可先建立矩形的面积S与之间的函数关系，再求函数的最大值.
解：在中，，.
在中，.
所以，
.
设矩形的面积为S，则






.
由，得，所以当，即时，
.
因此，当时，矩形的面积最大，最大面积为.
5．5．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
练习
1. 利用公式证明：
（1）； （2）．
【答案】证明见解析；
【解析】
【分析】直接利用两角差的余弦公式计算可得；
【详解】证明：根据，
所以（1）．
（2）
2. 利用公式求的值.
【答案】
【解析】
【分析】
将转化为，再利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】


【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式，属于基础题.
3. 已知，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】首先利用平方关系求出，再利用两角差的余弦公式计算可得；
【详解】解：因为，，所以，因为，所以
所以
4. 已知，是第二象限角，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】
由平方关系得出，再利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】由，是第二象限角，得
所以
【点睛】本题主要考查了平方关系以及两角差的余弦公式，属于基础题.
5. 已知，，，，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】
由平方关系得出，的值，再利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】由，，得
由，，得
所以
【点睛】本题主要考查了平方关系以及两角差的余弦公式，属于中档题.
练习
6. 利用和（差）角公式，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）利用两角差的正弦公式计算即可求解；
（2）利用两角和的余弦公式计算即可求解；
（3）利用两角和的正弦公式计算即可求解；
（4）利用两角差的正切公式计算即可求解.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
【小问3详解】
.
【小问4详解】
.
7. （1）已知，，求的值；
（2）已知，是第三象限角，求的值；
（3）已知，求值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）首先利用平方关系求出，再根据两角和的正弦公式计算可得；
（2）首先利用平方关系求出，再根据两角和的余弦公式计算可得；
（3）直接利用两角和的正切公式计算可得；
【详解】解：（1）因为，，所以，因为，所以，所以
（2）因为，，所以，因为是第三象限角，所以，所以
（3）因为，所以
8. 求下列各式的值：
（1）；
（2）
（3）
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【解析】
【分析】由条件利用两角和差的三角公式、诱导公式，即可求出各题．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：；
【小问3详解】
解：；
【小问4详解】
解：；
【小问5详解】
解：；
【小问6详解】
解：
．
9. 化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】
【分析】
（1）将原式变形为，逆用两角和的余弦公式化简即可；
（2）将原式变形为，逆用两角和的正弦公式化简即可；
（3）将原式变形为，逆用两角差的正弦公式化简即可；
（4）将原式变形为，逆用两角和的余弦公式化简即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式.
【点睛】本题主要考查了逆用两角和与差的正弦，余弦公式，属于中档题.
10. 已如，是第三象限角，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】
逆用两角差的正弦公式以及诱导公式得出，根据平方关系得出，结合两角和的正弦公式求解即可.
【详解】∵，∴，
∴，又是第三象限角，∴.
因此.
【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦公式以及平方关系，属于中档题.
练习
11. 已知，，求，，的值.
【答案】，，
【解析】
【分析】
由的范围，确定所在象限，利用平方关系以及商数关系得出，，利用二倍角公式得出，，的值.
【详解】因为，所以.
又由，得，，
所以，
，
.
【点睛】本题主要考查了利用平方关系，商数关系以及二倍角公式化简求值，属于中档题.
12. 已知，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】
由诱导公式得出，结合二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】由，得，
所以.
【点睛】本题主要考查了利用诱导公式以及二倍角的余弦公式化简求值，属于基础题.
13. 已知，，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】
由二倍角的正弦公式得出，利用平方关系以及商数关系化简得出的值.
【详解】由，且，可得.又由，
得，所以.
【点睛】本题主要考查了利用二倍角的正弦公式，平方关系，商数关系化简求值，属于基础题.
14. 已知，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】
由二倍角的正切公式化简得出，解方程即可得出答案.
【详解】由，得，所以，
所以.
【点睛】本题主要考查了二倍角的正切公式，属于基础题.
15. 求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】
（1）将原式变形为，逆用二倍角的正弦公式求解即可；
（2）逆用二倍角的余弦公式求解即可；
（3）将原式变形为，逆用二倍角的正切公式求解即可；
（4）逆用二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）原式；
（4）原式.
【点睛】本题主要考查了逆用二倍角公式化简求值，属于中档题.
5．5．2 简单的三角恒等变换
练习
16. 求证：.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
利用二倍角公式对代数式进行变形，即可得证.
【详解】.
.
所以
【点睛】此题考查三角恒等式的证明，关键在于熟练掌握二倍角公式的应用，根据公式进行化简变形.
17. 已知，且，试求和的值.
【答案】；
【解析】
【分析】
根据得，根据半角公式求值.
【详解】∵，∴，∴，.
∴；.
【点睛】此题考查半角公式的应用，根据公式化简求值，关键在于熟练掌握相关公式，半角公式在使用的过程中需要注意考虑正余弦值的取值范围.
18. 已知等腰三角形的顶角的余弦等于，求这个三角形的一个底角的正切.
【答案】
【解析】
【分析】
设等腰三角形顶角为，一个底角为，则底角，根据即可求解.
【详解】设等腰三角形顶角为，一个底角为，则底角，由题意知.
∴，，∴，∴这个角形的一个底角的正切为.
【点睛】此题以等腰三角形为背景求底角的正切值，其本质在于利用三角恒等变换进行化简求值.
19. 求证：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】证明见解析；
【解析】
【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简等式的左侧，证明即可．
【详解】证明：（1）
；
（2）
；
（3）
等式成立．
20. 求证：（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）处理，利用两角和差的正弦公式求证；
（2）处理即可得证；
（3）处理即可得证.
【详解】（1）


