2023届山东省泰安市高三下学期一轮检测数学试题含解析

2023届山东省泰安市高三下学期一轮检测数学试题

一、单选题

1．设集合M，N，P均为的非空真子集，且，，则（    ）

A．M B．N C． D．

【答案】D

【分析】利用文氏图，表示集合的关系，求解.

【详解】如图，中间的阴影和左边的空白是集合，中间的阴影和右边的空白表示集合，如图，表示两边空白区域，则表示集合的空白区域，即表示为

故选：D

2．若复数z满足，则（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的运算法则求得复数，再求其共轭复数即可.

【详解】因为，故.

故选：C．

3．若的二项展开式中的系数是，则实数的值是（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】原式利用二次展开通项公式化简，根据的系数是，求出的值即可.

【详解】根据的二项展开通项公式.

令，得到，由的系数是，得到，

解得：，

故选：D

·

4．已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据线面垂直的性质证明充分性成立，由线面垂直的定义判断必要性不成立.

【详解】由线面垂直的性质知，若，，则成立，即充分性成立；

根据线面垂直的定义，必须垂直平面内的两条相交直线，才有，即必要性不成立.

故选：A.

5．已知数列的前n项和为，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定递推公式求出即可计算作答.

【详解】因数列的前n项和为，，，则，

，，

所以.

故选：D

6．已知，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用同角公式化正弦为余弦，求出的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得.

【详解】依题意，原等式化为：，整理得：，

因，则，解得：，

所以.

故选：B

7．青少年是国家的未来和民族的希望，青少年身体素质事关个人成长､家庭幸福，民族未来，促进青少年健康是建设体育强国､健康中国的重要内容.党中央历来高度重视青少年体质与健康管理工作，亲切关怀青少年和儿童的健康成长，不断出台相关政策法规，引导广大青少年积极参与体育健身，强健体魄､砥砺意志，凝聚和焕发青春力量.近年来，随着政策措施牵引带动，学生体质与健康水平不断迈上新台阶.某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（    ）

A．样本的众数为67.5 B．样本的80%分位数为72.5

C．样本的平均值为66 D．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人

【答案】C

【分析】由频率分布直方图的众数、百分位数、平均数以及频数的计算公式对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于A，样本的众数为67.5，故A正确；

对于B，设样本的80%分位数为，

因为

则，解得：，故B正确；

对于C，设样本的平均值为，

,

故C不正确；

对于D，该校男生中低于60公斤的学生所占的频率为：，

该校男生中低于60公斤的学生大约为人，故D正确.

故选：C.

8．已知直线与圆相切，与抛物线相交于两点，以为直径的圆过坐标原点，则直线的方程为（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】B

【分析】设直线方程，利用直线与圆相切，与抛物线相交，且验证以为直径的圆过坐标原点，即可求得直线方程.

【详解】若直线的斜率不存在，又直线与圆相切，则直线的方程为或，

又直线与抛物线相交于两点，则直线的方程为，此时可设，，且，

所以，不符合题题意；

若直线的斜率存在，设直线得方程为，由直线与圆相切，

则圆心到直线的距离为，所以①，

设，则联立抛物线与直线方程得，得，

所以，

则

，

整理得：②，联立①②解得或，

所以直线的方程为或.

故选：B.

二、多选题

9．下列结论正确的有（    ）

A．若随机变量满足，则

B．若随机变量，且，则

C．若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点

D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05

【答案】BCD

【分析】对A，根据方差的性质判断即可；

对B，根据正态分布的对称性判断即可；

对C，根据回归直线的性质判断即可；

对D，根据独立性检验的性质判断即可

【详解】对A，由方差的性质可知，若随机变量满足，则，故A错误；

对B，根据正态分布的图象对称性可得，故B正确；

对C，根据回归直线过样本中心点可知C正确；

对D，由可知判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05，故D正确

故选：BCD

10．如图，正方形ABCD的边长为1，M，N分别为BC，CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论中正确的是（    ）

A．异面直线AC与BD所成的角为定值

B．三棱锥的外接球的表面积为

C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．三棱锥体积的最大值为

【答案】ABD

【分析】利用线面垂直的性质判断A；易知外接球球心是中点求解判断B；利用垂直的转化通过反证法可判断C选项；利用等积法判断D选项.

【详解】对于A，取中点，连接，则，且，所以平面，所以，异面直线与所成的角为，为定值，故选项A正确；

对于B，因为OA=OB=OC=OD，所以外接球球心是，所以外接球半径，

∴四面体的外接球体积为，故B正确．

对于C，若直线与直线垂直，

∵直线与直线也垂直，则直线平面，

∴直线直线，又，∴平面，∴，

而是以和为腰长的等腰三角形，与题意不符，故C错误；

对于D，，当平面平面时三棱锥体积取最大值，

此时，故选项D正确.

故选：ABD.

