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历年高考数学真题精选52 不等式选讲
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这是一份历年高考数学真题精选52 不等式选讲,共19页。试卷主要包含了=|x+1|﹣|ax﹣1|,=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|,=|x+1|+|x﹣1|,=|x+1|﹣|x﹣2|,=|2x﹣a|+a,<2的解集等内容,欢迎下载使用。
历年高考数学真题精选(按考点分类)
专题52 不等式选讲(学生版)
1.(2019•新课标Ⅱ)已知f(x)=|x﹣a|x+|x﹣2|(x﹣a).
(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;
(2)当x∈(﹣∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.
2.(2018•新课标Ⅰ)已知f(x)=|x+1|﹣|ax﹣1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
3.(2018•新课标Ⅱ)设函数f(x)=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
4.(2017•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.
5.(2017•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围.
6.(2016•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x﹣1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
7.(2016•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=|x-12|+|x+12|,M为不等式f(x)<2的解集.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
8.(2015•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
9.(2014•新课标Ⅱ)设函数f(x)=|x+1a|+|x﹣a|(a>0).
(Ⅰ)证明:f(x)≥2;
(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.
10.(2014•新课标Ⅰ)若a>0,b>0,且1a+1b=ab.
(Ⅰ)求a3+b3的最小值;
(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
11.(2013•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[-a2,12]时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
12.(2011•辽宁)选修4﹣5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|.
(1)证明:﹣3≤f(x)≤3;
(2)求不等式f(x)≥x2﹣8x+15的解集.
13.(2019•新课标Ⅲ)设x,y,z∈R,且x+y+z=1.
(1)求(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;
(2)若(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2≥13成立,证明:a≤﹣3或a≥﹣1.
14.(2019•新课标Ⅰ)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:
(1)1a+1b+1c≤a2+b2+c2;
(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
15.(2017•新课标Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
16.(2015•新课标Ⅱ)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
(1)若ab>cd,则a+b>c+d;
(2)a+b>c+d是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.
17.(2013•辽宁)(1)证明:当x∈[0,1]时,22x≤sinx≤x;
(2)若不等式ax+x2+x32+2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]恒成立,求实数a的取值范围.
18.(2013•新课标Ⅱ)【选修4﹣﹣5;不等式选讲】
设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
(Ⅰ)ab+bc+ca≤13
(Ⅱ)a2b+b2c+c2a≥1.
历年高考数学真题精选(按考点分类)
专题52 不等式选讲(学生版)
一.解答题(共18小题)
1.(2019•新课标Ⅱ)已知f(x)=|x﹣a|x+|x﹣2|(x﹣a).
(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;
(2)当x∈(﹣∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=|x﹣1|x+|x﹣2|(x﹣1),
∵f(x)<0,∴当x<1时,f(x)=﹣2(x﹣1)2<0,恒成立,∴x<1;
当x≥1时,f(x)=(x﹣1)(x+|x﹣2|)≥0恒成立,∴x∈∅;
综上,不等式的解集为(﹣∞,1);
(2)当a≥1时,f(x)=2(a﹣x)(x﹣1)<0在x∈(﹣∞,1)上恒成立;
当a<1时,x∈(a,1),f(x)=2(x﹣a)>0,不满足题意,
∴a的取值范围为:[1,+∞)
2.(2018•新课标Ⅰ)已知f(x)=|x+1|﹣|ax﹣1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|=2,x>12x,-1≤x≤1-2,x<-1,
由f(x)>1,
∴2x>1-1≤x≤1或2>1x>1,
解得x>12,
故不等式f(x)>1的解集为(12,+∞),
(2)当x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,
∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x>0,
即x+1﹣|ax﹣1|﹣x>0,
即|ax﹣1|<1,
∴﹣1<ax﹣1<1,
∴0<ax<2,
∵x∈(0,1),
∴a>0,
∴0<x<2a,
∴a<2x
∵2x>2,
∴0<a≤2,
故a的取值范围为(0,2].
3.(2018•新课标Ⅱ)设函数f(x)=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=2x+4,x≤-12,-1<x<2-2x+6,x≥2.
当x≤﹣1时,f(x)=2x+4≥0,解得﹣2≤x≤﹣1,
当﹣1<x<2时,f(x)=2≥0恒成立,即﹣1<x<2,
当x≥2时,f(x)=﹣2x+6≥0,解得2≤x≤3,
综上所述不等式f(x)≥0的解集为[﹣2,3],
(2)∵f(x)≤1,
∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1,
∴|x+a|+|x﹣2|≥4,
∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|,
∴|a+2|≥4,
解得a≤﹣6或a≥2,
故a的取值范围(﹣∞,﹣6]∪[2,+∞).
