历年高考数学真题精选29 直线与平面所成的角

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历年高考数学真题精选（按考点分类）专题29 直线与平面所成的角（学生版）一．解答题（共15小题）1．（2019•上海）如图，在长方体中，为上一点，已知，，，．（1）求直线和平面的夹角；（2）求点到平面的距离．2．（2019•天津）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，．（Ⅰ）设，分别为，的中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．3．（2019•浙江）如图，已知三棱柱，平面平面，，，，，分别是，的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值．4．（2018•天津）如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．5．（2018•天津）如图，且，，且，且，平面，．（Ⅰ）若为的中点，为的中点，求证：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．6．（2018•浙江）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．7．（2018•新课标Ⅰ）如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值．8．（2017•上海）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和2，侧棱的长为5．（1）求三棱柱的体积；（2）设是中点，求直线与平面所成角的大小．9．（2017•浙江）如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．10．（2017•天津）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，．（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．11．（2016•浙江）如图，在三棱台中，平面平面，，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值．12．（2016•新课标Ⅲ）如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．13．（2016•天津）如图，四边形是平行四边形，平面平面，，，，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值．14．（2015•天津）如图，已知平面，，，，，，点和分别为和的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的大小．15．（2015•新课标Ⅱ）如图，长方体中，，，，点，分别在，上，，过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线与平面所成角的正弦值．
历年高考数学真题精选（按考点分类）专题29 直线与平面所成的角（教师版） 一．解答题（共15小题）1．（2019•上海）如图，在长方体中，为上一点，已知，，，．（1）求直线和平面的夹角；（2）求点到平面的距离．解：（1）依题意：平面，连接，则与平面所成夹角为，，，△为等腰三角形，，直线和平面的夹角为，（2）（空间向量），如图建立坐标系，则，0，，，4，，，0，，，0，，，4，，，4，，，4．，设平面的法向量，，，由，可得，1，，点到平面的距离．2．（2019•天津）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，．（Ⅰ）设，分别为，的中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．证明：（Ⅰ）连结，由题意得，，又由，得，平面，平面，平面．（Ⅱ）取棱中点，连结，依题意得，又平面平面，平面平面，平面，又平面，，又，，平面．解：（Ⅲ）连结，由（Ⅱ）中平面，知是直线与平面所成角，是等边三角形，，且为中点，，又，在中，．直线与平面所成角的正弦值为．3．（2019•浙江）如图，已知三棱柱，平面平面，，，，，分别是，的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值．方法一：证明：（Ⅰ）连结，，是的中点，，又平面平面，平面，平面平面，平面，，，，，平面，．解：（Ⅱ）取中点，连结、，则是平行四边形，由于平面，故，平行四边形是矩形，由（Ⅰ）得平面，则平面平面，在平面上的射影在直线上，连结，交于，则是直线与平面所成角（或其补角），不妨设，则在△中，，，是的中点，故，，直线与平面所成角的余弦值为．方法二：证明：（Ⅰ）连结，，是的中点，，又平面平面，平面，平面平面，平面，如图，以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，设，则，0，，，，，，2，，，，由，得．解：（Ⅱ）设直线与平面所成角为，由（Ⅰ）得，，2，，设平面的法向量，，，则，取，得，，直线与平面所成角的余弦值为．4．（2018•天津）如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．（Ⅰ）证明：由平面平面，平面平面，，得平面，故；（Ⅱ）解：取棱的中点，连接，，为棱的中点，故，（或其补角）为异面直线与所成角，在中，，故，平面，故，在中，，故，在等腰三角形中，，可得．异面直线与所成角的余弦值为；（Ⅲ）解：连接，为等边三角形，为边的中点，故，，又平面平面，而平面，故平面，则为直线与平面所成角．在中，，在中，．直线与平面所成角的正弦值为．5．（2018•天津）如图，且，，且，且，平面，．（Ⅰ）若为的中点，为的中点，求证：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．（Ⅰ）证明：依题意，以为坐标原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．可得，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，1，，，0，，，，，，0，．设为平面的法向量，则，不妨令，可得；又，可得．又直线平面，平面；（Ⅱ）解：依题意，可得，，．