高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线习题

人教A版（2019）选择性必修第一册 3.2双曲线 同步练习

一、单选题

1．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（       ）

A．1 B．2 C．4 D．8

2．不垂直于坐标轴的直线与双曲线的渐近线交于，两点，若线段的中点为，和的斜率满足，则顶点在坐标原点，焦点在轴上，且经过点的抛物线方程是（       ）

A． B． C． D．

3．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（       ）

A．4 B．8 C．16 D．32

4．已知、为双曲线的焦点，为与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（       ）．

A． B． C． D．

5．点到双曲线的一条渐近线的距离为（       ）

A． B． C． D．

6．已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于A、B两点，若是等腰三角形，且，则的周长为（       ）

A． B． C． D．

7．过双曲线的右支上的一点分别向圆：和圆：()作切线，切点分别为、，若的最小值为，则（       ）

A． B． C． D．

8．已知椭圆，双曲线为的焦点，为和的交点，若的内切圆的圆心的横坐标为2，和的离心率之积为，则的值为（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

9．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（       ）

A． B． C． D．

10．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（       ）

A． B． C． D．

11．如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（       ）

A． B． C． D．

12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，线段的长为5，若，那么的周长是（       ）

A．16 B．18 C．21 D．26

二、填空题

13．双曲线的右焦点到直线的距离为________．

14．已知，若圆经过双曲线的焦点，则______．

15．过抛物线上一点P(4，4)作两条直线PA，PB（点A,B在抛物线上），且它们的斜率之积为定值4，则直线AB恒过定点____.

16．已知双曲线C：的一个焦点是，则它的离心率为______．

17．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．

三、解答题

18．已知复数在复平面内对应的点为，且满足，点的轨迹为曲线.

（1）求的方程；

（2）设，，若过的直线与交于，两点，且直线与交于点.证明：

（i）点在定直线上；

（ii）若直线与交于点，则.

19．已知双曲线方程为1，F1，F2为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足·0，|PF1||PF2|＝6．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)过点F2作直线交双曲线于A、B两点，则在x轴上是否存在定点Q(m，0)使得为定值，若存在，请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由．

20．双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线的一条准线方程为．

（1）求双曲线的方程；

（2）若双曲线的一弦中点为，求此弦所在的直线方程．

21．已知等轴双曲线C：(a>0，b>0)经过点(，).

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）已知点B(0，1).

①过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值；

②点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点，为定值，求点A的坐标及实数的值.

参考答案：

1．A

根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.

【详解】

，，根据双曲线的定义可得，

，即，

，，

，即，解得，

故选：A.

本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.

2．C

运用点差法得到得解

【详解】

设，则，

相减得，，所以，

即，所以，．由题意设抛物线方程是，则．于是所求抛物线方程是．

故选：C．

3．B

因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.

【详解】

双曲线的渐近线方程是

直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点

不妨设为在第一象限，在第四象限

联立，解得

故

联立，解得

故

面积为：

双曲线

其焦距为

当且仅当取等号

的焦距的最小值：

故选：B.

本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

4．A

设，则，将、用表示，即可求得该双曲线的离心率.

【详解】

由题意知，

在中，，可设，则，

由勾股定理可得，

又由得，所以，.

故选：A.

5．A

首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.

【详解】

由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，

结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.

故选：A.

6．A

设，．根据双曲线的定义和等腰三角形可得，再利用余弦定理可求得，从而可得的周长.

【详解】

由双曲线可得．

设，．则，，

所以，．

因为是等腰三角形，且，

所以，即，所以，

所以，，

在中，由余弦定理得，

即，

所以，解得，

的周长

．

故选：A．

关键点点睛：根据双曲线的定义求解是解题关键.

7．A

求得两圆的圆心和半径，则双曲线的左右焦点为，，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．

【详解】

设、是双曲线的左、右焦点，也是、的圆心，

∴

，

显然其最小值为，.

故选：A.

8．C

设点在第一象限内，的内切圆与边的切点分别为，双曲线的焦距为，可得，结合双曲线的定义，可得，即可求出，由和的离心率之积为，分别求出两个曲线的离心率的表达式，可建立等式关系，进而可求出的值.

【详解】

不妨设点在第一象限内，的内切圆与边的切点分别为，双曲线的焦距为.

则，

因为点在双曲线上，所以，则，

又因为和的离心率之积为，而椭圆的离心率，双曲线的离心率为，

所以，

解得.

故选：C.

关键点点睛：本题考查椭圆、双曲线的性质，解题的关键是根据和的离心率之积为，建立等式关系.本题中根据的内切圆的圆心的横坐标，可建立等式关系，得到4，可求出的值，再分别表示出和的离心率，由两个离心率之积为，可求出的值.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.

9．A

根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.

【详解】

因为，由双曲线的定义可得，

所以，；

因为,由余弦定理可得，

整理可得，所以，即.

故选：A

关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.

10．D

由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．

【详解】

由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，

又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．

故选：．

本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．

11．B

令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.

【详解】

如图，令双曲线E的左焦点为，连接，

由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，

设，则，，，

在中，，解得或m＝0（舍去），

从而有，中，，整理得，，

所以双曲线E的离心率为．

故选：B

12．D

根据双曲线定义知，，，结合，从而计算出的周长的值.

【详解】

∵，，

∴，

∴，

∴的周长为．

故选：D

13．

先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.

【详解】

由已知，，所以双曲线的右焦点为，

所以右焦点到直线的距离为.

故答案为：

14．

求双曲线的焦点，代入圆的方程，即可求得的值.

【详解】

双曲线的焦点坐标是，代入圆的方程，

得，，，

解得：.

故答案为：

15．

设出点A和点B坐标，表示出直线PA，PB的斜率，利用斜率之积等于4，得到坐标之间的关系，然后表示出直线AB，找到直线AB恒过的定点.