4.(2017•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=﹣x2+x+4,是开口向下,对称轴为x=12的二次函数,
g(x)=|x+1|+|x﹣1|=2x,x>12,-1≤x≤1-2x,x<-1,
当x∈(1,+∞)时,令﹣x2+x+4=2x,解得x=17-12,g(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)在(1,+∞)上单调递减,∴此时f(x)≥g(x)的解集为(1,17-12];
当x∈[﹣1,1]时,g(x)=2,f(x)≥f(﹣1)=2.
当x∈(﹣∞,﹣1)时,g(x)单调递减,f(x)单调递增,且g(﹣1)=f(﹣1)=2.
综上所述,f(x)≥g(x)的解集为[﹣1,17-12];
(2)依题意得:﹣x2+ax+4≥2在[﹣1,1]恒成立,即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1,1]恒成立,则只需12-a⋅1-2≤0(-1)2-a(-1)-2≤0,解得﹣1≤a≤1,
故a的取值范围是[﹣1,1].
5.(2017•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围.
解:(1)∵f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|=-3,x<-12x-1,-1≤x≤23,x>2,f(x)≥1,
∴当﹣1≤x≤2时,2x﹣1≥1,解得1≤x≤2;
当x>2时,3≥1恒成立,故x>2;
综上,不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)原式等价于存在x∈R使得f(x)﹣x2+x≥m成立,
即m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x.
由(1)知,g(x)=-x2+x-3,x≤-1-x2+3x-1,-1<x<2-x2+x+3,x≥2,
当x≤﹣1时,g(x)=﹣x2+x﹣3,其开口向下,对称轴方程为x=12>-1,
∴g(x)≤g(﹣1)=﹣1﹣1﹣3=﹣5;
当﹣1<x<2时,g(x)=﹣x2+3x﹣1,其开口向下,对称轴方程为x=32∈(﹣1,2),
∴g(x)≤g(32)=-94+92-1=54;
当x≥2时,g(x)=﹣x2+x+3,其开口向下,对称轴方程为x=12<2,
∴g(x)≤g(2)=﹣4+2+3=1;
综上,g(x)max=54,
∴m的取值范围为(﹣∞,54].
6.(2016•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x﹣1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
解:(1)当a=2时,f(x)=|2x﹣2|+2,
∵f(x)≤6,∴|2x﹣2|+2≤6,
|2x﹣2|≤4,|x﹣1|≤2,
∴﹣2≤x﹣1≤2,
解得﹣1≤x≤3,
∴不等式f(x)≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}.
(2)∵g(x)=|2x﹣1|,
∴f(x)+g(x)=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3,
2|x-12|+2|x-a2|+a≥3,
|x-12|+|x-a2|≥3-a2,
当a≥3时,成立,
当a<3时,|x-12|+|x-a2|≥12|a﹣1|≥3-a2>0,
∴(a﹣1)2≥(3﹣a)2,
解得2≤a<3,
∴a的取值范围是[2,+∞).
7.(2016•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=|x-12|+|x+12|,M为不等式f(x)<2的解集.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
解:(I)当x<-12时,不等式f(x)<2可化为:12-x﹣x-12<2,
解得:x>﹣1,
∴﹣1<x<-12,
当-12≤x≤12时,不等式f(x)<2可化为:12-x+x+12=1<2,
此时不等式恒成立,
∴-12≤x≤12,
当x>12时,不等式f(x)<2可化为:-12+x+x+12<2,
解得:x<1,
∴12<x<1,
综上可得:M=(﹣1,1);
证明:(Ⅱ)当a,b∈M时,
(a2﹣1)(b2﹣1)>0,
即a2b2+1>a2+b2,
即a2b2+1+2ab>a2+b2+2ab,
即(ab+1)2>(a+b)2,
即|a+b|<|1+ab|.
8.(2015•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
解:(Ⅰ)当a=1时,不等式f(x)>1,即|x+1|﹣2|x﹣1|>1,
即x<-1-x-1-2(1-x)>1①,或-1≤x<1x+1-2(1-x)>1②,
或x≥1x+1-2(x-1)>1③.
解①求得x∈∅,解②求得23<x<1,解③求得1≤x<2.
综上可得,原不等式的解集为(23,2).