.
（2）.
=

即
（3）


.
【点睛】此题考查三角恒等式的证明，关键在于准确构造角的关系，熟练掌握两角和差的正余弦公式进行化简.
练习
21. 求下列函数的周期，最大值和最小值：
（1）；（2）.
【答案】（1）最小正周期为，，（2）最小正周期为，，
【解析】
【分析】
（1）利用辅助角公式化简即可求得周期和最值；
（2）利用辅助角公式化简即可求得周期和最值
【详解】（1），
∴最小正周期为，，.
（2），
∴最小正周期为，，.
【点睛】此题考查求函数的周期和最值，关键在于熟练掌握辅助角公式进行三角恒等变换，根据公式化简求值.
22. 要在半径为R的圆形场地内建一个矩形的花坛，应怎样截取，才能使花坛的面积最大？
【答案】截取矩形的长为，宽为时，花坛面积最大.
【解析】
【分析】
设圆心为O，长方形面积为S，设，表示出面积，即可求得最值.
【详解】如图，设圆心为O，长方形面积为S，
设，则，，

∴，
∴当时，花坛的面积最大，.此时，，.
∴截取矩形的长为，宽为时，花坛面积最大，最大值为.
【点睛】此题考查利用三角函数求解应用题，关键在于合理建立函数模型，根据函数性质求解最值和最值取得的条件.
23. 已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R.求证.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
根据正n边形的内切圆与边的切点结合外接圆半径找出直角三角形关系，利用直角三角形三角函数值的关系即可得证.
【详解】设O是内切圆圆心，OB、OA分别是内切圆半径，外接圆半径，

则，，∴，.
在中，，即，∴，
,即，∴，
∴
.
【点睛】此题考查正n边形的内切圆外接圆半径关系的证明，关键在于准确找出相应图形中的等量关系.
习题 5．5
复习巩固
24. 已知，，，，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的平方关系求出和，再利用差角的余弦公式，代入计算即可.
【详解】∵，且，∴；
又∵，且，∴.
∴.
【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系和角的范围，考查差角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
25. 已知都是锐角，，求的值.（提示：.）
【答案】
【解析】
【分析】
根据都是锐角，，运用同角三角函数的平方关系，可以求出的值，再根据题中的提示运用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】解：由是锐角，得.
因为是锐角，所以.
又因为，所以，
所以.
【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系，考查了两角差的余弦公式，考虑到角之间的和差关系是解题的关键，考查了数学运算能力.
26. 已知，，求的值.
【答案】.
【解析】
【分析】由知，依条件得值，代入计算即可.
【详解】，，
又，，
则
.
【点睛】本题考查给值求值问题，考查了两角差的余弦公式，同角的三角函数基本关系式，考查了学生的运算求解能力.
27. 在中，，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】
根据，A,B为的内角，利用同角三角函数的平方关系，可以求出的值，分类讨论，利用两角和的正弦公式和余弦公式求出的值.
【详解】解：且A,B为的内角，
.
当时，，
，不合题意，舍去，，
.
【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系，考查了两角和的正弦公式、余弦公式，考查了数学运算能力.
28. 已知，求的值.
【答案】，
【解析】
【分析】
根据，，利用两角和、差的正切公式直接求正切值即可.
【详解】解：

