高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程练习

人教A版（2019）选择性必修第一册 2.2 直线的方程 同步练习

一、单选题

1．“若一条直线的斜率为”是“此直线的倾斜角为”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．若直线与直线互相垂直，则实数的值（       ）

A． B．1 C． D．2

3．直线在两坐标轴上的截距之和为（       ）

A． B． C． D．

4．过点且倾斜角为的直线方程为（       ）

A． B． C． D．

5．过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为（       ）

A．y＝－x＋3 B．y＝x－3

C．y＝x＋3 D．y＝－x－3

6．若点在直线l上，则直线l的一个方向向量为（       ）

A． B． C． D．

7．直线在轴上的截距是（       ）

A．1 B． C． D．

8．直线的倾斜角的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

9．下列说法正确的是（）

A．截距相等的直线都可以用方程表示

B．方程不能表示平行轴的直线

C．经过点，倾斜角为的直线方程为

D．经过两点，的直线方程为

10．经过点，且方向向量为的直线方程是（       ）

A． B．

C． D．

11．已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（       ）

A．2 B．4 C．8 D．6

12．直线与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知直线l经过点，且点A是直线l被两坐标轴截得的线段中点，则直线l的方程为_____．

14．已知两点，，则线段的垂直平分线方程为__________．

15．直线l被两条直线和截得的线段的中点为，则直线l的方程为_________.

16．直线与直线平行，则两直线间的距离为______.

17．已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程______．

三、解答题

18．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.

（1）斜率是，且经过点；

（2）斜率为4，在轴上的截距为－2；

（3）经过，两点；

（4）在轴、轴上的截距分别是－3，－1.

19．求倾斜角为直线的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程：

（1）经过点；

（2）在轴上的截距为．

20．求经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．

21．已知直线过点（2，3），且在轴上的截距是在轴上截距的2倍，求直线的方程.

参考答案：

1．D

若一条直线的斜率为但不一定在，而直线时，直线斜率不存在，根据充分必要条件的定义，可得出结论.

【详解】

若一条直线的斜率为，

则此直线的倾斜角为，

且；若一条直线的倾斜角为，

则此直线的斜率不一定为，

如时，不存在，

综上：“若一条直线的斜率为”是“此直线的倾斜角为”

的既不充分也不必要条件.

故选：D.

本题考查充分必要条件的判断，注意直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题.

2．B

根据两直线垂直的公式，即可计算结果.

【详解】

因为两条直线互相垂直，则，得.

故选：B

3．D

将方程化为截距式方程，利用截距式的特征求解即可.

【详解】

将方程化为截距式得，

从而可知直线在x轴，y轴上的截距分别为，

故截距之和为．

故选：D

本题主要考查直线的截距式方程的特征及应用，属于基础题.

4．B

求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程，化简即可.

【详解】

所求直线的斜率为，因此，所求直线的方程为，即.

故选：B.

5．C

直接代入两点式方程，可求.

【详解】

代入两点式得直线方程＝，整理得y＝x＋3，

故选：C．

6．A

利用点的坐标求出，进而可得直线l的一个方向向量.

【详解】

因为，所以；

因为，所以是直线l的一个方向向量.

故选：A.

7．C

令，即可求出.

【详解】

因为当时，，

所以直线在轴上的截距是.

故选：C.

8．D

利用直线方程求出直线的斜率，通过斜率的范围，得到倾斜角的正切值的范围，求出α的范围．

【详解】

设直线的斜率为，倾斜角为，则 ，∴，即

∴倾斜角的取值范围是．

故选：D

本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查学生计算能力，属于基础题．

9．D

横纵截距都为的直线不可以用方程表示，可判断选项A，当时，方程

表示的是平行轴的直线，可判断选项B，倾斜角的直线方程不能写成，可判断选项C，，直线的斜率存在，可以用点斜式表示，可判断选项D，进而可得正确答案.

【详解】

对于选项A：横纵截距都为的直线不可以用方程表示，故选项A不正确；

对于选项B：当时，方程表示的是平行轴的直线，故选项B不正确；

对于选项C：当倾斜角时，无意义，斜率不存在，直线方程不能写成，故选项C不正确；

对于选项D：因为，所以直线的斜率存在，且斜率为，因此直线的方程可以写成，故选项D正确.

故选：D

10．A

由直线方向向量可得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.

