历年高考数学真题精选10 恒成立问题

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题十 恒成立问题（学生版）

一．选择题（共7小题）

1．（2019•天津）已知．设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为　　

A．， B．， C．， D．，

2．（2016•浙江）已知函数满足：且，．　　

A．若（a），则 B．若（a），则 

C．若（a），则 D．若（a），则

3．（2014•辽宁）当，时，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

4．（2007•安徽）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

5．（2014•辽宁）已知定义在，上的函数满足：

①（1）；

②对所有，，，且，有．

若对所有，，，恒成立，则的最小值为　　

A． B． C． D．

6．（2014•湖北）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为　　

A．， B．， C．， D．，

7．（2009•湖南）设函数在内有定义．对于给定的正数，定义函数，取函数．若对任意的，恒有，则　　

A．的最大值为2 B．的最小值为2 C．的最大值为1 D．的最小值为1

二．填空题（共5小题）

8．（2018•天津）已知，函数．若对任意，，恒成立，则的取值范围是　　．

9．（2013•重庆）设，不等式对恒成立，则的取值范围为　 　．

10．（2010•天津）设函数，对任意，，恒成立，则实数的取值范围是　　．

11．（2009•上海）当时，不等式恒成立．则实数的取值范围是　 　．

12．（2008•北京）已知函数，对于，上的任意，，有如下条件：

①；②；③．

其中能使恒成立的条件序号是　 　．

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题十 恒成立问题（教师版）

一．选择题（共7小题）

1．（2019•天津）已知．设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为　　

A．， B．， C．， D．，

【答案】

【解析】当时，（1）恒成立；

当时，恒成立，

令，

，．

当时，恒成立，

令，则，

当时，，递增，

当时，，递减，

时，取得最小值（e），

，综上的取值范围是，．

故选：．

2．（2016•浙江）已知函数满足：且，．　　

A．若（a），则 B．若（a），则 

C．若（a），则 D．若（a），则

【答案】

【解析】：若（a），则由条件得（a），

即，则不一定成立，故错误，

：若（a），则由条件知，即（a），则（a），

则，故正确，

：若（a），则由条件得（a），则不一定成立，故错，

：若（a），则由条件，得（a），则，不一定成立，即不一定成立，故错误，故选：．

3．（2014•辽宁）当，时，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【答案】

【解析】当时，不等式对任意恒成立；

当时，可化为，

令，则，

当时，，在，上单调递增，（1），；

当时，可化为，

由式可知，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，；

综上所述，实数的取值范围是，即实数的取值范围是，．

故选：．

4．（2007•安徽）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【答案】

【解析】当时，恒成立，即

当时，恒成立，即 当时，恒成立，即，

若对任意，不等式恒成立，所以，故选：．

5．（2014•辽宁）已知定义在，上的函数满足：

①（1）；

②对所有，，，且，有．

若对所有，，，恒成立，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【答案】

【解析】依题意，定义在，上的函数的斜率，

依题意可设，构造函数，满足（1），．

当，，且，时，；

当，，且，，；

当，，且，时，同理可得，；

当，，且，时，；

综上所述，对所有，，，，

对所有，，，恒成立，，即的最小值为．故选：．

6．（2014•湖北）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为　　

A．， B．， C．， D．，

【答案】

【解析】当时，，

由，，得；当时，；

由，，得．当时，．

函数为奇函数，当时，．

对，都有，，解得：．

故实数的取值范围是．

故选：．

7．（2009•湖南）设函数在内有定义．对于给定的正数，定义函数，取函数．若对任意的，恒有，则　　

A．的最大值为2 B．的最小值为2 C．的最大值为1 D．的最小值为1

【答案】

【解析】由题意可得出，

由于，令，解出，即，

当时，，单调递减，当时，，单调递增．

故当时，取到最大值．故当时，恒有．

因此的最小值是1．

故选：．

二．填空题（共5小题）

8．（2018•天津）已知，函数．若对任意，，恒成立，则的取值范围是　　．

【答案】

【解析】当时，函数的对称轴为，抛物线开口向上，

要使时，对任意，，恒成立，则只需要，

即，得，

当时，要使恒成立，即，在射线的下方或在上，

由，即，由判别式△，得，综上

9．（2013•重庆）设，不等式对恒成立，则的取值范围为　　     ．

【答案】，，

【解析】由题意可得，△，得

，，，，．

故答案为：，，．

10．（2010•天津）设函数，对任意，，恒成立，则实数的取值范围是　　．

【答案】

【解析】已知为增函数且，

当，由复合函数的单调性可知和均为增函数，此时不符合题意．

当时，有

因为在，上的最小值为2，所以，

即，解得或（舍去）．故答案为：．

11．（2009•上海）当时，不等式恒成立．则实数的取值范围是　　．

【答案】

【解析】设，，，．

根据题意画图得：恒成立即要的图象要在图象的上面，

当时即时相等，所以此时，所以，故答案为

12．（2008•北京）已知函数，对于，上的任意，，有如下条件：

①；②；③．

其中能使恒成立的条件序号是　　．

【答案】②

【解析】函数为偶函数，，

当时，，，，函数在，上为单调增函数，

由偶函数性质知函数在，上为减函数．

当时，得，

，由函数在上，为偶函数得，故②成立．

，而，①不成立，同理可知③不成立．故答案是②．