(Ⅱ)函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|=x-1-2a,x<-13x+1-2a,-1≤x≤a-x+1+2a,x>a,
由此求得f(x)的图象与x轴的交点A (2a-13,0),
B(2a+1,0),
故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C(a,a+1),
由△ABC的面积大于6,
可得12[2a+1-2a-13]•(a+1)>6,求得a>2.
故要求的a的范围为(2,+∞).
9.(2014•新课标Ⅱ)设函数f(x)=|x+1a|+|x﹣a|(a>0).
(Ⅰ)证明:f(x)≥2;
(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.
解:(Ⅰ)证明:∵a>0,f(x)=|x+1a|+|x﹣a|≥|(x+1a)﹣(x﹣a)|=|a+1a|=a+1a≥2a⋅1a=2,
故不等式f(x)≥2成立.
(Ⅱ)∵f(3)=|3+1a|+|3﹣a|<5,
∴当a>3时,不等式即a+1a<5,即a2﹣5a+1<0,解得3<a<5+212.
当0<a≤3时,不等式即 6﹣a+1a<5,即 a2﹣a﹣1>0,求得1+52<a≤3.
综上可得,a的取值范围(1+52,5+212).
10.(2014•新课标Ⅰ)若a>0,b>0,且1a+1b=ab.
(Ⅰ)求a3+b3的最小值;
(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且1a+1b=ab,
∴ab=1a+1b≥21ab,∴ab≥2,
当且仅当a=b=2时取等号.
∵a3+b3 ≥2(ab)3≥223=42,当且仅当a=b=2时取等号,
∴a3+b3的最小值为42.
(Ⅱ)∵2a+3b≥22a⋅3b=26ab,当且仅当2a=3b时,取等号.
而由(1)可知,26ab≥212=43>6,
故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.
11.(2013•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[-a2,12]时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
解:(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0.
设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,则y=-5x,x<12-x-2,12≤x≤13x-6,x>1,它的图象如图所示:
结合图象可得,y<0的解集为(0,2),故原不等式的解集为(0,2).
(Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[-a2,12]时,f(x)=1+a,不等式化为1+a≤x+3,
故x≥a﹣2对x∈[-a2,12]都成立.
故-a2≥a﹣2,
解得a≤43,
故a的取值范围为(﹣1,43].
12.(2011•辽宁)选修4﹣5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|.
(1)证明:﹣3≤f(x)≤3;
(2)求不等式f(x)≥x2﹣8x+15的解集.
解:(1)f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|=-3,x≤22x-7,2<x<53,x≥5.
当2<x<5时,﹣3<2x﹣7<3.
所以﹣3≤f(x)≤3.
(2)由(1)可知,
当x≤2时,f(x)≥x2﹣8x+15的解集为空集;
当2<x<5时,f(x)≥x2﹣8x+15的解集为{x|5-3≤x<5};
当x≥5时,f(x)≥x2﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.
综上,不等式f(x)≥x2﹣8x+15的解集为{x|5-3≤x≤6}.
13.(2019•新课标Ⅲ)设x,y,z∈R,且x+y+z=1.
(1)求(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;
(2)若(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2≥13成立,证明:a≤﹣3或a≥﹣1.
解:(1)x,y,z∈R,且x+y+z=1,
由柯西不等式可得
(12+12+12)[(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2]≥(x﹣1+y+1+z+1)2=4,
可得(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43,
即有(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43;
(2)证明:由x+y+z=1,柯西不等式可得
(12+12+12)[(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2]≥(x﹣2+y﹣1+z﹣a)2=(a+2)2,
可得(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2≥(a+2)23,
即有(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2的最小值为(a+2)23,
由题意可得(a+2)23≥13,
解得a≥﹣1或a≤﹣3.
14.(2019•新课标Ⅰ)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:
(1)1a+1b+1c≤a2+b2+c2;
(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
证明:(1)分析法:已知a,b,c为正数,且满足abc=1.
要证(1)1a+1b+1c≤a2+b2+c2;因为abc=1.
就要证:abca+abcb+abcc≤a2+b2+c2;
即证:bc+ac+ab≤a2+b2+c2;
即:2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2;
2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0
(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0;
∵a,b,c为正数,且满足abc=1.
∴(a﹣b)2≥0;(a﹣c)2≥0;(b﹣c)2≥0恒成立;当且仅当:a=b=c=1时取等号.
即(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0得证.
故1a+1b+1c≤a2+b2+c2得证.
(2)证(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24成立;
即:已知a,b,c为正数,且满足abc=1.