11．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．既是奇函数，又是周期函数 B．的图象关于直线对称

C．的最大值为 D．在上单调递增

【答案】AB

【分析】根据奇函数和周期函数的定义即可判断选项；根据对称轴的性质即可判断选项；根据二倍角的余弦公式化简换元成关于正弦的三次函数，利用导数判断函数的单调性求出最值，进而判断选项；利用导数的正负与函数的单调性的关系即可判断选项.

【详解】对于，因为函数的定义域为，

又，所以函数为奇函数；

又因为，所以函数为周期函数，故选项正确；

对于，若函数的图象关于直线对称，则成立，

因为，所以，故选项正确；

对于，因为函数，令，则函数可化为，，令，解得，

所以在和上单调递减，在上单调递增，又因为，，所以函数的最大值为，

故选项错误；

对于，因为，若函数在上单调递增，则在上恒成立，取，则，故选项错误，

故选：.

12．已知函数有两个极值点，，则（    ）

A． B． C． D．，

【答案】ACD

【分析】求出，根据已知得有两个变号零点，令，求出，分类讨论根据其正负得出单调性，令其满足有两个变号零点，当时，不满足题意，当时，则，即可解出的范围，判断A；

根据已知可得有两个变号零点，，而函数在上单调递增，在上单调递减，则，即可判断B；

，则，根据不等式的性质即可得出范围，判断C；

根据得出函数单调性，结合，且，列不等式，即可判断D.

【详解】对于A：，定义域，

，

函数有两个极值点，，

则有两个变号零点，

设，

则，

当时，，则函数单调递增，则函数最多只有一个变号零点，不符合题意，故舍去；

当时，时，，时，，

则函数在上单调递增，在上单调递减，

若有两个变号零点，则，解得：，

此时由正趋向于时，趋向于，趋向于时，趋向于，

则有两个变号零点，满足题意，

故的范围为：，故A正确；

对于B：函数有两个极值点，，

即有两个变号零点，，

则，故B错误；

对于C：当时，，

则，即，，

则，故C正确；

对于D：有两个变号零点，，且函数先增后减，

则函数在与上单调递减，在上单调递增，

，且，

，故D正确；

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常转化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理；

再利用导数研究函数单调性、极值或最值时，如果一次求导无法求解，可考虑多次求导来进行求解，求解过程要注意原函数和对于的导函数的关系，不能混淆.

三、填空题

13．设是定义域为R的偶函数，且.若，则的值是___________.

【答案】##0.25

【分析】由题意可得是周期为2的函数，即可求解.

【详解】因为是定义域为的偶函数，所以；

又，所以，

所以是周期为2的函数，则.

故答案为：.

14．已知双曲线C：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则以（e为双曲线C的离心率）为焦点的抛物线的标准方程为___________.

【答案】

【分析】根据已知条件求得双曲线的离心率，也即求得，从而求得抛物线的标准方程.

【详解】依题意，，双曲线的一条渐近线方程为，

依题意，三角形是边长为的等边三角形，

所以到的距离是，

即，

所以对于抛物线，有，

所以抛物线方程为.

故答案为：

15．如图，在等边三角形ABC中，，点N为AC的中点，点M是边CB（包括端点）上的一个动点，则的最大值为___________.

【答案】3

【分析】以AB中点为原点，边所在的直线为轴，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可得到答案.

【详解】以AB中点为原点，边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则，，，AC中点.

设，则，

.

∵在直线上，∴，

∴，

∵，∴当时，的最大值为3.

故答案为：3.

16．已知函数且在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是___________．

【答案】

【分析】由题意可知在两段上均为增函数，且在上的最小值大于或等于，作出和的图象，根据交点个数判断与3的大小关系，以及直线和抛物线相切的条件，列出不等式组解出．

【详解】是上的单调递增函数，

在，上单调递增，

可得，

且，即，

作出和的函数草图如图所示：

由图象可知在上有且只有一解，

可得，或，即有△，

即有或；

由，解得，即时，有且只有一解．

则的范围是，．

故答案为，．

【点睛】本题考查分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题．

四、解答题

17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求A；

(2)若，，，求b，c.

【答案】(1)；

(2)，.

【分析】（1）根据给定条件，利用三角恒等变换化简，再利用正弦定理角化边，用余弦定理求解作答.

（2）利用平面向量的数量积及余弦定理列出方程组，求解方程组作答.

【详解】（1）在中，依题意，

则，即，

由正弦定理得：，由余弦定理得，而，

所以.

（2）依题意，，则，

又，，则有，即，又，解得，

所以，.

18．已知等差数列是递增数列，为数列的前n项和，，，，成等比数列.

(1)求；

(2)求.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组，解之即可求出首项和公差，进而即可求解；

（2）结合（1）的结论求出，然后利用裂项相消法即可求解.

【详解】（1）设等差数列的公差为d，，

，即

整理得，

解得，或（舍）

所以

故，

（2）由（1）知，，所以，

所以，

则，

.

