历年高考数学真题精选38 抛物线

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题38 抛物线（学生版）

一．选择题（共16小题）

1．（2016•新课标Ⅱ）设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则　　

A． B．1 C． D．2

2．（2013•新课标Ⅱ）设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为　　

A．或 B．或 

C．或 D．或

3．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则　　

A．5 B．6 C．7 D．8

4．（2017•新课标Ⅰ）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为　　

A．16 B．14 C．12 D．10

5．（2016•新课标Ⅰ）以抛物线的顶点为圆心的圆交于、两点，交的准线于、两点．已知，，则的焦点到准线的距离为　　

A．2 B．4 C．6 D．8

6．（2016•四川）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为　　

A． B． C． D．1

7．（2014•新课标Ⅱ）设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，为坐标原点，则的面积为　　

A． B． C． D．

8．（2014•新课标Ⅰ）已知抛物线的焦点为，，是上一点，，则　　

A．1 B．2 C．4 D．8

9．（2014•新课标Ⅱ）设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于于，两点，则　　

A． B．6 C．12 D．

10．（2014•新课标Ⅰ）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则　　

A． B．3 C． D．2

11．（2014•四川）已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是　　

A．2 B．3 C． D．

12．（2013•江西）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，则　　

A． B． C． D．

13．（2013•新课标Ⅰ）为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为　　

A．2 B． C． D．4

14．（2013•新课标Ⅱ）设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点．若，则的方程为　　

A．或 B．或 

C．或 D．或

15．（2011•辽宁）已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为　　

A． B．1 C． D．

16．（2011•山东）设，为抛物线上一点，为抛物线的焦点，以为圆心、为半径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是　　

A． B．， C． D．，

二．填空题（共7小题）

17．（2019•北京）设抛物线的焦点为，准线为，则以为圆心，且与相切的圆的方程为　　．

18．（2019•上海）过曲线的焦点并垂直于轴的直线分别与曲线交于，，在上方，为抛物线上一点，，则　　．

19．（2018•北京）已知直线过点且垂直于轴．若被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为　　．

20．（2015•上海）抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则　 　．

21．（2017•新课标Ⅱ）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则　　．

22．（2017•山东）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线方程为　　．

23．（2016•天津）设抛物线为参数，的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，，与相交于点．若，且的面积为，则的值为　　．

三．解答题（共7小题）

24．（2013•福建）如图，抛物线的焦点为，准线与轴的交点为．点在抛物线上，以为圆心，为半径作圆，设圆与准线交于不同的两点，．

（Ⅰ）若点的纵坐标为2，求；

（Ⅱ）若，求圆的半径．

25．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．

（1）证明：直线过定点．

（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程．

26．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．

（1）证明：直线过定点；

（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积．

27．（2019•新课标Ⅰ）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为．

（1）若，求的方程；

（2）若，求．

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题38 抛物线（教师版）

一．选择题（共16小题）

1．（2016•新课标Ⅱ）设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则　　

A． B．1 C． D．2

【答案】D

【解析】抛物线的焦点为，曲线与交于点在第一象限，

由轴得：点横坐标为1，代入得：点纵坐标为2，故

2．（2013•新课标Ⅱ）设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为　　

A．或 B．或 

C．或 D．或

【答案】C

【解析】抛物线方程为，焦点坐标为，，可得，

以为直径的圆过点，设，可得，

中，，，

根据抛物线的定义，得直线切以为直径的圆于点，

，可得中，，

，，整理得，解之可得或因此，抛物线的方程为或．

3．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则　　

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【解析】抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线为：，

联立直线与抛物线，消去可得：，

解得，，不妨，，，．

则，，．

4．（2017•新课标Ⅰ）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为　　

A．16 B．14 C．12 D．10

【答案】A

【解析】，直线与交于、两点，

直线与交于、两点，由图象知要使最小，

则与，与关于轴对称，即直线的斜率为1，

又直线过点，则直线的方程为，

联立方程组，则，，，

，的最小值为，

5．（2016•新课标Ⅰ）以抛物线的顶点为圆心的圆交于、两点，交的准线于、两点．已知，，则的焦点到准线的距离为　　

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【解析】设抛物线为，如图：，，

，，，，，，

解得：．的焦点到准线的距离为：4．

6．（2016•四川）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为　　

A． B． C． D．1

【答案】C

【解析】由题意可得，，设，，显然当，；当，．

要求的最大值，设，

则，，

可得，当且仅当，取得等号．

7．（2014•新课标Ⅱ）设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，为坐标原点，则的面积为　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，得，，则，．

过，的直线方程为，即．

联立，得．

设，，，，则，．

．

8．（2014•新课标Ⅰ）已知抛物线的焦点为，，是上一点，，则　　

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】A

【解析】抛物线的焦点为，

，是上一点，，．，解得．

9．（2014•新课标Ⅱ）设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于于，两点，则　　

A． B．6 C．12 D．

【答案】C

【解析】由得其焦点，，准线方程为．

则过抛物线的焦点且倾斜角为的直线方程为．

代入抛物线方程，消去，得．

设，，，则，

所以

10．（2014•新课标Ⅰ）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则　　

A． B．3 C． D．2

【答案】B

【解析】设到的距离为，则，

，，不妨设直线的斜率为，

，直线的方程为，与联立可得，

11．（2014•四川）已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是　　

A．2 B．3 C． D．

【答案】B

【解析】设直线的方程为：，点，，，，

直线与轴的交点为，

由，根据韦达定理有，

，，结合及，得，

点，位于轴的两侧，，故．

不妨令点在轴上方，则，又，

．

当且仅当，即时，取“”号，与面积之和的最小值是3，

12．（2013•江西）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，则　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】抛物线的焦点为，点坐标为