(a+b)为正数;(b+c)为正数;(c+a)为正数;
(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)•(b+c)•(c+a);
当且仅当(a+b)=(b+c)=(c+a)时取等号;即:a=b=c=1时取等号;
∵a,b,c为正数,且满足abc=1.
(a+b)≥2ab;(b+c)≥2bc;(c+a)≥2ac;
当且仅当a=b,b=c;c=a时取等号;即:a=b=c=1时取等号;
∴(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)•(b+c)•(c+a)≥3×8ab•bc•ac=24abc=24;
当且仅当a=b=c=1时取等号;
故(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.得证.
故得证.
15.(2017•新课标Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
证明:(1)由柯西不等式得:(a+b)(a5+b5)≥(a⋅a5+b⋅b5)2=(a3+b3)2≥4,
当且仅当ab5=ba5,即a=b=1时取等号,
(2)∵a3+b3=2,
∴(a+b)(a2﹣ab+b2)=2,
∴(a+b)[(a+b)2﹣3ab]=2,
∴(a+b)3﹣3ab(a+b)=2,
∴(a+b)3-23(a+b)=ab,
由均值不等式可得:(a+b)3-23(a+b)=ab≤(a+b2)2,
∴(a+b)3﹣2≤3(a+b)34,
∴14(a+b)3≤2,
∴a+b≤2,当且仅当a=b=1时等号成立.
16.(2015•新课标Ⅱ)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
(1)若ab>cd,则a+b>c+d;
(2)a+b>c+d是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.
证明:(1)由于(a+b)2=a+b+2ab,
(c+d)2=c+d+2cd,
由a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,ab>cd,
则ab>cd,
即有(a+b)2>(c+d)2,
则a+b>c+d;
(2)①若a+b>c+d,则(a+b)2>(c+d)2,
即为a+b+2ab>c+d+2cd,
由a+b=c+d,则ab>cd,
于是(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab,
(c﹣d)2=(c+d)2﹣4cd,
即有(a﹣b)2<(c﹣d)2,即为|a﹣b|<|c﹣d|;
②若|a﹣b|<|c﹣d|,则(a﹣b)2<(c﹣d)2,
即有(a+b)2﹣4ab<(c+d)2﹣4cd,
由a+b=c+d,则ab>cd,
则有(a+b)2>(c+d)2.
综上可得,a+b>c+d是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.
17.(2013•辽宁)(1)证明:当x∈[0,1]时,22x≤sinx≤x;
(2)若不等式ax+x2+x32+2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]恒成立,求实数a的取值范围.
(1)证明:记F(x)=sinx-22x,则F′(x)=cosx-22.
当x∈(0,π4)时,F′(x)>0,F(x)在[0,π4]上是增函数;
当x∈(π4,1)时,F′(x)<0,F(x)在[π4,1]上是减函数;
又F(0)=0,F(1)>0,所以当x∈[0,1]时,F(x)≥0,即sinx≥22x,
记H(x)=sinx﹣x,则当x∈(0,1)时,H′(x)=cosx﹣1<0,所以H(x)在[0,1]上是减函数;则H(x)≤H(0)=0,
即sinx≤x.
综上,22x≤sinx≤x.
(2)∵当x∈[0,1]时,ax+x2+x32+2(x+2)cosx﹣4
=(a+2)x+x2+x32-4(x+2)sin2x2
≤(a+2)x+x2+x32-4(x+2)(24x)2
=(a+2)x,
∴当a≤﹣2时,不等式ax+x2+x32+2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]恒成立,
下面证明,当a>﹣2时,不等式ax+x2+x32+2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]不恒成立.
∵当x∈[0,1]时,ax+x2+x32+2(x+2)cosx﹣4
=(a+2)x+x2+x32-4(x+2)sin2x2≥(a+2)x+x2+x32-4(x+2)(x2)2
=(a+2)x﹣x2-x32≥(a+2)x-32x2=-32x[x-23(a+2)].
所以存在x0∈(0,1)(例如x0取a+23和12中的较小值)满足
ax0+x02+x032+2(x0+2)cosx0﹣4>0,
即当a>﹣2时,不等式ax+x2+x32+2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]不恒成立.
综上,实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2].
18.(2013•新课标Ⅱ)【选修4﹣﹣5;不等式选讲】
设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
(Ⅰ)ab+bc+ca≤13
(Ⅱ)a2b+b2c+c2a≥1.
证明:(Ⅰ)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.
