人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用课时作业

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用课时作业，共11页。试卷主要包含了7 三角函数的应用等内容，欢迎下载使用。
第五章  三角函数5．7  三角函数的应用例1  如图5.7-3，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数.（1）求这一天6~14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式.解：（1）由图5.7-3可知，这段时间的最大温差是20℃.（2）由图5.7-3可以看出，从6~14时的图象是函数        ①半个周期的图象，所以，.因为，所以.将，，，，代入①式，可得.综上，所求解析式为，.一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围.例2  海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.表5.7-2是某港口某天的时刻与水深关系的预报.表5.7-2时刻水深/m时刻水深/m时刻水深/m0:005.09:182.518:365.03:067.512:245.021:422.56:125.015:307.524:004.0（1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值（精确到0.001m）.（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与洋底的距离），该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？（3）某船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船这一天在2:00开始卸货，吃水深度以0.3的速度减少，如果这条船停止卸货后需0.4h才能驶到深水域，那么该船最好在什么时间停止卸货，将船驶向较深的水域？分析：观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性.根据表5.7-2中的数据画出散点图，如图5.7-4.从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如的函数来刻画，其中x是时间，y是水深.根据数据可以确定A，，，h的值.解：（1）以时间x（单位：h）为横坐标，水深y（单位：m）为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（图5.7-4）.根据图象，可以考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出：，，，；由，得.所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数近似描述.由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值（表5.7-3）：表5.7-3时刻0:001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水深/m5.0006.2137.1227.4977.2456.4285.2534.0143.0232.5292.6563372时刻12:0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水深/m4.4975.7486.8127.4207.4206.8125.7484.4973.3722.6562.5293.023（2）货船需要的安全水深为，所以当时就可以进港.令，.由计算器可得如图5.7-5，在区间内，函数的图象与直线有两个交点A，B，因此，或.解得，.由函数的周期性易得：，.因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.（3）设在h时货船的安全水深为m，那么（）.在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象，可以看到在6~8时之间两个函数图象有一个交点（图5.7-6）.借助计算工具，用二分法可以求得点P的坐标约为，因此为了安全，货船最好在6.6时之前停止卸货，将船驶向较深的水域.练习1. 某简谐运动的图象如图所示,试根据图象回答下列问题:（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？（2）写出这个简谐运动的函数解析式.【答案】（1）振幅是3,周期是4,频率是;（2）.【解析】【分析】（1）根据振幅、周期与频率的定义,结合函数图像,即可求得答案;（2）设简谐运动的函数解析式为:,结合（1）即可求得答案.【详解】（1）根据图像可知:, 根据,可得. 振幅是3,周期是4,频率是（2）设简谐运动的函数解析式为:根据（1）,根据最小正周期计算公式为:,可得可得根据中点坐标公式可求得:中点为可得: 的一个顶点坐标为:故,解得, 当时: 【点睛】本题考查了求解余弦型函数表达式和实际应用,解题关键是掌握余弦型函数的图像特征和的最小正周期计算公式为: ,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.2. 如图,一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线,一端固定,另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度(最大偏角)后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动.若线长为,沙漏摆动时离开平衡位置的位移(单位:)与时间(单位:)的函数关系是,.（1）当时,求该沙漏的最大偏角(精确到0.0001)；（2）已知,要使沙漏摆动的周期是,线的长度应当是多少(精确到)?【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1） 因为,可得的最大值为,设偏角为,可得最大偏角满足,通过计算器,即可求得答案;（2）根据的最小正周期计算公式为:,即可求得答案.【详解】（1） 可得的最大值为设偏角为 可得最大偏角满足根据计算器计算结果可得: （2）根据的最小正周期计算公式为: ,即即,故 解得:.【点睛】本题考查了求解余弦型函数表达式和实际应用,解题关键是掌握余弦型函数的图像特征和的最小正周期计算公式为: ,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.3. 一台发电机产生的电流是正弦式电流,电压和时间之间的关系如图所示.由图象说出它的周期、频率和电压的最大值,并求出电压(单位:)关于时间(单位:)的函数解析式.【答案】振幅为,周期为,频率为,【解析】【分析】电压关于时间函数是正弦函数,根据图像可求得振幅和,即可求得答案.【详解】电压关于时间函数是正弦函数根据图像可求得振幅,根据根据最小正周期计算公式: ,解得 根据,代入, 函数图像过点,可得
综上所述, 振幅为,周期为,频率为,【点睛】本题考查了求解正弦函数表达式和实际应用,解题关键是掌握正弦函数的图像特征和基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.练习4. 下图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过周期后,乙点的位置将移至何处?【答案】乙点位置将移至它关于x轴的对称点处【解析】【分析】波从乙点传到戊点正好是一个周期,经过周期,波正好从乙点传到丁点,在波的传播过程中,绳上各点、只是上下振动,纵坐标在变,横坐标不变,即可求得答案.【详解】波从乙点传到戊点正好是一个周期,经过周期,波正好从乙点传到丁点.又在波的传播过程中,绳上各点、只是上下振动,纵坐标在变,横坐标不变,即横坐标不变,纵坐标与图中的丁点相同. 经过周期,乙点位置将移至它关于x轴的对称点处,【点睛】本题考查了三角函数图像平移,解题关键是掌握三角函数图像的特征和平移前后点坐标之间的关系,考查了分析能力,属于基础题.5．自出生之日起，人的体力、情绪、智力等心理、生理状况就呈周期变化．根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种．这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段．以上三个节律周期的半数为临界日，这就是说11．5天、14天、16．5天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日．临界目的前半期为高潮期，后半期为低潮期．生日前一天是起始位置（平衡位置），请根据自己的出生日期，绘制自己的体力、情绪和智力曲线，并总结自己在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力．习题  5．7综合运用5. 天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化.如图是一造父变星的亮度随时间的周期变化图，此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？【答案】周期为5.5天，最亮时约是3.7等星，最暗时约是4.4等星.【解析】【分析】根据图象确定周期以及最值时对应自变量.【详解】根据图象得周期为5.5-0=5.5最亮时约是3.7等星，最暗时约是4.4等星.【点睛】本题考查三角函数图象与性质，考查基本分析识图能力，属基础题.6. 弹簧挂着的小球作上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由下列关系式确定：.以t为横坐标，h为纵坐标，作出这个函数在一个周期的闭区间上的图象，并回答下列问题.（1）小球在开始振动时（即）的位置在哪里？（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？（3）经过多少时间小球往复振动一次？（4）每秒钟小球能往复振动多少次？【答案】（1）（2）见解析；（3）经过秒往复运动一次（4）次【解析】【分析】（1）代入解析式求解（2）利用图像直接求解（3）利用图像得周期（4）利用求解【详解】函数在上的图象如图：（1）时，，即小球在开始振动时的位置.（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是.（3）小球往复运动一次，就是一个周期，秒，即经过秒往复运动一次.（4）每秒钟往复运动的次数.【点睛】本题考查三角函数图像的实际应用，考查读题转化能力，是基础题拓广探索7．北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗．请根据年鉴或其他参考资料，统计过去一年不同日期的日出和日落时间．（1）在同一直角坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；（2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？9．夏天是用电的高峰时期，特别是在晚上，为保证居民空调制冷用电，电力部门不得不对企事业单位拉闸限电，而到了零时以后，又出现电力过剩的情况．因此每天的用电也出现周期性的变化．为保证居民用电，电力部门提出了“消峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同时降低后半夜低峰时期的电价，鼓励各单位在低峰时用电．请调查你们地区每天的用电情况，制定一项“消峰平谷”的电价方案．