历年高考数学真题精选12 利用导数研究函数的极值与最值

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题十二  极值与最值（学生版）

一．选择题（共13小题）

1．（2017•新课标Ⅱ）若是函数的极值点，则的极小值为　　

A． B． C． D．1

2．（2013•安徽）若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是　　

A．3 B．4 C．5 D．6

3．（2013•辽宁）设函数满足，（2），则时，　　

A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 

C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值

4．（2016•四川）已知为函数的极小值点，则　　

A． B． C．4 D．2

5．（2015•新课标Ⅰ）设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

6．（2013•浙江）已知为自然对数的底数，设函数，则　　

A．当时，在处取得极小值 

B．当时，在处取得极大值 

C．当时，在处取得极小值 

D．当时，在处取得极大值

7．（2013•福建）设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是　　

A．， B．是的极小值点 

C．是的极小值点 D．是的极小值点

8．（2013•湖北）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

9．（2013•安徽）已知函数有两个极值点，，若，则关于的方程的不同实根个数为　　

A．3 B．4 C．5 D．6

10．（2013•湖北）已知为常数，函数有两个极值点，　　

A． B． 

C． D．

11．（2011•福建）若，，且函数在处有极值，则的最大值等于　　

A．2 B．3 C．6 D．9

12．（2008•广东）设，若函数，，有大于零的极值点，则　　

A． B． C． D．

13．（2011•湖南）设直线与函数，的图象分别交于点，，则当达到最小时的值为　　

A．1 B． C． D．

二．填空题（共3小题）

14．（2018•江苏）若函数在内有且只有一个零点，则在，上的最大值与最小值的和为　　．

15．（2018•新课标Ⅰ）已知函数，则的最小值是　　．

16．（2013•新课标Ⅰ）若函数的图象关于直线对称，则的最大值为　 　．

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题十二  极值与最值（教师版）

一．选择题（共13小题）

1．（2017•新课标Ⅱ）若是函数的极值点，则的极小值为（  ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】函数，可得，

是函数的极值点，

可得：，即．解得．

可得，函数的极值点为：，，

当或时，函数是增函数，时，函数是减函数，

时，函数取得极小值：（1）．故选．

2．（2013•安徽）若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是　　

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【解析】，，是方程的两根，

由，得，或，

即的根为或的解．

如图所示

，

由图象可知有2个解，有1个解，因此的不同实根个数为3．

3．（2013•辽宁）设函数满足，（2），则时，　(　

A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 

C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值

【答案】D

【解析】函数满足，

令，则，（2）（2）．

由，得，

令，则．

在上单调递减，在上单调递增，

的最小值为（2）（2）．．

又，．在单调递增．既无极大值也无极小值．

4．（2016•四川）已知为函数的极小值点，则　　

A． B． C．4 D．2

【答案】D

【解析】；时，，时，，时，；

是的极小值点；又为的极小值点；．故选．

5．（2015•新课标Ⅰ）设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，，

由题意知存在唯一的整数使得在直线的下方，

，

当时，，当时，，

当时，取最小值，

当时，，当时，（1），

直线恒过定点且斜率为，

故且，解得

6．（2013•浙江）已知为自然对数的底数，设函数，则　　

A．当时，在处取得极小值 

B．当时，在处取得极大值 

C．当时，在处取得极小值 

D．当时，在处取得极大值

【答案】C

【解析】当时，函数．

求导函数可得，

（1），（2），则在在处与在处均取不到极值，

当时，函数．，

当，，且当时，，当时为极大值点），，故函数在上是增函数；

在，上是减函数，从而函数在取得极小值．对照选项．故选．

7．（2013•福建）设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是　　

A．， B．是的极小值点 

C．是的极小值点 D．是的极小值点

【答案】D

【解析】对于项，是的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故错误；

对于:是把的图象关于轴对称，因此，是的极大值点，故错误；

对于:是把的图象关于轴对称，因此，是的极小值点，故错误；

对于:是把的图象分别关于轴、轴做对称，因此是的极小值点，故正确．

8．（2013•湖北）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】函数，则，

令得，函数有两个极值点，

等价于有两个零点，等价于函数与的图象有两个交点，

在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）

当时，直线与的图象相切，

由图可知，当时，与的图象有两个交点．

则实数的取值范围是．

简解：函数，则，

令得，可得有两个不同的解，

设，则，当时，递减，时，递增，

可得（1）取得极大值1，作出的图象，可得，即，故选．

9．（2013•安徽）已知函数有两个极值点，，若，则关于的方程的不同实根个数为　　

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【解析】函数有两个极值点，，

有两个不相等的实数根，

△．解得．

，，．

而方程的△△，此方程有两解且或．

不妨取，．

①把向下平移个单位即可得到的图象，

，可知方程有两解．

②把向下平移个单位即可得到的图象，，，可知方程只有一解．

综上①②可知：方程或．只有3个实数解．即关于的方程的只有3不同实根．故选．

10．（2013•湖北）已知为常数，函数有两个极值点，　　

A． B． 

C． D．

【答案】D

【解析】，

令，由题意可得有两个解，函数有且只有两个零点在上的唯一的极值不等于0．．

①当时，，单调递增，因此至多有一个零点，不符合题意，应舍去．

②当时，令，解得，

，，函数单调递增；时，，函数单调递减．

是函数的极大值点，则，即，

，，即．

故当时，有两个根，，且，又（1），

，从而可知函数在区间上递减，在区间，上递增，在区间，上递减．

（1），（1）．故选．

11．（2011•福建）若，，且函数在处有极值，则的最大值等于　　

A．2 B．3 C．6 D．9

【答案】D

【解析】，又因为在处有极值，，

，，，当且仅当时取等号，所以的最大值等于9．

故选．

12．（2008•广东）设，若函数，，有大于零的极值点，则　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，．

由题意知有大于0的实根，令，，则两曲线交点在第一象限，

结合图象易得，故选：．

13．（2011•湖南）设直线与函数，的图象分别交于点，，则当达到最小时的值为　　

A．1 B． C． D．

【答案】D

【解析】设函数，求导数得

当时，，函数在上为单调减函数，

当时，，函数在上为单调增函数

所以当时，所设函数的最小值为  所求的值为

二．填空题（共3小题）

14．（2018•江苏）若函数在内有且只有一个零点，则在，上的最大值与最小值的和为　　．

【答案】-3

【解析】函数在内有且只有一个零点，

，，

①当时，，函数在上单调递增，，

在上没有零点，舍去；

②当时，的解为，

在上递减，在，递增，

又只有一个零点，，解得，

，，，，的解集为，

在上递增，在上递减，，，（1），

，，在，上的最大值与最小值的和为：

．

15．（2018•新课标Ⅰ）已知函数，则的最小值是　　．

【答案】

【解析】由题意可得是的一个周期，

故只需考虑在，上的值域，

先来求该函数在，上的极值点，求导数可得

，

令可解得或，可得此时，或；

的最小值只能在点，或和边界点中取到，

计算可得 ，， ，，函数的最小值为

16．（2013•新课标Ⅰ）若函数的图象关于直线对称，则的最大值为　　．

【答案】16

【解析】函数的图象关于直线对称，

且（1），

即且，

解之得，因此，，

求导数，得，

令，得，，，

当时，；当，时，；

当时，； 当，时，

在区间、上是增函数，在区间，、，上是减函数．

又，的最大值为16．故答案为：16．