历年高考数学真题精选11 函数与方程

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历年高考数学真题精选（按考点分类）专题十一 函数与方程（学生版） 一．选择题（共17小题）1．（2014•山东）已知函数，．若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是　　A． B．， C． D．2．（2017•新课标Ⅲ）已知函数有唯一零点，则　　A． B． C． D．13．（2016•天津）已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是　　A．， B．，， C．， D．，，4．（2014•北京）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是　　A． B． C． D．5．（2011•新课标）在下列区间中，函数的零点所在的区间为　　A．， B．， C． D．，6．（2010•浙江）已知是函数的一个零点．若，，，则　　A．， B．， C．， D．，7．（2019•新课标Ⅲ）函数在，的零点个数为　　A．2 B．3 C．4 D．58．（2015•天津）已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是　　A．， B． C． D．，9．（2012•山东）设函数，．若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，，，，则下列判断正确的是　　A．， B．， C．， D．，10．（2019•新课标Ⅱ）设函数的定义域为，满足，且当，时，．若对任意，，都有，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，11．（2019•浙江）设，，函数若函数恰有3个零点，则　　A．， B．， C．， D．，12．（2015•湖北）已知符号函数，是上的增函数，，则　　A． B． C． D．13．（2013•天津）设函数，．若实数，满足（a），（b），则　　A．（a）（b） B．（b）（a） C．（a）（b） D．（b）（a）14．（2012•山东）设函数，，，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点，，，，则下列判断正确的是　　A．当时，， B．当时，， C．当时，， D．当时，，15．（2011•新课标）函数的图象与函数，的图象所有交点的横坐标之和等于　　A．8 B．6 C．4 D．216．（2011•天津）对实数与，定义新运算“”： ．设函数，．若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是　　A． B． C． D．17．（2010•福建）对于具有相同定义域的函数和，若存在函数，为常数）对任给的正数，存在相应的使得当且时，总有，则称直线为曲线和的“分渐进线”．给出定义域均为的四组函数如下：①，②，③，④，其中，曲线和存在“分渐近线”的是　　A．①④ B．②③ C．②④ D．③④二．填空题（共10小题）18．（2015•湖南）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是　 　．19．（2015•湖南）已知函数若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是　　．20．（2011•辽宁）已知函数有零点，则的取值范围是　　．21．（2011•山东）已知函数．当时，函数的零点，，则　　．22．（2018•新课标Ⅰ）已知函数，若（3），则　　．23．（2018•上海）设，函数，，若函数与的图象有且仅有两个不同的公共点，则的取值范围是　　24．（2015•江苏）已知函数，，则方程实根的个数为　　．25．（2015•安徽）在平面直角坐标系中，若直线与函数的图象只有一个交点，则的值为　　．26．（2014•天津）已知函数，，若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为　　．27．（2014•天津）已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为　　．
历年高考数学真题精选（按考点分类）专题十一 函数与方程（教师版）一．选择题（共17小题）1．（2014•山东）已知函数，．若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是　　A． B．， C． D．【答案】B【解析】由题意可得函数的图象（蓝线）和函数的图象（红线）有两个交点，如图所示：，数形结合可得.2．（2017•新课标Ⅲ）已知函数有唯一零点，则　　A． B． C． D．1【答案】C【解析】因为，所以函数有唯一零点等价于方程有唯一解，等价于函数的图象与的图象只有一个交点．①当时，，此时有两个零点，矛盾；②当时，由于在上递增、在上递减，且在上递增、在上递减，所以函数的图象的最高点为，的图象的最高点为，由于，此时函数的图象与的图象有两个交点，矛盾；③当时，由于在上递增、在上递减，且在上递减、在上递增，所以函数的图象的最高点为，的图象的最低点为，由题可知点与点重合时满足条件，即，即，符合条件；综上所述，，方法二：，令，则为偶函数，图象关于对称，若有唯一零点，则根据偶函数的性质可知，所以．3．（2016•天津）已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是　　A．， B．，， C．， D．，，【答案】D【解析】函数，由，可得，解得，，在区间内没有零点，．故选．4．（2014•北京）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是　　A． B． C． D．【答案】C【解析】，（2），（4），满足（2）（4），在区间内必有零点，故选．5．（2011•新课标）在下列区间中，函数的零点所在的区间为　　A．， B．， C． D．，【答案】A【解析】函数  当时，函数在上为   ，函数的零点所在的区间为，  故选．6．（2010•浙江）已知是函数的一个零点．若，，，则　　A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】是函数的一个零点是单调递增函数，且，，，7．（2019•新课标Ⅲ）函数在，的零点个数为　　A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】函数在，的零点个数，即：在区间，的根个数，即，令左右为新函数和，和，作图求两函数在区间，的图象可知：和，在区间，的图象的交点个数为3个．8．（2015•天津）已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是　　A．， B． C． D．，【答案】D【解析】，，由，得，设，若，则，，则，若，则，，则，若，，，则．即，作出函数的图象如图：当时，，当时，，故当时，，有两个交点，当时，，有无数个交点，由图象知要使函数恰有4个零点，即恰有4个根，则满足，故选：．9．（2012•山东）设函数，．若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，，，，则下列判断正确的是　　A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】设，则方程与同解，故其有且仅有两个不同零点，．