【详解】

设A，B，则kPA=，

同理，kPB=，kAB=.

因为kPA·kPB=4，所以·=4，

所以y1y2+4(y1+y2)+12=0.

所以y1y2=-12-4(y1+y2).

直线AB的方程为y-y1=，

即(y1+y2)y-y1y2=4x.

将y1y2=-12 -4(y1+y2)代入上式得:

(y1+y2)(y+4)=4(x-3)，所以直线AB恒过定点(3,-4).

故答案为：(3,-4).

16．##

根据题意求出即可得出离心率.

【详解】

由题可得，所以，

所以离心率.

故答案为：.

17．2.

通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率.

【详解】

如图，

由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，

又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．

本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．

18．（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

（1）根据复数模的计算公式，由题中条件，得到，再由双曲线的定义，即可得出结果；

（2）（i）设直线的方程为，，，其中，，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理，得到，，表示出直线与的方程，两直线方程联立，求出交点横坐标为定值，即可证明结论成立；

（ii）先同理得到点也在定直线上，设，， 代入（i）中直线与的方程，得出，再计算，即证结论成立.

【详解】

（1）由题意可知：，

所以点到点与到点的距离之差为2，且，

所以动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，

设其方程为，其中，，

所以，，

所以，所以曲线的方程为.

（2）（i）设直线的方程为，，，其中，.

联立，消去，可得，

由题意知且，

所以，.

直线：，直线：①，

由于点在曲线上，可知，所以，

所以直线：②.

联立①②，消去可得，

即，

所以，

所以，所以，

所以点在定直线上.

（ii）由题意，与（i）同理可证点也在定直线上.

设，，

由于在直线：上，在直线：上，

所以，，

所以

，

又因为，，

所以，所以.

思路点睛：

求解圆锥曲线中动点在定直线上的问题时，一般需要根据题中条件，设出所需直线方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及题中条件，求出动点的坐标满足的关系时，从而可确定结果（一般得到动点横坐标或纵坐标为定值）.

19．(1)x21

(2)存在，m＝﹣1，定值为0

（1）由离心率得，从而得，再由数量积为0得垂直，利用勾股定理得的关系式，从而求得得双曲线方程；

（2）直线斜率为0时，直接求出坐标，计算出数量积，当l的斜率不为0时，设l：x＝ty+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程代入双曲线方程，应用韦达定理得，代入，由它为定值求得值，得结论．

(1)

由题意可得e2，可得c＝2a，b2＝c2﹣a2＝3a2，

所以ba，

又因为·0，|PF1||PF2|＝6．所以,

由|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以可得|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|＝4a2，

而|PF1|2+|PF2|2＝4c2，

所以4c2﹣12＝4a2，

可得b2＝3，a2＝1，

所以双曲线的方程为：x21；

(2)

由(1)可得F2(2，0)，

当直线l的斜率为0时，l：y＝0，此时A(﹣1，0)，B(1，0)，

由M(m，0)，则·m2﹣1，

当l的斜率不为0时，设l：x＝ty+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立，整理可得：(3t2﹣1)y2+12ty+9＝0，

因为t2，y1+y2，y1y2，

因为·(x1﹣m，y1)·(x2﹣m，y2)＝(ty1+2﹣m)(ty2+2﹣m)+y1y2＝(t2+1)y1y2+(2﹣m)t(y1+y2)+(2﹣m)2

＝(t2+1)·(2﹣m)t·(2﹣m)2

(2﹣m)2，

要使•为定值，则，解得m＝﹣1，则，

所以Q(﹣1，0)．定值为0．

20．（1）；（2）.

（1）求出椭圆焦点坐标，得双曲线的半焦距，再由准线方程求得，从而可得，然后可得双曲线方程．

（2）设弦的两端分别为，，代入双曲线方程相减利用中点坐标可求得弦所在直线斜率，从而得直线方程．

【详解】

∵椭圆的焦点为，   ∴

∵一条准线方程为，，解得，∴，

∴双曲线的方程为．

（2）设弦的两端分别为，．则有：

．

∵弦中点为，∴．

故直线的斜率．

则所求直线方程为：．

思路点睛：本题考查双曲线的中点弦方程，解题方法是点差法，已知圆锥曲线的弦的中点坐标，可设弦两端点坐标为，代入圆锥曲线方程相减，结合中点坐标得出弦所在直线的斜率，从而可得直线方程．注意椭圆、抛物线的弦中点需在曲线内部，双曲线的弦中点只要不在双曲线即可．

21．（1）；（2）①；②或者.

（1）由题意，代入已知点建立方程，解之可得双曲线的标准方程.

（2）①由对称性可设，且，运用向量数量积的坐标运算表示，又由可得，由此可得最小时，的值.

②设过点的动直线为：设与双曲线的方程联立得，根据根的判别式和根与系数的关系可求得且，由直线的斜率公式得，再由恒等式的思想可求得点A的坐标及实数的值.

【详解】

解：（1）由题意，且解得，

所以双曲线的标准方程为

（2）①由对称性可设，且，则，

因为点在双曲线上，所以，所以，所以，

当时，为直角，

当吋，为钝角.

因此，最小时，.

②设过点的动直线为：

设联立得，

所以，由且，解得且，

，即即，

化简得，

所以，

化简得，

由于上式对无穷多个不同的实数都成立，

所以

如果那么此时不在双曲线上，舍去.

因此从而代入解得.

此时在双曲线上.

综上，或者.

关键点点睛：本题考查直线与双曲线位置关系之定值问题，属于较难题，关键在于将直线与双曲线的方程联立，得出根与系数的关系，继而将目标条件转化到曲线上的点的坐标上去.