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    历年高考数学真题精选52 不等式选讲

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    这是一份历年高考数学真题精选52 不等式选讲,共19页。试卷主要包含了=|x+1|﹣|ax﹣1|,=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|,=|x+1|+|x﹣1|,=|x+1|﹣|x﹣2|,=|2x﹣a|+a,<2的解集等内容,欢迎下载使用。

    历年高考数学真题精选(按考点分类)
    专题52 不等式选讲(学生版)

    1.(2019•新课标Ⅱ)已知f(x)=|x﹣a|x+|x﹣2|(x﹣a).
    (1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;
    (2)当x∈(﹣∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.
    2.(2018•新课标Ⅰ)已知f(x)=|x+1|﹣|ax﹣1|.
    (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
    (2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
    3.(2018•新课标Ⅱ)设函数f(x)=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|.
    (1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
    (2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
    4.(2017•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.
    (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
    (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.
    5.(2017•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|.
    (1)求不等式f(x)≥1的解集;
    (2)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围.
    6.(2016•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.
    (1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
    (2)设函数g(x)=|2x﹣1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
    7.(2016•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=|x-12|+|x+12|,M为不等式f(x)<2的解集.
    (Ⅰ)求M;
    (Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
    8.(2015•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.
    (Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
    (Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
    9.(2014•新课标Ⅱ)设函数f(x)=|x+1a|+|x﹣a|(a>0).
    (Ⅰ)证明:f(x)≥2;
    (Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.
    10.(2014•新课标Ⅰ)若a>0,b>0,且1a+1b=ab.
    (Ⅰ)求a3+b3的最小值;
    (Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
    11.(2013•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
    (Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
    (Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[-a2,12]时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
    12.(2011•辽宁)选修4﹣5:不等式选讲
    已知函数f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|.
    (1)证明:﹣3≤f(x)≤3;
    (2)求不等式f(x)≥x2﹣8x+15的解集.
    13.(2019•新课标Ⅲ)设x,y,z∈R,且x+y+z=1.
    (1)求(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;
    (2)若(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2≥13成立,证明:a≤﹣3或a≥﹣1.
    14.(2019•新课标Ⅰ)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:
    (1)1a+1b+1c≤a2+b2+c2;
    (2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
    15.(2017•新课标Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:
    (1)(a+b)(a5+b5)≥4;
    (2)a+b≤2.
    16.(2015•新课标Ⅱ)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
    (1)若ab>cd,则a+b>c+d;
    (2)a+b>c+d是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.
    17.(2013•辽宁)(1)证明:当x∈[0,1]时,22x≤sinx≤x;
    (2)若不等式ax+x2+x32+2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]恒成立,求实数a的取值范围.
    18.(2013•新课标Ⅱ)【选修4﹣﹣5;不等式选讲】
    设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
    (Ⅰ)ab+bc+ca≤13
    (Ⅱ)a2b+b2c+c2a≥1.

    历年高考数学真题精选(按考点分类)
    专题52 不等式选讲(学生版)

    一.解答题(共18小题)
    1.(2019•新课标Ⅱ)已知f(x)=|x﹣a|x+|x﹣2|(x﹣a).
    (1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;
    (2)当x∈(﹣∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.
    解:(1)当a=1时,f(x)=|x﹣1|x+|x﹣2|(x﹣1),
    ∵f(x)<0,∴当x<1时,f(x)=﹣2(x﹣1)2<0,恒成立,∴x<1;
    当x≥1时,f(x)=(x﹣1)(x+|x﹣2|)≥0恒成立,∴x∈∅;
    综上,不等式的解集为(﹣∞,1);
    (2)当a≥1时,f(x)=2(a﹣x)(x﹣1)<0在x∈(﹣∞,1)上恒成立;
    当a<1时,x∈(a,1),f(x)=2(x﹣a)>0,不满足题意,
    ∴a的取值范围为:[1,+∞)
    2.(2018•新课标Ⅰ)已知f(x)=|x+1|﹣|ax﹣1|.
