高中数学3.3 抛物线课时练习

这是一份高中数学3.3 抛物线课时练习，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教A版（2019）选择性必修第一册 3.3抛物线 同步练习

一、单选题
1．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（       ）
A．2 B．3 C．6 D．9
2．已知是抛物线的焦点， 是该抛物线上的两点， 则线段的中点到轴的距离为（     ）
A． B． C． D．
3．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2 B．3
C．4 D．8
4．如图，点A，B，C在抛物线上，抛物线的焦点F在上，与x轴交于点D，，，则（       ）

A． B．4 C． D．3
5．若点，在抛物线上，是坐标原点，若等边三角形的面积为，则该抛物线的方程是（       ）
A． B．
C． D．
6．抛物线的焦点到直线的距离为，则（       ）
A．1 B．2 C． D．4
7．设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（       ）．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
8．已知抛物线，为其焦点，抛物线上两点、满足，则线段的中点到轴的距离等于（       ）
A． B． C． D．
9．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为（       ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则（       ）
A． B． C． D．或
11．如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若，且，则拋物线的方程为（       ）

A． B．
C． D．
12．已知是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线的准线交于点，若，则（       ）
A．3 B． C． D．
13．已知抛物线()的焦点为，、是抛物线上的两个点，若是边长为的正三角形，则的值是（       ）

A． B．
C． D．
14．已知抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，O为坐标原点，则四边形的面积是（       ）
A． B． C． D．
15．设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.则抛物线C的方程为________.
17．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
18．已知抛物线，圆与轴相切，斜率为的直线过抛物线的焦点与抛物线交于，两点，与圆交于，两点(，两点在轴的同一侧)，若，，则的取值范围为___________.
三、解答题
19．已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
20．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
21．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
22．在平面直角坐标系xOy中，过点F（2，0）的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径，设点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点A（2，4）的任意直线l与曲线C交于点M，B为AM的中点，过点B作x轴的平行线交曲线C于点D，B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共点？说明理由．

参考答案：
1．C


利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】
设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C.
【点晴】
本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
2．C


根据抛物线的方程求出焦点和准线方程，利用抛物线的定义，列出方程，求出的中点横坐标，即可求出线段的中点到轴的距离．
【详解】
因为是抛物线的焦点，
所以，准线方程，
设，
所以，
所以，
所以线段的中点横坐标为，
所以线段的中点到轴的距离为．
故选：C．

关键点点睛：解题的关键是利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离．
3．D


利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．
【详解】
因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．

本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．
4．B


设出点A，B，C的坐标，利用直线AB，AC，BC斜率的关系建立等式即可得解.
【详解】
依题意设，则直线AB，AC，BC斜率分别为：
，
因，则，即，
则，因F(1，0)在直线AB上，则，而，
有，即，点A在直线上，
又是等腰三角形，点F，点D关于直线对称，所以点D坐标为(5，0)，|FD|=4.
故选：B
5．A


根据等边三角形的面积求得边长，根据角度求得点的坐标，代入抛物线方程求得的值.
【详解】
设等边三角形的边长为，
则，解得．
根据抛物线的对称性可知，且，
设点在轴上方，则点的坐标为，即，
将代入抛物线方程得，
解得，故抛物线方程为．
故选：A
6．B


首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】
抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
7．B


依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解.
【详解】
如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：B.

本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
8．B

根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出的中点纵坐标，求出线段的中点到轴的距离.
【详解】
解：抛物线的焦点,准线方程，
设，
，
解得，
∴线段的中点横坐标为，
∴线段的中点到轴的距离为，
故选：B.

本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，是基础题.
9．A


先将抛物线方程化为标准方程，写出焦点坐标和准线方程，利用抛物线定义得到，再利用平面几何知识求周长的最小值.
【详解】
将化为，
则其焦点，准线方程为，
则，设，
则由抛物线的定义，得，
所以的周长

（当且仅当轴时取得最小值）.
故选：A.
10．B


设点，利用求得点的横坐标，利用抛物线的定义可求得.
【详解】
抛物线的焦点为，准线的方程为.
设点、，则，，
，可得，解得，
由抛物线的定义可得.
故选：B.

本题考查利用抛物线的定义求焦半径，求出点的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
11．B


分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，，设，根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得.
【详解】
如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，
设，则由已知得：，由定义得：，故
在直角三角形中，，
，，从而得
，，求得
所以抛物线的方程为．
故选：B


关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键在于根据抛物线定义得出，进而推断出的值，考查学生的分析审题能力，属于一般题.
12．A


设，，，联立抛物线，应用韦达定理及已知条件求、，结合抛物线的定义求、，即可求目标式的值.
【详解】
设，，直线.
联立抛物线得：，则.
由直线与抛物线准线交于，则.
由得：，即，则.
∴，，，
故选：A.
13．C

根据抛物线和正三角形的对称性，可得点的应该关于轴对称，进而可得到点的纵坐标，算出其横坐标，利用焦点弦公式解出即可.
【详解】
解：根据题意及图形可得，
设、()，
由题意可得，以及，
所以，则，又，
所以，
，，
所以，解得，
故选：C.