抛物线的准线方程为，直线的斜率为，

过作于，根据抛物线物定义得

中，，

，可得，得

因此，，可得

13．（2013•新课标Ⅰ）为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为　　

A．2 B． C． D．4

【答案】C

【解析】抛物线的方程为

，可得，得焦点

设  根据抛物线的定义，得，

即，解得

点在抛物线上，得

  的面积为

14．（2013•新课标Ⅱ）设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点．若，则的方程为　　

A．或 B．或 

C．或 D．或

【答案】C

【解析】抛物线方程为，可得它的焦点为，

设直线方程为

由消去，得

设，，，，可得，

，，可得，代入得且，

消去得，解之得

直线方程为或

15．（2011•辽宁）已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为　　

A． B．1 C． D．

【答案】C

【解析】是抛物线的焦点，准线方程，

设，，，，根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，， 解得，

线段的中点横坐标为，线段的中点到轴的距离为．

16．（2011•山东）设，为抛物线上一点，为抛物线的焦点，以为圆心、为半径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是　　

A． B．， C． D．，

【答案】C

【解析】由条件，由抛物线的定义，所以

二．填空题（共7小题）

17．（2019•北京）设抛物线的焦点为，准线为，则以为圆心，且与相切的圆的方程为　　．

【答案】

【解析】抛物线的焦点为，

所求圆的圆心，且与准线相切，圆的半径为2．

则所求圆的方程为．

18．（2019•上海）过曲线的焦点并垂直于轴的直线分别与曲线交于，，在上方，为抛物线上一点，，则　　．

【答案】3

【解析】过的焦点并垂直于轴的直线分别与交于，，在上方，

依题意：得到：，，，设点，

所以：为抛物线上一点，，

则：，，，，，代入，得到：．

19．（2018•北京）已知直线过点且垂直于轴．若被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为　　．

【答案】

【解析】直线过点且垂直于轴，，代入到，可得，显然，

，被抛物线截得的线段长为4，，解得，

，抛物线的焦点坐标为

20．（2015•上海）抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则　　．

【答案】2

【解析】因为抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，

所以，所以．

21．（2017•新课标Ⅱ）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则　　．

【答案】6

【解析】抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，可知的横坐标为：1，则的纵坐标为：，

．

22．（2017•山东）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线方程为　　．

【答案】

【解析】把代入双曲线，

可得：，，

，，，．

该双曲线的渐近线方程为：．

23．（2016•天津）设抛物线为参数，的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，，与相交于点．若，且的面积为，则的值为　　．

【答案】

【解析】抛物线为参数，的普通方程为：焦点为，，

过抛物线上一点作的垂线，垂足为，

设，，与相交于点．，

，，，

的面积为，，可得．

即：，解得．

三．解答题（共7小题）

24．（2013•福建）如图，抛物线的焦点为，准线与轴的交点为．点在抛物线上，以为圆心，为半径作圆，设圆与准线交于不同的两点，．

（Ⅰ）若点的纵坐标为2，求；

（Ⅱ）若，求圆的半径．

解：抛物线的准线，

由点的纵坐标为2，得，故到准线的距离，又，

．

设，，则圆的方程为，

即，由得，

设，，则

，

由，得，

，解得，此时△

圆心的坐标为，，，

从而．

即圆的半径为．

25．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．

（1）证明：直线过定点．

（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程．

（1）证明：设，，，则，

由于，切线的斜率为，故，

整理得：．

设，，同理可得．

故直线的方程为．

直线过定点；

（2）解：由（1）得直线的方程．

由，可得．

于是．

设为线段的中点，则，

由于，而，与向量平行，

，解得或．

当时，，所求圆的方程为；

当时，，所求圆的方程为．

26．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．

（1）证明：直线过定点；

（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积．

解：（1）证明：的导数为，

设切点，，，，即有，，

切线的方程为，即为，

切线的方程为，

联立两切线方程可得，

可得，即，

直线的方程为，

即为，

可化为，

可得恒过定点；

（2）由（1）得直线的方程为．

由，可得．

于是，，，

．

设，分别为点，到直线的距离，则，．

因此，四边形的面积．

设为线段的中点，则．

由于，而，与向量平行，所以．解得或．

当时，；当时，．

综上，四边形的面积为3或．

27．（2019•新课标Ⅰ）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为．

（1）若，求的方程；

（2）若，求．

解：（1）设直线的方程为，将其代入抛物线得：，

设，，，，

则，①，②，

由抛物线的定义可得：，解得，

直线的方程为．

（2）若，则，，化简得，③

由①②③解得，，，

．