(Ⅱ)因为a2b+b≥2a,b2c+c≥2b,c2a+a≥2c,
故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)≥2(a+b+c),即a2b+b2c+c2a≥a+b+c.
所以a2b+b2c+c2a≥1.
历年高考数学真题精选(按考点分类)
专题52 不等式选讲(学生版)
1.(2019•新课标Ⅱ)已知f(x)=|x﹣a|x+|x﹣2|(x﹣a).
(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;
(2)当x∈(﹣∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.
2.(2018•新课标Ⅰ)已知f(x)=|x+1|﹣|ax﹣1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
3.(2018•新课标Ⅱ)设函数f(x)=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
4.(2017•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.
5.(2017•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围.
6.(2016•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x﹣1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
7.(2016•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=|x-12|+|x+12|,M为不等式f(x)<2的解集.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
8.(2015•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
9.(2014•新课标Ⅱ)设函数f(x)=|x+1a|+|x﹣a|(a>0).
(Ⅰ)证明:f(x)≥2;
(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.
10.(2014•新课标Ⅰ)若a>0,b>0,且1a+1b=ab.
(Ⅰ)求a3+b3的最小值;
(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
11.(2013•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[-a2,12]时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
12.(2011•辽宁)选修4﹣5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|.
(1)证明:﹣3≤f(x)≤3;
(2)求不等式f(x)≥x2﹣8x+15的解集.
13.(2019•新课标Ⅲ)设x,y,z∈R,且x+y+z=1.
(1)求(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;
(2)若(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2≥13成立,证明:a≤﹣3或a≥﹣1.
14.(2019•新课标Ⅰ)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:
(1)1a+1b+1c≤a2+b2+c2;
(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
15.(2017•新课标Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
16.(2015•新课标Ⅱ)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
(1)若ab>cd,则a+b>c+d;
(2)a+b>c+d是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.
17.(2013•辽宁)(1)证明:当x∈[0,1]时,22x≤sinx≤x;
(2)若不等式ax+x2+x32+2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]恒成立,求实数a的取值范围.
18.(2013•新课标Ⅱ)【选修4﹣﹣5;不等式选讲】
设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
(Ⅰ)ab+bc+ca≤13
(Ⅱ)a2b+b2c+c2a≥1.
历年高考数学真题精选(按考点分类)
专题52 不等式选讲(学生版)
一.解答题(共18小题)
1.(2019•新课标Ⅱ)已知f(x)=|x﹣a|x+|x﹣2|(x﹣a).
(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;
(2)当x∈(﹣∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=|x﹣1|x+|x﹣2|(x﹣1),
∵f(x)<0,∴当x<1时,f(x)=﹣2(x﹣1)2<0,恒成立,∴x<1;
当x≥1时,f(x)=(x﹣1)(x+|x﹣2|)≥0恒成立,∴x∈∅;
综上,不等式的解集为(﹣∞,1);
(2)当a≥1时,f(x)=2(a﹣x)(x﹣1)<0在x∈(﹣∞,1)上恒成立;
当a<1时,x∈(a,1),f(x)=2(x﹣a)>0,不满足题意,
∴a的取值范围为:[1,+∞)
2.(2018•新课标Ⅰ)已知f(x)=|x+1|﹣|ax﹣1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|=2,x>12x,-1≤x≤1-2,x<-1,
由f(x)>1,
∴2x>1-1≤x≤1或2>1x>1,
解得x>12,
故不等式f(x)>1的解集为(12,+∞),
(2)当x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,
∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x>0,
即x+1﹣|ax﹣1|﹣x>0,
即|ax﹣1|<1,
∴﹣1<ax﹣1<1,
∴0<ax<2,
∵x∈(0,1),
∴a>0,
∴0<x<2a,
∴a<2x
∵2x>2,
∴0<a≤2,
故a的取值范围为(0,2].
3.(2018•新课标Ⅱ)设函数f(x)=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=2x+4,x≤-12,-1<x<2-2x+6,x≥2.
当x≤﹣1时,f(x)=2x+4≥0,解得﹣2≤x≤﹣1,
当﹣1<x<2时,f(x)=2≥0恒成立,即﹣1<x<2,
当x≥2时,f(x)=﹣2x+6≥0,解得2≤x≤3,
综上所述不等式f(x)≥0的解集为[﹣2,3],
(2)∵f(x)≤1,
∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1,
∴|x+a|+|x﹣2|≥4,
∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|,
∴|a+2|≥4,
解得a≤﹣6或a≥2,
故a的取值范围(﹣∞,﹣6]∪[2,+∞).