    (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
    (2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
    解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|=2,x>12x,-1≤x≤1-2,x<-1,
    由f(x)>1,
    ∴2x>1-1≤x≤1或2>1x>1,
    解得x>12,
    故不等式f(x)>1的解集为(12,+∞),
    (2)当x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,
    ∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x>0,
    即x+1﹣|ax﹣1|﹣x>0,
    即|ax﹣1|<1,
    ∴﹣1<ax﹣1<1,
    ∴0<ax<2,
    ∵x∈(0,1),
    ∴a>0,
    ∴0<x<2a,
    ∴a<2x
    ∵2x>2,
    ∴0<a≤2,
    故a的取值范围为(0,2].
    3.(2018•新课标Ⅱ)设函数f(x)=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|.
    (1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;
    (2)若f(x)≤1,求a的取值范围.
    解:(1)当a=1时,f(x)=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=2x+4,x≤-12,-1<x<2-2x+6,x≥2.
    当x≤﹣1时,f(x)=2x+4≥0,解得﹣2≤x≤﹣1,
    当﹣1<x<2时,f(x)=2≥0恒成立,即﹣1<x<2,
    当x≥2时,f(x)=﹣2x+6≥0,解得2≤x≤3,
    综上所述不等式f(x)≥0的解集为[﹣2,3],
    (2)∵f(x)≤1,
    ∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1,
    ∴|x+a|+|x﹣2|≥4,
    ∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|,
    ∴|a+2|≥4,
    解得a≤﹣6或a≥2,
    故a的取值范围(﹣∞,﹣6]∪[2,+∞).
    4.(2017•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.
    (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
    (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.
    解:(1)当a=1时,f(x)=﹣x2+x+4,是开口向下,对称轴为x=12的二次函数,
    g(x)=|x+1|+|x﹣1|=2x,x>12,-1≤x≤1-2x,x<-1,
    当x∈(1,+∞)时,令﹣x2+x+4=2x,解得x=17-12,g(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)在(1,+∞)上单调递减,∴此时f(x)≥g(x)的解集为(1,17-12];
    当x∈[﹣1,1]时,g(x)=2,f(x)≥f(﹣1)=2.
    当x∈(﹣∞,﹣1)时,g(x)单调递减,f(x)单调递增,且g(﹣1)=f(﹣1)=2.
    综上所述,f(x)≥g(x)的解集为[﹣1,17-12];
    (2)依题意得:﹣x2+ax+4≥2在[﹣1,1]恒成立,即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1,1]恒成立,则只需12-a⋅1-2≤0(-1)2-a(-1)-2≤0,解得﹣1≤a≤1,
    故a的取值范围是[﹣1,1].
    5.(2017•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|.
    (1)求不等式f(x)≥1的解集;
    (2)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围.
    解:(1)∵f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|=-3,x<-12x-1,-1≤x≤23,x>2,f(x)≥1,
    ∴当﹣1≤x≤2时,2x﹣1≥1,解得1≤x≤2;
    当x>2时,3≥1恒成立,故x>2;
    综上,不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
    (2)原式等价于存在x∈R使得f(x)﹣x2+x≥m成立,
    即m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x.
    由(1)知,g(x)=-x2+x-3,x≤-1-x2+3x-1,-1<x<2-x2+x+3,x≥2,
    当x≤﹣1时,g(x)=﹣x2+x﹣3,其开口向下,对称轴方程为x=12>-1,
    ∴g(x)≤g(﹣1)=﹣1﹣1﹣3=﹣5;
    当﹣1<x<2时,g(x)=﹣x2+3x﹣1,其开口向下,对称轴方程为x=32∈(﹣1,2),
    ∴g(x)≤g(32)=-94+92-1=54;
    当x≥2时,g(x)=﹣x2+x+3,其开口向下,对称轴方程为x=12<2,
    ∴g(x)≤g(2)=﹣4+2+3=1;
    综上,g(x)max=54,
    ∴m的取值范围为(﹣∞,54].
    6.(2016•新课标Ⅲ)已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.