方法点睛：求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．
（1）若题目已给出抛物线的方程(含有未知数)，那么只需求出即可；
（2）若题目未给出抛物线的方程：
a.对于焦点在轴上的抛物线的标准方程可统一设为的正负由题设来定；
b.焦点在轴上的抛物线的标准方程可设为，这样就减少了不必要的讨论．
14．A


由抛物线定义将A到焦点的距离转化为A到准线的距离，求出A的横坐标，进而得到纵坐标，设出直线AB，代入抛物线方程利用根与系数的关系求出|y1-y2|，进而求出面积.
【详解】
抛物线的准线方程为，设，，由抛物线的定义可知，，由抛物线的对称性，不妨令，设直线的方程为，由得，，∴，四边形的面积，
故选：A．
15．C

首先根据线条长度关系解出A、B点横坐标（用表示），
然后利用三角形面积公式列出一个关于的方程，解出即可.
【详解】
过点B作交直线AC于点M，交轴于点N，
设点，
由得 ，
即……①，
又因为,
所以,
所以，
所以……②，
由①②可解得，
在中，，
，
所以，
所以,
解得或（舍去），
故选：C

本题考查抛物线及其标准方程和抛物线的几何性质，利用焦点弦的性质是解答本题的关键.
16．y2＝8x


设出抛物线方程，根据定义求出p，即可写出抛物线的方程.
【详解】
由题意可设抛物线方程为y2＝2px.
其准线方程为x＝－，根据定义可得4＋＝6，解得p＝4，
所以抛物线C的方程为y2＝8x.
故答案为：y2＝8x
17．


先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】
抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，

因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.

利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
18．


先求出，然后设出直线，让直线与抛物线联立，再根据向量之间的关系及韦达定理求出，再利用抛物线的定义及条件建立等式，再转化为不等式求解即可.
【详解】
由圆的方程可知，其圆心坐标为，当圆与轴相切可知，得，
所以抛物线的焦点坐标为，抛物线方程为，
设斜率为的直线方程为，设，直线与抛物线联立，
，得，
所以①，②
所以，，
而，则有，，
所以③，由①，③解得，
代入②有，变形得，
因为，所以，
所以，变形得，
解得.
故答案为：.

关键点睛：解决本题的关键一是先求出抛物线方程，二是运用抛物线的定义，三是解不等式.
19．（1）；（2），.


（1）求出、，利用可得出关于、的齐次等式，可解得椭圆的离心率的值；
（2）[方法四]由（1）可得出的方程为，联立曲线与的方程，求出点的坐标，利用抛物线的定义结合可求得的值，进而可得出与的标准方程.
【详解】
（1），轴且与椭圆相交于、两点，
则直线的方程为，
联立，解得，则，

抛物线的方程为，联立，
解得，，
，即，，
即，即，
，解得，因此，椭圆的离心率为；
（2）[方法一]：椭圆的第二定义
由椭圆的第二定义知，则有，
所以，即．
又由，得．
从而，解得．
所以．
故椭圆与抛物线的标准方程分别是．
[方法二]：圆锥曲线统一的极坐标公式
以为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
由（Ⅰ）知，又由圆锥曲线统一的极坐标公式，得，由，得，两式联立解得．
故的标准方程为，的标准方程为．
[方法三]：参数方程
由（1）知，椭圆的方程为，
所以的参数方程为x=2c⋅cosθ,y=3c⋅sinθ（为参数），
将它代入抛物线的方程并化简得，
解得或（舍去），
所以，即点M的坐标为．
又，所以由抛物线焦半径公式有，即，解得．
故的标准方程为，的标准方程为．
[方法四]【最优解】：利用韦达定理
由（1）知，，椭圆的方程为，
联立，消去并整理得，
解得或（舍去），
由抛物线的定义可得，解得.
因此，曲线的标准方程为，
曲线的标准方程为.
【整体点评】
(2)方法一：椭圆的第二定义是联系准线与离心率的重要工具，涉及离心率的问题不妨考虑使用第二定义，很多时候会使得问题简单明了.
方法二：圆锥曲线统一的极坐标公式充分体现了圆锥曲线的统一特征，同时它也是解决圆锥曲线问题的一个不错的思考方向.
方法三：参数方程是一种重要的数学工具，它将圆锥曲线的问题转化为三角函数的问题，使得原来抽象的问题更加具体化.
方法四：韦达定理是最常用的处理直线与圆锥曲线位置关系的方法，联立方程之后充分利用韦达定理可以达到设而不求的效果.
20．（1）；（2）.


（1）设直线：，，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用可得，结合韦达定理可求得；根据弦长公式可求得结果.
【详解】
（1）设直线方程为：，，
由抛物线焦半径公式可知：       
联立得：
则       
，解得：
直线的方程为：，即：
（2）设，则可设直线方程为：
联立得：
则       
，
              ，       
则

本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.
21．（1）；（2）最大值为.


（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
【详解】
（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
据此整理可得点的轨迹方程为，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线的斜率的最大值为.
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为．
设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为．
设直线的斜率为k，则．
令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题可设．
因为，所以．
于是，所以
则直线的斜率为．
当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．
【整体点评】
方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；
方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；
方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；
方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值.
22．（1）y2＝8x；（2）没有，理由见解析.


（1）过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线于点，由题意可得，再由抛物线的定义求解即可；
（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况结合二次方程的判别式进行讨论，即可求解
【详解】
（1）如图，过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线于点，

设动圆的圆心为E，半径为r，则E到y轴的距离为r，在梯形OFPH中，由中位线性质可得，
所以，又，
所以，
由抛物线的定义知，点是以为焦点，以直线为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为：；
（2）由可得A在求出C上，
当直线l的斜率存在时，设，，则，

AM的中点，即，
在方程中，令，得，
所以，
设，由中点坐标公式可得，
又，代入化简，
所以，
直线MN的斜率为：，
所以直线MN的方程为： ①，
将代入①化简可得：②，
将代入②式整理可得，
，
所以直线MN与抛物线相切，
所以除M点外，直线MN与C没有其他的公共点．
当直线MN的斜率不存在时，，，，，
直线MN的方程为：代入抛物线的方程可得，，
所以除M点外，直线MN与C没有其他的公共点．
综上所述，除M点外直线MN与C没有其他的公共点．