人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式练习

人教A版（2019）选择性必修第一册 2.3 直线的交点坐标与距离公式

一、单选题

1．已知点，，点在轴上，则的最小值为（       ）

A．6 B． C． D．

2．若与的图形有两个交点，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．或

3．在平面直角坐标系中，已知点满足，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为（       ）

A． B． C． D．

5．已知直线与直线和的距离相等，则的方程是（       ）

A． B．

C． D．

6．已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

7．直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（       ）

A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9

8．若直线与直线平行，则它们之间的距离为（       ）

A． B． C． D．

9．若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（       ）

A． B．或 C． D．或

10．已知点，，动点P在直线上，则的最小值是（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

11．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（       ）

A． B． C． D．

12．到，的距离相等的动点P满足的方程是（       ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．在平面直角坐标系中，定义，两点的折线距离.设点，，，，若，则的取值范围___________.

14．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离为，则l1的方程为________．

15．在函数的图象上求一点，使到直线的距离最短，则点的坐标为__________.

16．直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的方程为_________.

三、解答题

17．已知直线和，两点，若直线l上存在点P使得最小，求点P的坐标．

18．在中，已知是边上一点，边，所在直线的方程分别为，.

（1）若，求直线的方程；

（2）若，求直线在轴上的截距.

19．三条直线，与相交于一点，求a的值．

20．若过点P的两直线，斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”.

（1）若直线，是一组“共轭线对”，当两直线夹角最小时，求两直线倾斜角；

（2）若点，，分别是直线，，上的点（A，B，C，P，Q，R均不重合），且直线，是一组“共轭线对”，直线，是一组“共轭线对”，直线，是一组“共轭线对”，求点P的坐标；

（3）若直线，是一组“共轭线对”，其中点，当两直线旋转时，求原点到两直线距离之积的取值范围.

21．在中，已知顶点，AB边上的中线所在直线方程为，内角的平分线所在直线方程为．

（1）求点B的坐标；

（2）求直线BC的方程．

参考答案：

1．B

利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可.

【详解】

点，，点在轴上，

点关系轴的对称点为，

.

故选：B.

2．A

根据题意，可知表示关于轴对称的两条射线，表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，画出图形，分析判断即可求出的取值范围.

【详解】

解：表示关于轴对称的两条射线，

表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，

根据题意，画出大致图形，如下图，

若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知．

故选：A．

本题考查由两直线的交点个数从而求参数范围，考查直线的斜率和截距，以及直线的方程和图象，考查数形结合思想.

3．C

根据直线过定点确定出对于给定的一点，取最大值时且，然后根据点为正方形上任意一点求解出，由此可知.

【详解】

直线过定点，

对于任意确定的点，

当时，此时，

当不垂直时，过点作，此时，如图所示：

因为，所以，所以，

由上可知：当确定时，即为，且此时；

又因为在如图所示的正方形上运动，所以，

当取最大值时，点与重合，此时，

所以，

故选：C.

关键点点睛：解答本题的关键在于利用图像分析取最大值时与直线的位置关系，通过位置关系的分析可将问题转化为点到点的距离问题，根据图像可直观求解.

4．B

根据中点坐标公式求解出中点的坐标，结合两点间距离公式求解出边上中线的长.

【详解】

设边的中点为.

因为，，所以，，

即，所以，

故选：B.

5．D

设所求直线方程为：，根据该直线与和的距离相等，建立方程求解可得选项.

【详解】

设所求直线l方程为：，

因为直线l与；距离相等，所以，解得，

所以所求直线方程为：，

故选：D.

6．C

根据题意知A、B两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．

【详解】

根据题意，若直线l：kx﹣y﹣1＝0与线段AB相交，

则A、B在直线的异侧或在直线上，

则有（2k﹣2﹣1）×（﹣k﹣3﹣1）≤0，

即（2k﹣3）（k+4）≥0，解得k≤﹣4或k≥，

即k的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．

故选C．

本题考查直线与线段AB相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．

7．C

设直线上的点关于点的对称点的坐标为，求出，，再代入直线中即可得到对称直线的方程.

【详解】

设直线上的点关于点的对称点的坐标为，

所以，，所以，，

将其代入直线中，得到，化简得，

故选：C．

本题主要考查的知识要点：直线的方程和中点坐标公式，属于基础题.

8．C

根据两条直线平行可得，求出，再利用两平行线之间的距离即可求解.

【详解】

直线与直线平行，

则，且，

求得，两直线即为直线与直线，

它们之间的距离为，

故选：C．

9．C

根据平行关系得出或，再由距离公式得出满足条件.

【详解】

∵，∴，解得或

当时，当时

故选：C

10．C

求得关于直线的对称点，利用两点间的距离公式求得的最小值.