    (1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
    (2)设函数g(x)=|2x﹣1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
    解:(1)当a=2时,f(x)=|2x﹣2|+2,
    ∵f(x)≤6,∴|2x﹣2|+2≤6,
    |2x﹣2|≤4,|x﹣1|≤2,
    ∴﹣2≤x﹣1≤2,
    解得﹣1≤x≤3,
    ∴不等式f(x)≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}.
    (2)∵g(x)=|2x﹣1|,
    ∴f(x)+g(x)=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3,
    2|x-12|+2|x-a2|+a≥3,
    |x-12|+|x-a2|≥3-a2,
    当a≥3时,成立,
    当a<3时,|x-12|+|x-a2|≥12|a﹣1|≥3-a2>0,
    ∴(a﹣1)2≥(3﹣a)2,
    解得2≤a<3,
    ∴a的取值范围是[2,+∞).
    7.(2016•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=|x-12|+|x+12|,M为不等式f(x)<2的解集.
    (Ⅰ)求M;
    (Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
    解:(I)当x<-12时,不等式f(x)<2可化为:12-x﹣x-12<2,
    解得:x>﹣1,
    ∴﹣1<x<-12,
    当-12≤x≤12时,不等式f(x)<2可化为:12-x+x+12=1<2,
    此时不等式恒成立,
    ∴-12≤x≤12,
    当x>12时,不等式f(x)<2可化为:-12+x+x+12<2,
    解得:x<1,
    ∴12<x<1,
    综上可得:M=(﹣1,1);
    证明:(Ⅱ)当a,b∈M时,
    (a2﹣1)(b2﹣1)>0,
    即a2b2+1>a2+b2,
    即a2b2+1+2ab>a2+b2+2ab,
    即(ab+1)2>(a+b)2,
    即|a+b|<|1+ab|.
    8.(2015•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.
    (Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
    (Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
    解:(Ⅰ)当a=1时,不等式f(x)>1,即|x+1|﹣2|x﹣1|>1,
    即x<-1-x-1-2(1-x)>1①,或-1≤x<1x+1-2(1-x)>1②,
    或x≥1x+1-2(x-1)>1③.
    解①求得x∈∅,解②求得23<x<1,解③求得1≤x<2.
    综上可得,原不等式的解集为(23,2).
    (Ⅱ)函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|=x-1-2a,x<-13x+1-2a,-1≤x≤a-x+1+2a,x>a,
    由此求得f(x)的图象与x轴的交点A (2a-13,0),
    B(2a+1,0),
    故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C(a,a+1),
    由△ABC的面积大于6,
    可得12[2a+1-2a-13]•(a+1)>6,求得a>2.
    故要求的a的范围为(2,+∞).

    9.(2014•新课标Ⅱ)设函数f(x)=|x+1a|+|x﹣a|(a>0).
    (Ⅰ)证明:f(x)≥2;
    (Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.
    解:(Ⅰ)证明:∵a>0,f(x)=|x+1a|+|x﹣a|≥|(x+1a)﹣(x﹣a)|=|a+1a|=a+1a≥2a⋅1a=2,
    故不等式f(x)≥2成立.
    (Ⅱ)∵f(3)=|3+1a|+|3﹣a|<5,
    ∴当a>3时,不等式即a+1a<5,即a2﹣5a+1<0,解得3<a<5+212.
    当0<a≤3时,不等式即 6﹣a+1a<5,即 a2﹣a﹣1>0,求得1+52<a≤3.
    综上可得,a的取值范围(1+52,5+212).
    10.(2014•新课标Ⅰ)若a>0,b>0,且1a+1b=ab.
    (Ⅰ)求a3+b3的最小值;
    (Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
    解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且1a+1b=ab,
    ∴ab=1a+1b≥21ab,∴ab≥2,
    当且仅当a=b=2时取等号.
    ∵a3+b3 ≥2(ab)3≥223=42,当且仅当a=b=2时取等号,
    ∴a3+b3的最小值为42.
    (Ⅱ)∵2a+3b≥22a⋅3b=26ab,当且仅当2a=3b时,取等号.
    而由(1)可知,26ab≥212=43>6,
    故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.