设为平面的法向量，则，不妨令，可得．设为平面的法向量，则，不妨令，可得．因此有，于是．二面角的正弦值为；（Ⅲ）解：设线段的长为，，则点的坐标为，0，，可得，而为平面的一个法向量，故．由题意，可得，解得，．线段的长为．6．（2018•浙江）如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．证明：平面，平面，，，，，，又，，，同理可得：，又，平面．解：取中点，过作平面的垂线，交于，，，，，，，以为原点，以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则，，，，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，，设平面的法向量为，，，则，，令可得，1，，．设直线与平面所成的角为，则．直线与平面所成的角的正弦值为．7．（2018•新课标Ⅰ）如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值．（1）证明：由题意，点、分别是、的中点，则，，由于四边形为正方形，所以．由于，，则平面．又因为平面，所以：平面平面．（2）在平面中，过作于点，连接，由于为面和面的交线，，则面，故．在三棱锥中，可以利用等体积法求，因为且，所以，又因为，所以，所以，由于，则平面，故，因为且面，所以面，所以．设正方形边长为，则，在中，，所以，故，又因为，所以，所以在中，，即为与平面所成角的正弦值为：．8．（2017•上海）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和2，侧棱的长为5．（1）求三棱柱的体积；（2）设是中点，求直线与平面所成角的大小．解：（1）直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和2，侧棱的长为5．三棱柱的体积：．（2）连结，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和2，侧棱的长为5，是中点，底面，，是直线与平面所成角，，直线与平面所成角的大小为．9．（2017•浙江）如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．证明：（Ⅰ）取的中点，连结，，为的中点，，在四边形中，，，为中点，，平面平面，平面，平面．解：（Ⅱ）连结，过作于，连结，，，推导出四边形为矩形，，平面，又，平面，，设，由，得，，，，又平面，，平面，即点到平面的距离为，，到平面的距离应该和平行且相等，为，为中点，到平面的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，到平面的距离为，在，由余弦定理得，设直线与平面所成角为，则．10．（2017•天津）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，．（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知，故或其补角即为异面直线与所成的角．因为平面，所以．在中，由已知，得，故．所以，异面直线与所成角的余弦值为．证明：（Ⅱ）因为平面，直线平面，所以．又因为，所以，又，所以平面．解：（Ⅲ）过点作的平行线交于点，连结，则与平面所成的角等于与平面所成的角．因为平面，故为在平面上的射影，所以为直线和平面所成的角．由于，，故，由已知，得．又，故，在中，可得．所以，直线与平面所成角的正弦值为．11．（2016•浙江）如图，在三棱台中，平面平面，，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：延长，，相交于一点，如图所示：平面平面，且；平面，平面；；又，，；为等边三角形，且为的中点；，且；平面；（Ⅱ）平面；是直线和平面所成的角；为中点，且；为的中位线，且；；又；在中，，；即直线和平面所成角的余弦值为12．（2016•新课标Ⅲ）如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取中点，连接，，为的中点，，且，又，，且，，且，则，且，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；法二、在中，过作，垂足为，连接，在中，由已知，，得，，，则，在中，，，由余弦定理得：，，而在中，，，即，，则平面．由底面，得，又，，则平面．，平面平面，则平面；（2）解：在中，由，，，得．，则，底面，平面，平面平面，且平面平面，平面，则平面平面．在平面内，过作，交于，连接，则为直线与平面所成角．在中，由是的中点，得，在中，由，得，．直线与平面所成角的正弦值为．13．（2016•天津）如图，四边形是平行四边形，平面平面，，，，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值．【解答】证明：（1）的中点为，连接，，在中，是的中点，，且，又，，，且，即四边形是平行四边形，，平面，平面，平面；（2）证明：在中，，，，由余弦定理可得，仅而，即，又平面平面，平面，平面平面，平面，平面，平面平面．（Ⅲ），直线与平面所成的角即为直线与平面所形成的角，过点作于点，连接，又平面平面，由（2）知平面，直线与平面所成的角为，在，，，，由余弦定理得，，，在中，，直线与平面所成角的正弦值14．（2015•天津）如图，已知平面，，，，，，点和分别为和的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连接，在△中，和分别是和的中点，，又平面，平面，平面；（Ⅱ）证明：，为中点，，平面，，平面，，又，平面，又平面，平面平面；（Ⅲ）取中点和中点，连接，，，和分别为和的中点，平行且等于，平行且等于，四边形是平行四边形，平行且等于，又平面，平面，即为直线与平面所成角，在中，可得，，，，且，又由，，在△中，，在△中，，，即直线与平面所成角的大小为15．（2015•新课标Ⅱ）如图，长方体中，，，，点，分别在，上，，过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【解答】解：（1）交线围成的正方形如图：（2）作，垂足为，则：，；，；以边，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：，0，，，10，，，4，，，4，；；设为平面的法向量，则：，取，则；若设直线和平面所成的角为，则：；直线与平面所成角的正弦值为．