4.(2017•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=﹣x2+x+4,是开口向下,对称轴为x=12的二次函数,
g(x)=|x+1|+|x﹣1|=2x,x>12,-1≤x≤1-2x,x<-1,
当x∈(1,+∞)时,令﹣x2+x+4=2x,解得x=17-12,g(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)在(1,+∞)上单调递减,∴此时f(x)≥g(x)的解集为(1,17-12];
当x∈[﹣1,1]时,g(x)=2,f(x)≥f(﹣1)=2.
当x∈(﹣∞,﹣1)时,g(x)单调递减,f(x)单调递增,且g(﹣1)=f(﹣1)=2.
综上所述,f(x)≥g(x)的解集为[﹣1,17-12];
(2)依题意得:﹣x2+ax+4≥2在[﹣1,1]恒成立,即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1,1]恒成立,则只需12-a⋅1-2≤0(-1)2-a(-1)-2≤0,解得﹣1≤a≤1,
故a的取值范围是[﹣1,1].
5.(2017•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围.
解:(1)∵f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|=-3,x<-12x-1,-1≤x≤23,x>2,f(x)≥1,
∴当﹣1≤x≤2时,2x﹣1≥1,解得1≤x≤2;
当x>2时,3≥1恒成立,故x>2;
综上,不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)原式等价于存在x∈R使得f(x)﹣x2+x≥m成立,
即m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x.
由(1)知,g(x)=-x2+x-3,x≤-1-x2+3x-1,-1<x<2-x2+x+3,x≥2,
当x≤﹣1时,g(x)=﹣x2+x﹣3,其开口向下,对称轴方程为x=12>-1,
∴g(x)≤g(﹣1)=﹣1﹣1﹣3=﹣5;
当﹣1<x<2时,g(x)=﹣x2+3x﹣1,其开口向下,对称轴方程为x=32∈(﹣1,2),
∴g(x)≤g(32)=-94+92-1=54;
当x≥2时,g(x)=﹣x2+x+3,其开口向下,对称轴方程为x=12<2,
∴g(x)≤g(2)=﹣4+2+3=1;
综上,g(x)max=54,
∴m的取值范围为(﹣∞,54].
6.(2016•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x﹣1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
解:(1)当a=2时,f(x)=|2x﹣2|+2,
∵f(x)≤6,∴|2x﹣2|+2≤6,
|2x﹣2|≤4,|x﹣1|≤2,
∴﹣2≤x﹣1≤2,
解得﹣1≤x≤3,
∴不等式f(x)≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}.
(2)∵g(x)=|2x﹣1|,
∴f(x)+g(x)=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3,
2|x-12|+2|x-a2|+a≥3,
|x-12|+|x-a2|≥3-a2,
当a≥3时,成立,
当a<3时,|x-12|+|x-a2|≥12|a﹣1|≥3-a2>0,
∴(a﹣1)2≥(3﹣a)2,
解得2≤a<3,
∴a的取值范围是[2,+∞).
7.(2016•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=|x-12|+|x+12|,M为不等式f(x)<2的解集.
(Ⅰ)求M;
(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
解:(I)当x<-12时,不等式f(x)<2可化为:12-x﹣x-12<2,
解得:x>﹣1,
∴﹣1<x<-12,
当-12≤x≤12时,不等式f(x)<2可化为:12-x+x+12=1<2,
此时不等式恒成立,
∴-12≤x≤12,
当x>12时,不等式f(x)<2可化为:-12+x+x+12<2,
解得:x<1,
∴12<x<1,
综上可得:M=(﹣1,1);
证明:(Ⅱ)当a,b∈M时,
(a2﹣1)(b2﹣1)>0,
即a2b2+1>a2+b2,
即a2b2+1+2ab>a2+b2+2ab,
即(ab+1)2>(a+b)2,
即|a+b|<|1+ab|.
8.(2015•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
解:(Ⅰ)当a=1时,不等式f(x)>1,即|x+1|﹣2|x﹣1|>1,
即x<-1-x-1-2(1-x)>1①,或-1≤x<1x+1-2(1-x)>1②,
或x≥1x+1-2(x-1)>1③.
解①求得x∈∅,解②求得23<x<1,解③求得1≤x<2.
综上可得,原不等式的解集为(23,2).
(Ⅱ)函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|=x-1-2a,x<-13x+1-2a,-1≤x≤a-x+1+2a,x>a,
由此求得f(x)的图象与x轴的交点A (2a-13,0),
B(2a+1,0),
故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C(a,a+1),
由△ABC的面积大于6,
可得12[2a+1-2a-13]•(a+1)>6,求得a>2.