    11.(2013•新课标Ⅰ)已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
    (Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
    (Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[-a2,12]时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
    解:(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0.
    设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,则y=-5x,x<12-x-2,12≤x≤13x-6,x>1,它的图象如图所示:
    结合图象可得,y<0的解集为(0,2),故原不等式的解集为(0,2).
    (Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[-a2,12]时,f(x)=1+a,不等式化为1+a≤x+3,
    故x≥a﹣2对x∈[-a2,12]都成立.
    故-a2≥a﹣2,
    解得a≤43,
    故a的取值范围为(﹣1,43].

    12.(2011•辽宁)选修4﹣5:不等式选讲
    已知函数f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|.
    (1)证明:﹣3≤f(x)≤3;
    (2)求不等式f(x)≥x2﹣8x+15的解集.
    解:(1)f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|=-3,x≤22x-7,2<x<53,x≥5.
    当2<x<5时,﹣3<2x﹣7<3.
    所以﹣3≤f(x)≤3.
    (2)由(1)可知,
    当x≤2时,f(x)≥x2﹣8x+15的解集为空集;
    当2<x<5时,f(x)≥x2﹣8x+15的解集为{x|5-3≤x<5};
    当x≥5时,f(x)≥x2﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.
    综上,不等式f(x)≥x2﹣8x+15的解集为{x|5-3≤x≤6}.
    13.(2019•新课标Ⅲ)设x,y,z∈R,且x+y+z=1.
    (1)求(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;
    (2)若(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2≥13成立,证明:a≤﹣3或a≥﹣1.
    解:(1)x,y,z∈R,且x+y+z=1,
    由柯西不等式可得
    (12+12+12)[(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2]≥(x﹣1+y+1+z+1)2=4,
    可得(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43,
    即有(x﹣1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43;
    (2)证明:由x+y+z=1,柯西不等式可得
    (12+12+12)[(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2]≥(x﹣2+y﹣1+z﹣a)2=(a+2)2,
    可得(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2≥(a+2)23,
    即有(x﹣2)2+(y﹣1)2+(z﹣a)2的最小值为(a+2)23,
    由题意可得(a+2)23≥13,
    解得a≥﹣1或a≤﹣3.
    14.(2019•新课标Ⅰ)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:
    (1)1a+1b+1c≤a2+b2+c2;
    (2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
    证明:(1)分析法:已知a,b,c为正数,且满足abc=1.
    要证(1)1a+1b+1c≤a2+b2+c2;因为abc=1.
    就要证:abca+abcb+abcc≤a2+b2+c2;
    即证:bc+ac+ab≤a2+b2+c2;
    即:2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2;
    2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0
    (a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0;
    ∵a,b,c为正数,且满足abc=1.
    ∴(a﹣b)2≥0;(a﹣c)2≥0;(b﹣c)2≥0恒成立;当且仅当:a=b=c=1时取等号.
    即(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0得证.
    故1a+1b+1c≤a2+b2+c2得证.
    (2)证(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24成立;
    即:已知a,b,c为正数,且满足abc=1.
    (a+b)为正数;(b+c)为正数;(c+a)为正数;
    (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)•(b+c)•(c+a);
    当且仅当(a+b)=(b+c)=(c+a)时取等号;即:a=b=c=1时取等号;
    ∵a,b,c为正数,且满足abc=1.
    (a+b)≥2ab;(b+c)≥2bc;(c+a)≥2ac;
    当且仅当a=b,b=c;c=a时取等号;即:a=b=c=1时取等号;
    ∴(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)•(b+c)•(c+a)≥3×8ab•bc•ac=24abc=24;
    当且仅当a=b=c=1时取等号;
    故(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.得证.
    故得证.
    15.(2017•新课标Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:
    (1)(a+b)(a5+b5)≥4;
    (2)a+b≤2.