由得或．这样，必须且只须或，因为，故必有由此得．不妨设，则．所以，比较系数得，故，由此知，故选．10．（2019•新课标Ⅱ）设函数的定义域为，满足，且当，时，．若对任意，，都有，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】因为，，，时，，，，时，，，，；，时，，，，，当，时，由解得或，若对任意，，都有，则．故选：．11．（2019•浙江）设，，函数若函数恰有3个零点，则　　A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】当时，，得；最多一个零点；当时，，，当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，如右图：且，解得，，．，  故选．12．（2015•湖北）已知符号函数，是上的增函数，，则　　A． B． C． D．【答案】B【解析】由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数，是上的增函数，，不妨令，，则，．所以不正确，正确，，不正确；正确；对于，令，，则，；，；所以不正确；故选．13．（2013•天津）设函数，．若实数，满足（a），（b），则　　A．（a）（b） B．（b）（a） C．（a）（b） D．（b）（a）【答案】A【解析】①由于及关于是单调递增函数，函数在上单调递增，分别作出，的图象，，（1），（a），．同理在上单调递增，（1），，（b），．（a）（1），（b）（1）．（a）（b）．故选．14．（2012•山东）设函数，，，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点，，，，则下列判断正确的是　A．当时，， B．当时，，C．当时，， D．当时，，【答案】B【解析】当时，作出两个函数的图象，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点，必然是如图的情况，因为函数是奇函数，所以与关于原点对称，显然，即，，即，同理，当时，有当时，，15．（2011•新课标）函数的图象与函数，的图象所有交点的横坐标之和等于　　A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A【解析】函数，的图象有公共的对称中心，作出两个函数的图象，如图，当时，而函数在上出现1.5个周期的图象，在和，上是减函数；在，和，上是增函数．函数在上函数值为负数，且与的图象有四个交点、、、相应地，在上函数值为正数，且与的图象有四个交点、、、且：，故所求的横坐标之和为8．故选．16．（2011•天津）对实数与，定义新运算“”： ．设函数，．若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是　　A． B． C． D．【答案】B【解析】，函数，由图可知，当函数 与的图象有两个公共点，的取值范围是，故选：．17．（2010•福建）对于具有相同定义域的函数和，若存在函数，为常数）对任给的正数，存在相应的使得当且时，总有，则称直线为曲线和的“分渐进线”．给出定义域均为的四组函数如下：①，②，③，④，其中，曲线和存在“分渐近线”的是　　A．①④ B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【解析】和存在分渐近线的充要条件是时，．对于①，，当时便不符合，所以①不存在；对于②，肯定存在分渐近线，因为当时，；对于③，，，设，，且，所以当时越来愈大，从而会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④，，当时，，因此存在分渐近线．故，存在分渐近线的是②④选二．填空题（共10小题）18．（2015•湖南）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是　　．【答案】【解析】由函数有两个零点，可得有两个零点，从而可得函数函数的图象有两个交点，结合函数的图象可得，时符合条件.19．（2015•湖南）已知函数若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是　　．【答案】或【解析】有两个零点，有两个零点，即与的图象有两个交点，由可得，或①当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意③当时，函数单调递增，故不符合题意④时，单调递增，故不符合题意⑤当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点综上可得，或，故答案为：或20．（2011•辽宁）已知函数有零点，则的取值范围是　　．【答案】，【解析】，可得的根为 当时，，可得函数在区间上为减函数；当时，，可得函数在区间上为增函数，函数在处取得极小值，并且这个极小值也是函数的最小值，由题设知函数的最小值要小于或等于零，即，可得21．（2011•山东）已知函数．当时，函数的零点，，则　　．【答案】2【解析】设函数，  根据，对于函数 在时，一定得到一个值小于1，在同一坐标系中划出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在之间，函数的零点时，，故答案为222．（2018•新课标Ⅰ）已知函数，若（3），则　　．【答案】【解析】函数，若（3），可得：，可得．23．（2018•上海）设，函数，，若函数与的图象有且仅有两个不同的公共点，则的取值范围是　　【答案】【解析】函数与的图象有且仅有两个不同的公共点，即方程有两不同根，也就是有两不同根，，在上有两不同根．，或，．又，且，，仅有两解时，应有，则．的取值范围是．24．（2015•江苏）已知函数，，则方程实根的个数为　　．【答案】4【解析】由可得．与的图象如图所示，图象有2个交点与的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程实根的个数为4．25．（2015•安徽）在平面直角坐标系中，若直线与函数的图象只有一个交点，则的值为　　．【答案】【解析】由已知直线是平行于轴的直线，由于为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数的图象是折线，所以直线过折线顶点时满足题意，所以，解得26．（2014•天津）已知函数，，若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为　　．【答案】，，【解析】由得，作出函数，的图象，当，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则，此时，当时，，，当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时，即，则由△，即，解得或，当时，，，此时不成立，此时，要使两个函数有四个零点，则此时，若，此时与，有两个交点，此时只需要当时，有两个不同的零点即可，即，整理得，则由△，即，解得（舍去）或，综上的取值范围是，，， 27．（2014•天津）已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为　　．【答案】【解析】由得，作出函数，的图象，当，不满足条件，，当时，此时与有三个 交点，当时，当时，，由得，则判别式△，即此时直线与相切，此时与有五个交点，要使函数恰有4个零点，则