.
【点睛】本题考查了两角和、差的正切公式，考查了数学运算能力.考虑到角之间的和差关系是解题的关键.
29. 化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.
【解析】
【分析】
（1）用诱导公式把题目中的角都化到小于等于的正角，然后逆用两角和的正弦公式求解即可；
（2）用诱导公式把题目中的角都化到小于等于的正角，然后逆用两角和的正弦公式求解即可；
（3）结合诱导公式、逆用两角和的正弦公式直接求解即可；
（4）结合诱导公式、逆用两角差的余弦公式直接求解即可；
（5）结合诱导公式、逆用两角差的正切公式直接求解即可；
（6）根据两角和的正弦公式和余弦公式展开计算，再逆用两角差的正弦和余弦公式化简，最后根据同角三角函数的商数关系化简即可.
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）；
（6）.
【点睛】本题考查了正用、逆用两角和差的正弦、余弦、正切公式，考查了诱导公式，考查了特殊角的三角函数值，考查了同角三角函数的商数关系.
30. 已知，求的值（精确到0.01）.
【答案】，
【解析】
【分析】
运用同角三角函数的平方关系，结合已知求出的值，再利用二倍角的正弦公式和余弦公式求解即可.
【详解】解：由，得，
，.
【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了数学运算能力.
31. 求证：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
（1）将等式的左边运用完全平方差的公式展开，再逆用二倍角的正弦公式即可证明出等式的左边等于等式的右边；
（2）将等式的左边用两角和差的正切公式展开，然后通分，最后逆用二倍角的正切公式即可证明出等式的左边等于等式的右边；
（3）根据同角三角函数的平方关系和二倍角的正弦公式，可以证明出等式的左边等于等式的右边；
（4）等式的左边运用同角三角函数的平方关系、二倍角的余弦公式，完全平方和平方差公式，最后利用同角三角函数的商数关系可以证明出等式的左边等于等式的右边；
（5）等式的左边运用二倍角的余弦公式、同角三角函数的商数关系可证明出等式的左边等于等式的右边；
（6）等式的左边运用二倍角的余弦公式、正弦公式、同角三角函数的商数关系可证明出等式的左边等于等式的右边.
【详解】证明：（1）左边右边；
（2）左边右边；
（3）左边右边；
（4）左边右边；
（5）左边右边；
（6）左边右边.
【点睛】本题考查了三角恒等式的证明，考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了公式的恒等变形能力.
32. 已知；
（1）求证：；（2）求证：．
【答案】（1）利用两角和差公式化简求证即可（2）化弦为切即可证明
【解析】
【详解】试题分析：（1）∵，，∴……①
∵，∴……②
联立①②解得，∴，得证
（2）由得，∴，得证
考点：本题考查了两角和差公式的运用
点评：三角求值题解题的一般思路是“变角、变名、变式” ，变角：它决定变换的方向，通过找出已知条件和待求结论中的差异，分析角之间的联系，决定用哪一组公式，是解决问题的关键；变名：在同一个三角式中尽可能使三角函数的种类最少，一般考虑化弦或化切（用同角三角函数的关系式或万能公式）；变式：由前二步对三角式进行恒等变形，或逆用、变形用公式，使问题获解；
33. 已知，求证.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
通过已知可以求出的值，运用二倍角的正切公式计算等式左边代数式的值，再运用两角和的正切公式计算等式右边的值即可.
【详解】证明：由已知可解得.
于是，
，
.
【点睛】本题考查了两角和的正切公式，考查了二倍角的正切公式，考查了数学运算能力.
34. 已知一段圆弧所对的圆心角的正弦值等于，求这段圆弧所对的圆周角的正弦、余弦和正切.
【答案】正弦、余弦、正切值分别为或.
【解析】
【分析】
根据同圆或等圆中同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，根据同角三角函数的平方关系，分类讨论，结合半角公式求解即可.
【详解】解：设这段圆弧所对的圆心角为，圆周角为
则，且，
均为正值，由，得.
当时，.
当时，.
∴这段弧所对圆周角的正弦、余弦、正切值分别为或.
【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系、商数关系，考查了圆周角和圆心角的关系，考查了数学运算能力.
35. 化简
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】
【分析】
运用辅助角公式对四个三角式直接化简即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【点睛】本题考查了辅助角公式的应用，考查特殊角的三角函数值的应用，考查了数学运算能力.
综合运用
36. 在中，已知是x的方程的两个实根，求.
【答案】
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的根与系数关系，结合两角和的正切公式直接求解即可.
【详解】解：是x的方程，
即的两个实根.
，
.
由于.
【点睛】本题考查了两角和的正切公式，考查了一元二次方程根与系数关系，考查了三角形内角和定理，考查了数学运算能力.
37. 在中，，BC边上的高等于,则（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：设
,故选C.