    证明:(1)由柯西不等式得:(a+b)(a5+b5)≥(a⋅a5+b⋅b5)2=(a3+b3)2≥4,
    当且仅当ab5=ba5,即a=b=1时取等号,
    (2)∵a3+b3=2,
    ∴(a+b)(a2﹣ab+b2)=2,
    ∴(a+b)[(a+b)2﹣3ab]=2,
    ∴(a+b)3﹣3ab(a+b)=2,
    ∴(a+b)3-23(a+b)=ab,
    由均值不等式可得:(a+b)3-23(a+b)=ab≤(a+b2)2,
    ∴(a+b)3﹣2≤3(a+b)34,
    ∴14(a+b)3≤2,
    ∴a+b≤2,当且仅当a=b=1时等号成立.
    16.(2015•新课标Ⅱ)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
    (1)若ab>cd,则a+b>c+d;
    (2)a+b>c+d是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.
    证明:(1)由于(a+b)2=a+b+2ab,
    (c+d)2=c+d+2cd,
    由a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,ab>cd,
    则ab>cd,
    即有(a+b)2>(c+d)2,
    则a+b>c+d;
    (2)①若a+b>c+d,则(a+b)2>(c+d)2,
    即为a+b+2ab>c+d+2cd,
    由a+b=c+d,则ab>cd,
    于是(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab,
    (c﹣d)2=(c+d)2﹣4cd,
    即有(a﹣b)2<(c﹣d)2,即为|a﹣b|<|c﹣d|;
    ②若|a﹣b|<|c﹣d|,则(a﹣b)2<(c﹣d)2,
    即有(a+b)2﹣4ab<(c+d)2﹣4cd,
    由a+b=c+d,则ab>cd,
    则有(a+b)2>(c+d)2.
    综上可得,a+b>c+d是|a﹣b|<|c﹣d|的充要条件.
    17.(2013•辽宁)(1)证明:当x∈[0,1]时,22x≤sinx≤x;
    (2)若不等式ax+x2+x32+2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]恒成立,求实数a的取值范围.
    (1)证明:记F(x)=sinx-22x,则F′(x)=cosx-22.
    当x∈(0,π4)时,F′(x)>0,F(x)在[0,π4]上是增函数;
    当x∈(π4,1)时,F′(x)<0,F(x)在[π4,1]上是减函数;
    又F(0)=0,F(1)>0,所以当x∈[0,1]时,F(x)≥0,即sinx≥22x,
    记H(x)=sinx﹣x,则当x∈(0,1)时,H′(x)=cosx﹣1<0,所以H(x)在[0,1]上是减函数;则H(x)≤H(0)=0,
    即sinx≤x.
    综上,22x≤sinx≤x.
    (2)∵当x∈[0,1]时,ax+x2+x32+2(x+2)cosx﹣4
    =(a+2)x+x2+x32-4(x+2)sin2x2
    ≤(a+2)x+x2+x32-4(x+2)(24x)2
    =(a+2)x,
    ∴当a≤﹣2时,不等式ax+x2+x32+2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]恒成立,
    下面证明,当a>﹣2时,不等式ax+x2+x32+2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]不恒成立.
    ∵当x∈[0,1]时,ax+x2+x32+2(x+2)cosx﹣4
    =(a+2)x+x2+x32-4(x+2)sin2x2≥(a+2)x+x2+x32-4(x+2)(x2)2
    =(a+2)x﹣x2-x32≥(a+2)x-32x2=-32x[x-23(a+2)].
    所以存在x0∈(0,1)(例如x0取a+23和12中的较小值)满足
    ax0+x02+x032+2(x0+2)cosx0﹣4>0,
    即当a>﹣2时,不等式ax+x2+x32+2(x+2)cosx≤4对x∈[0,1]不恒成立.
    综上,实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2].
    18.(2013•新课标Ⅱ)【选修4﹣﹣5;不等式选讲】
    设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
    (Ⅰ)ab+bc+ca≤13
    (Ⅱ)a2b+b2c+c2a≥1.
    证明:(Ⅰ)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
    由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,
    所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.
    (Ⅱ)因为a2b+b≥2a,b2c+c≥2b,c2a+a≥2c,
    故a2b+b2c+c2a+(a+b+c)≥2(a+b+c),即a2b+b2c+c2a≥a+b+c.
    所以a2b+b2c+c2a≥1.
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