故要求的a的范围为(2,+∞).
9.(2014•新课标Ⅱ)设函数f(x)=|x+1a|+|x﹣a|(a>0).
(Ⅰ)证明:f(x)≥2;
(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.
解:(Ⅰ)证明:∵a>0,f(x)=|x+1a|+|x﹣a|≥|(x+1a)﹣(x﹣a)|=|a+1a|=a+1a≥2a⋅1a=2,
故不等式f(x)≥2成立.
(Ⅱ)∵f(3)=|3+1a|+|3﹣a|<5,
∴当a>3时,不等式即a+1a<5,即a2﹣5a+1<0,解得3<a<5+212.
当0<a≤3时,不等式即 6﹣a+1a<5,即 a2﹣a﹣1>0,求得1+52<a≤3.
综上可得,a的取值范围(1+52,5+212).
10.(2014•新课标Ⅰ)若a>0,b>0,且1a+1b=ab.
(Ⅰ)求a3+b3的最小值;
(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且1a+1b=ab,
∴ab=1a+1b≥21ab,∴ab≥2,
当且仅当a=b=2时取等号.
∵a3+b3 ≥2(ab)3≥223=42,当且仅当a=b=2时取等号,
∴a3+b3的最小值为42.
(Ⅱ)∵2a+3b≥22a⋅3b=26ab,当且仅当2a=3b时,取等号.
而由(1)可知,26ab≥212=43>6,
故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.
11.(2013•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[-a2,12]时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
解:(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0.
设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,则y=-5x,x<12-x-2,12≤x≤13x-6,x>1,它的图象如图所示:
结合图象可得,y<0的解集为(0,2),故原不等式的解集为(0,2).
(Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[-a2,12]时,f(x)=1+a,不等式化为1+a≤x+3,
故x≥a﹣2对x∈[-a2,12]都成立.
故-a2≥a﹣2,
解得a≤43,
故a的取值范围为(﹣1,43].
12.(2011•辽宁)选修4﹣5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|.
(1)证明:﹣3≤f(x)≤3;
(2)求不等式f(x)≥x2﹣8x+15的解集.
解:(1)f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|=-3,x≤22x-7,2<x<53,x≥5.
当2<x<5时,﹣3<2x﹣7<3.
所以﹣3≤f(x)≤3.
(2)由(1)可知,
当x≤2时,f(x)≥x2﹣8x+15的解集为空集;
当2<x<5时,f(x)≥x2﹣8x+15的解集为{x|5-3≤x<5};
当x≥5时,f(x)≥x2﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.
综上,不等式f(x)≥x2﹣8x+15的解集为{x|5-3≤x≤6}.
13.(2019•新课标Ⅲ)设x,y,z∈R,且x+y+z=1.
(1)求(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;
(2)若(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2≥13成立,证明:a≤﹣3或a≥﹣1.
解:(1)x,y,z∈R,且x+y+z=1,
由柯西不等式可得
(12+12+12)[(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2]≥(x﹣1+y+1+z+1)2=4,
可得(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43,
即有(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43;
(2)证明:由x+y+z=1,柯西不等式可得
(12+12+12)[(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2]≥(x﹣2+y﹣1+z﹣a)2=(a+2)2,
可得(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2≥(a+2)23,
即有(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2的最小值为(a+2)23,
由题意可得(a+2)23≥13,
解得a≥﹣1或a≤﹣3.
14.(2019•新课标Ⅰ)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:
(1)1a+1b+1c≤a2+b2+c2;
(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
证明:(1)分析法:已知a,b,c为正数,且满足abc=1.
要证(1)1a+1b+1c≤a2+b2+c2;因为abc=1.
就要证:abca+abcb+abcc≤a2+b2+c2;
即证:bc+ac+ab≤a2+b2+c2;
即:2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2;
2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0
(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0;
∵a,b,c为正数,且满足abc=1.
∴(a﹣b)2≥0;(a﹣c)2≥0;(b﹣c)2≥0恒成立;当且仅当:a=b=c=1时取等号.
即(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0得证.
故1a+1b+1c≤a2+b2+c2得证.
(2)证(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24成立;
即:已知a,b,c为正数,且满足abc=1.
(a+b)为正数;(b+c)为正数;(c+a)为正数;
(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)•(b+c)•(c+a);
当且仅当(a+b)=(b+c)=(c+a)时取等号;即:a=b=c=1时取等号;
∵a,b,c为正数,且满足abc=1.