考点：解三角形.
视频

38. 求证：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）对等式的左边运用二倍角的余弦公式进行运算即可证明出等式的左边等于等式的右边；
（2）对等式的左边运用切化弦、逆用两角差的正弦公式、辅助角公式可以证明出等式的左边等于等式的右边.
【详解】证明：（1）左边
右边；
（2）左边
右边.
【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、同角三角函数的商数关系，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力.
39. 是否存在锐角，使得：，同时成立？若存在，求出锐角的值；若不存在，说明理由.
【答案】存在，
【解析】
【分析】利用两角和的正切公式可得，结合可求及，求出后可得的值.
【详解】假设存在锐角使得，
同时成立.
得，所以.
又因为，所以.
因此可以看成是方程的两个根.
解该方程得.
若，则.这与为锐角矛盾.
所以，
故，因为为锐角，
所以.
所以满足条件的存在，且.
【点睛】三角方程的求解的基本方法是消元法，也可以利用三角变换公式把三角方程化简为角的三角函数的方程，求出它们的值后可得角的大小，化简三角方程时要关注三角方程的结构形式便于找到合理的三角变换方法.
视频

40. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数的最大值和最小值.
【答案】（1）周期为，单调递增区间为. （2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式、辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式和单调性求解即可；
（2）利用辅助角公式直接求解即可.
【详解】解：（1）
，最小正周期为；
由，得，∴单调递增区间为.
（2），其中，的最大值为，最小值为.
【点睛】本题考查了用辅助角公式求解正弦型函数的最小正周期、单调区间和最值，考查了数学运算能力.
拓广探索
41. 观察以下各等式：
，
，
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
【答案】
【解析】
【详解】本试题主要是考查了合情推理的运用，根据已知的关系式观察发现了角的关系，然后将特殊问题一般化 思想，是一种归纳推理的运用．并运用二倍角公式加以证明猜想的正确性．
证明：

42. 你能利用所给图形，证明下列两个等式吗？

；
.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
取线段AB的中点M，求出它的坐标，再利用圆的几何性质和锐角三角函数中正弦的定义和余弦的定义证明即可.
【详解】证明：线段AB的中点M的坐标为.过点M作垂直于x轴，交x轴于，如图，则.在中，.
在中，.


于是有，.
【点睛】本题考查了利用单位圆、锐角三角函数中正弦的定义、余弦的定义证明三角恒等式，考查了数形结合思想.
43. 设.利用三角变换，估计在时的取值情况，进而猜想x取一般值时的取值范围.
【答案】猜想，当时，.
【解析】
【分析】
根据同角三角函数的平方关系，二倍角的正弦公式，分别求出当时，的取值范围，然后猜想出x取一般值时的取值范围.
【详解】解：当时，；
当时，，此时有；
当时，，此时有，由此猜想，当时，.
【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系，考查了正弦的二倍角的公式，考查了正弦函数的值域，运用代数式的恒等变形是解题的关键.