【详解】

直线的方向向量为，直线的斜率，

直线的方程为，即.

故选：A.

11．B

先将直线方程变形得到定点的坐标，根据点在直线上确定出所满足的关系，最后根据“”的妙用求解出的最小值.

【详解】

已知直线整理得：，

直线恒过定点，即.

点也在直线上，

所以，整理得：，

由于，均为正数，则,

取等号时，即，

故选：B.

方法点睛：已知，求的最小值的方法：

将变形为，将其展开可得，然后利用基本不等式可求最小值，即，取等号时.

12．C

令，可得；令，可得，可得，，解出即可．

【详解】

解：令，可得；令，可得，

，，

解得，且．

故选：．

本题考查了直线的截距意义、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于基础题．

13．

设直线l与两坐标轴的交点为，，再根据点A是直线l被两坐标轴截得的线段中点求解.

【详解】

设直线l与两坐标轴的交点为，，

由题意知，

，．

直线l的方程为，

即..

本题主要考查直线方程的求法，属于基础题.

14．

先由两点坐标求出线段中点坐标，再由斜率公式以及垂直关系，得到所求直线的斜率，根据点斜式，即可得出直线方程.

【详解】

因为，的中点坐标为，即；

又，

所以线段的垂直平分线所在直线的斜率为，

因此所求直线方程为，即.

故答案为：.

15．

先设一个交点，再表示另一个交点，接着联立方程求出交点坐标，最后求直线方程.

【详解】

设直线l与的交点为，直线l与的交点为B.由已知条件，得直线l与的交点为.

联立

即解得即.

所以直线l的方程为，即.

故答案为：

本题考查中点坐标公式，直线的交点，直线的方程，是中档题.

16．

直接利用两直线平行的充要条件的应用和平行线间的距离公式的应用求出结果．

【详解】

解：直线与直线平行，

则，即，

解得或．

当时，两直线重合，

故，两直线方程可化为：与

所以两平行线间的距离

故答案为

本题考查的知识要点：直线平行的充要条件的应用，两平行线间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

17．或

直线在两坐标轴上的截距相等，有两种情况，斜率为，或直线过原点，结合直线过点即可求解，有两种情况

【详解】

因为直线与坐标轴的截距相等，则直线的斜率为，或直线过原点，当直线斜率为时，因为直线过点，根据点斜式，直线方程为：，化简得：；

当直线过原点时，，所以直线方程为

故答案为：或

18．（1）；（2）；（3）；（4）.

（1）利用直线的点斜式方程结合一般是方程即可得出答案；

（2）根据直线的斜截式方程结合一般是方程即可得出答案；

（3）利用直线的两点式方程结合一般是方程即可得出答案；

（4）根据直线的截距式方程结合一般是方程即可得出答案；

【详解】

解：（1）由点斜式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为.

（2）由斜截式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为.

（3）由两点式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为.

（4）由截距式方程，可知所求直线的方程为，化为一般式方程为.

19．（1）；（2）.

（1）由题意可得的倾斜角为，可得所求直线倾斜角为，斜率为1，代入直线的点斜式方程，即可得答案；

（2）由题意，代入直线的斜截式方程，化简整理，即可得答案.

【详解】

由于直线的斜率为，且倾斜角，所以其倾斜角为．

由题意知所求直线的倾斜角为，所求直线的斜率．

（1）由于直线经过点，由直线的点斜式方程得，即．

（2）由于直线在轴上的截距为，由直线的斜截式方程得，即．

20．或

讨论截距为不为0,分别求出直线即可.

【详解】

（1）当截距为0时：直线为。

（2）当截距不为0时，设截距为,则直线为，将代入解得，

所以直线为.

综上所述：直线为或.

21．或

方法一：当在两坐标轴上的截距不为0时，设直线的截距式方程为，代入可求得直线方程；当在两坐标轴上的截距均为0时，即过原点，由此可求得直线的方程.

方法二：设直线的方程为，.由已知建立方程，解之可求得直线的方程.

【详解】

解：方法一：当在两坐标轴上的截距不为0时，设其在轴上的截距为，则的方程为，

将点（2，3）代入该方程，解得，所以的方程为.

当在两坐标轴上的截距均为0时，即过原点，满足题意，此时的方程为，即.

综上，直线的方程为或.

方法二：易知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，.

令，得，令，得.

由，即，解得或，

所以直线的方程为或.