19．在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为6的正方形，，，，，点P，Q分别在棱GD，BC上，且，，.

(1)证明：平面ABCD；

(2)设H为线段GC上一点，且三棱锥的体积为18，求平面ACH与平面ADH夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可；

（2）由三棱锥的体积公式结合题意可知H为GC的中点，由（1）知，平面ABCD，以A原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面ACH与平面ADH的法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案.

【详解】（1）取线段AD中点R，RD的中点K，连接GR，PK，QK

∵，

∴E，A，D，G四点共面，且，

∴ARGE为平行四边形，∴

又∵，

∴，∴

∵，，∴，∴

又∵，PQ，平面PQK，，

∴平面PQK，又∵平面PQK

∴，∴

又∵，AB，平面ABCD，

∴平面ABCD

（2）设H到平面ABCD的距离为h，则三棱锥的体积为

，∴

又∵G到平面ABCD的距离为6，∴H为GC的中点

由（1）知，平面ABCD，以A原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

∴，，

设平面ACH的一个法向量为，则

∴，取，解得

∴

设平面ADH的一个法向量为，则

∴，取，解得

∴

∴，

∴平面ACH与平面ADH夹角的余弦值为.

20．某公司为活跃气氛提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额.

(1)若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求

①员工所获得的奖励为1000元的概率；

②员工所获得的奖励额的分布列及数学期望；

(2)公司对奖励额的预算是人均1000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成.为了使员工得到的奖励总额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由.

【答案】(1)①；②分布列答案见解析，数学期望：元

(2)答案见解析

【分析】（1）①根据古典概型公式计算即可；

②写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式计算期望即可；

（2）先根据题意可确定方案（800，800，200，200）和方案（400，400，600，600），分别求出两种方案的期望与方差，比较两者即可得出结论.

【详解】（1）设员工所获得的奖励额为X，

①，

∴员工所获得的奖励额为1000元的概率为；

②X所有可能的取值为400，1000，

，，

∴X的分布列为

∴员工所获得的奖励额的期望为元；

（2）根据公司预算，每个员工的平均奖励额为1000元，

所以先寻找期望为1000元的可能方案，

对于面值由800元和200元组成的情况，

如果选择（200，200，200，800）的方案，因为1000元是面值之和的最大值，

所以期望不可能为1000元，

如果选择（800，800，800，200）的方案，

因为1000元是面值之和的最小值，所以期望不可能为1000元，

因此可能的方案是（800，800，200，200）记为方案1，

对于面值600元和400元的情况，

同理排除（600，600，600，400）和（400，400，400，600）的方案，

所以可能的方案是（400，400，600，600）记为方案2，

对于方案1，设员工所获得的奖励额为，可取，

，，，

∴的期望为，

方差，

对于方案2，设员工所获得的奖励额为，可取，

，，，

∴的期望为，

方差，

由于两种方案的奖励额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小，所以应选择方案2.

21．已知函数，.

(1)若，讨论的单调性；

(2)若当时，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)函数的单调递增区间为，无递减区间

(2)

【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间；

（2）设，可知对任意的恒成立，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证对任意的能否恒成立，综合可得出实数的取值范围.

【详解】（1）解：的定义域为，当时，，

，

设，则，

令，解得，

当时，，单调递减，

当，，单调递增.

所以，，则对任意的恒成立，

所以，函数的单调递增区间为，无递减区间.

（2）解：当时，恒成立等价于在上恒成立，

设，

则，

设，

则图象为开口向上，对称轴为的抛物线的一部分，

当时，，在单调递增，且，

所以，，即，则函数在上单调递增，

又因为，所以在恒成立，满足题意；

当时，，，

所以方程有两相异实根，设为、，且，则，

当时，，，在上单调递减，

又因为，故当时，，

所以，在上不恒成立，不满足题意.

综上，的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，注意到，由此将问题转化为考查函数在上的单调性来处理，只需对实数的取值进行分类讨论，结合单调性来求解.

22．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率为，是椭圆上不同的两点，且点在轴上方，，直线，交于点.已知当轴时，.

(1)求椭圆的方程；

(2)求证：点在以，为焦点的定椭圆上.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据椭圆的离心率及当轴时，，代入椭圆方程，列方程即可求得的值，从而得椭圆的方程；

（2）由，则设直线的方程为，所以直线的方程为，设，，，，代入椭圆方程可得坐标关系，可得的表达式，由平行线分线段成比例可得，，结合椭圆的定义即可证得为定值，从而得结论.

【详解】（1）由题知，，点在椭圆C上，则，解得，

所以椭圆C的方程为；

（2）证明：∵，且点A在x轴上方

∴设，，，，设直线的方程为，则直线的方程为，

由，得，∴或（舍），

∴

同理，所以，

由，得

∴

∴

又点B在椭圆C上，∴，则

∴

同理：，所以

∴

又，

∴

∴点P在以，为焦点的定椭圆上.