(a+b)≥2ab;(b+c)≥2bc;(c+a)≥2ac;
当且仅当a=b,b=c;c=a时取等号;即:a=b=c=1时取等号;
∴(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)•(b+c)•(c+a)≥3×8ab•bc•ac=24abc=24;
当且仅当a=b=c=1时取等号;
故(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.得证.
故得证.
15.(2017•新课标Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
证明:(1)由柯西不等式得:(a+b)(a5+b5)≥(a⋅a5+b⋅b5)2=(a3+b3)2≥4,
当且仅当ab5=ba5,即a=b=1时取等号,
(2)∵a3+b3=2,
∴(a+b)(a2﹣ab+b2)=2,
∴(a+b)[(a+b)2﹣3ab]=2,
∴(a+b)3﹣3ab(a+b)=2,
∴(a+b)3-23(a+b)=ab,
由均值不等式可得:(a+b)3-23(a+b)=ab≤(a+b2)2,
∴(a+b)3﹣2≤3(a+b)34,
∴14(a+b)3≤2,
∴a+b≤2,当且仅当a=b=1时等号成立.
16.(2015•新课标Ⅱ)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
(1)若ab>cd,则a+b>c+d;
(2)a+b>c+d是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.
证明:(1)由于(a+b)2=a+b+2ab,
(c+d)2=c+d+2cd,
由a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,ab>cd,
则ab>cd,
即有(a+b)2>(c+d)2,
则a+b>c+d;
(2)①若a+b>c+d,则(a+b)2>(c+d)2,
即为a+b+2ab>c+d+2cd,
由a+b=c+d,则ab>cd,
于是(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab,
(c﹣d)2=(c+d)2﹣4cd,
即有(a﹣b)2<(c﹣d)2,即为|a﹣b|<|c﹣d|;
②若|a﹣b|<|c﹣d|,则(a﹣b)2<(c﹣d)2,
即有(a+b)2﹣4ab<(c+d)2﹣4cd,
由a+b=c+d,则ab>cd,
则有(a+b)2>(c+d)2.
综上可得,a+b>c+d是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.
17.(2013•辽宁)(1)证明:当x∈[0,1]时,22x≤sinx≤x;
(2)若不等式ax+x2+x32+2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]恒成立,求实数a的取值范围.
(1)证明:记F(x)=sinx-22x,则F′(x)=cosx-22.
当x∈(0,π4)时,F′(x)>0,F(x)在[0,π4]上是增函数;
当x∈(π4,1)时,F′(x)<0,F(x)在[π4,1]上是减函数;
又F(0)=0,F(1)>0,所以当x∈[0,1]时,F(x)≥0,即sinx≥22x,
记H(x)=sinx﹣x,则当x∈(0,1)时,H′(x)=cosx﹣1<0,所以H(x)在[0,1]上是减函数;则H(x)≤H(0)=0,
即sinx≤x.
综上,22x≤sinx≤x.
(2)∵当x∈[0,1]时,ax+x2+x32+2(x+2)cosx﹣4
=(a+2)x+x2+x32-4(x+2)sin2x2
≤(a+2)x+x2+x32-4(x+2)(24x)2
=(a+2)x,
∴当a≤﹣2时,不等式ax+x2+x32+2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]恒成立,
下面证明,当a>﹣2时,不等式ax+x2+x32+2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]不恒成立.
∵当x∈[0,1]时,ax+x2+x32+2(x+2)cosx﹣4
=(a+2)x+x2+x32-4(x+2)sin2x2≥(a+2)x+x2+x32-4(x+2)(x2)2
=(a+2)x﹣x2-x32≥(a+2)x-32x2=-32x[x-23(a+2)].
所以存在x0∈(0,1)(例如x0取a+23和12中的较小值)满足
ax0+x02+x032+2(x0+2)cosx0﹣4>0,
即当a>﹣2时,不等式ax+x2+x32+2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]不恒成立.
综上,实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2].
18.(2013•新课标Ⅱ)【选修4﹣﹣5;不等式选讲】
设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
(Ⅰ)ab+bc+ca≤13
(Ⅱ)a2b+b2c+c2a≥1.
证明:(Ⅰ)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.
(Ⅱ)因为a2b+b≥2a,b2c+c≥2b,c2a+a≥2c,
故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)≥2(a+b+c),即a2b+b2c+c2a≥a+b+c.
所以a2b+b2c+c2a≥1.
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