【详解】

关于直线的对称点的坐标为，

则，

则的最小值是.

故选：C

11．D

先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解.

【详解】

如图，设关于直线对称的点为，

则有 ，可得，可得，

依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，

此时，

故选：D.

12．B

设点，利用，整理化简后可的点P满足的方程.

【详解】

设，

因为点P到，的距离相等，

则

即，

化简整理得：．

故选：B

本题主要考查了求点的轨迹方程，涉及两点间距离公式，属于基础题.

13．

由新定义得出的关系，得出的表达式，然后根据绝对值的性质，用换元法求得范围．

【详解】

由题意，设，，

所以，

当时，，

，，，

时，，

，，，

综上，，

故答案为：，

关键点点睛：本题考查距离新定义，解题关键是由新定义化问题为绝对值的问题，利用换元法转化为三角函数问题，结合绝对值的性质分类讨论可得．

14．x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0

根据两直线平行时，直线方程的特点，结合平行线距离公式进行求解即可.

【详解】

设l1的方程为x＋y＋C＝0(C≠－1)，由题意得＝，得C＝1或C＝－3，故所求的直线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.

故答案为：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0

15．

设点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合二次函数的基本性质可求得点的坐标.

【详解】

设点的坐标为，则点到直线的距离为，

当时，即当时，取最小值，因此，点的坐标为.

故答案为：.

本题考查抛物线上到直线距离最小的点的坐标的求解，考查点到直线的距离公式和二次函数的基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.

16．

先设一个交点，再表示另一个交点，接着联立方程求出交点坐标，最后求直线方程.

【详解】

设直线l与的交点为，直线l与的交点为B.由已知条件，得直线l与的交点为.

联立

即解得即.

所以直线l的方程为，即.

故答案为：

本题考查中点坐标公式，直线的交点，直线的方程，是中档题.

17．

先判断两点是在直线同侧还是异侧，再求关于直线的对称点得解

【详解】

因为，所以在直线同侧，设点关于直线对称的点坐标为，则，即，

可知，即三点共线时，最小，连接交直线于点，点即为所求，直线方程，联立求得P点坐标.

18．（1）；（2）.

（1）由直线方程得交点的坐标，由，可得直线斜率，写出点斜式方程整理即得；

（2）题意说明是中点，设，由中点坐标得出点坐标，代入相应的直线方程可求得，从而可得直线方程，求得其中轴上截距．

【详解】

解：（1）由解得，即，

又，所以，

由题意知为边长的高，

所以，为边上一点，

所以：，

所以直线的方程为.

（2）设点的坐标为，由题意知为的中点，

得点的坐标为，又点与点分别在直线和上，

所以，解得，

所以点的坐标为，，方程，即.

所以直线在轴上的截距为.

关键点点睛：本题考查直线的位置关系，考查中点坐标公式．

（1）斜率存在的两条直线，，；

（2）的中点是．

19．a＝﹣1

联立直线4x+3y＝10与2x﹣y＝10，求出交点坐标，再代入直线ax+2y+8＝0，即可求得a的值．

【详解】

解：解方程组，得，

∴交点坐标为：（4，﹣2），

代入直线ax+2y+8＝0，得4a﹣4+8＝0，

∴a＝﹣1．

20．（1）；（2）或；（3）

（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，

不妨设，利用两角差的正切公式计算，利用基本不等式求得最值；

（2）设直线，，的斜率分别为，可得，可解出的值，进一步求得直线和直线的方程，联立得点P的坐标；

（3）设，，设原点到两直线距离分别为，求出，然后变形利用基本不等式求解．

【详解】

解：（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，

不妨设，

则，当且仅当时等号成立，

此时，，

即两直线倾斜角分别为；

（2）设直线，，的斜率分别为，

则，解得或，

当时，

直线的方程为，直线的方程为，

联立得，

当时，

直线的方程为，直线的方程为，

联立得，

故所求为或；

（3）设，

设原点到两直线距离分别为，

则

，

由于，当且仅当时等号成立，

故，，

即原点到两直线距离之积的取值范围为．

方法点睛： “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．

21．（1）；（2）．

由点B在直线上，设，利用中点坐标公式可得：AB中点D的坐标，根据AB边上的中线所在直线方程为知，点D在直线上，解得m．

设点与点关于直线对称，可得，解得a，由直线为内角的平分线所在直线，知点E在直线BC上．即可得出．

【详解】

解：由内角的平分线所在直线方程为知，

点B在直线上，

设，

则AB中点D的坐标为．

由AB边上的中线所在直线方程为知，

点D在直线上，

，解得．

点B的坐标为．

设点与点关于直线对称，

则，

，解得．

点E的坐标为．

由直线为内角的平分线所在直线，知点E在直线BC上．

直线BC方程为，即．