高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用课时练习

人教A版（2019）选择性必修第一册 1.4 空间向量的应用 同步练习

一、单选题

1．已知平面α的一个法向量是，，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（       ）

A． B． C． D．

2．已知直线的方向向量为,平面的法向量为,则“”是“∥”的(       )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．在棱长为的正方体中，是的中点，则点到平面的距离是（　　）

A． B． C． D．

4．已知平面内的两个向量，且．若为平面的法向量，则的值分别为（       ）

A． B． C．1，2 D．

5．正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的正弦为（       ）

A． B． C． D．

6．如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折成.在翻折过程中，直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为（       ）

A． B． C． D．

7．如图所示，正方体的棱长为，，分别为和上的点，且，则与平面的位置关系是（       ）．

A．斜交 B．平行

C．垂直 D．不能确定

8．平行六面体的各棱长均相等，，，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

9．将边长为的正方形及其内部)绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧，则直线与平面所成的角的正弦值为（   ）

A． B． C． D．

10．若O为坐标原点， ＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　)

A． B．

C． D．

11．如图所示，在直三棱柱中，，且，，，点在棱上，且三棱锥的体积为，则直线与平面所成角的正弦值等于（       ）

A． B． C． D．

12．已知经过点，法向量为的平面方程为，现给出平面的方程为，平面的方程为，则平面、成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．在三棱柱中，，，，则该三棱柱的高为______．

14．在正方体中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当__________时，平面．

15．在正方体中，二面角的余弦值为______．

16．如图，在正方体中，点为线段上的动点，分别为棱的中点，若平面，则_______．

17．在正方体中，直线与平面所成角的大小为__________．

三、解答题

18．如图所示，四棱柱的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点，分别在棱，上，且满足，，平面与平面的交线为.

（1）证明：直线平面；

（2）已知，，设与平面所成的角为，求的取值范围.

19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，为的中点，为的中点．

(1)求证：平面平面；

(2)若，求二面角的余弦值．

20．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，CDAB，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4，侧面PAD⊥面ABCD，PA=PD=2.

(1)求证：BD⊥PA；

(2)已知平面PAD与平面PBC的交线为l，在l上是否存在点N，使二面角P-DC-N的余弦值为？若存在，请确定N点位置，若不存在，请说明理由.

21．如图，六面体中，面且面，，，.

（1）求证：平面；

（2）若二面角的余弦值为，求点到面的距离.

参考答案：

1．D

两个平面平行，其法向量也平行，即可判断各选项.

【详解】

平面α的一个法向量是，，

设平面的法向量为，

则，

对比四个选项可知，只有D符合要求，

故选：D.

本题考查了平面法向量的性质，两个平面法向量的关系，空间向量平行的坐标关系，属于基础题.

2．B

根据线面平行的定义结合充分必要条件的定义判断,即可求得答案.

【详解】

,即,不一定有∥,也可能

“”是“∥”的不充分条件

∥,可以推出,

“”是“∥”是必要条件,

综上所述, “”是“∥”必要不充分条件.

故选:B.

本题主要考查了判断必要不充分条件,解题关键是掌握充分条件和必要条件的定义,属于中档题.

3．A

以为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系，通过点面距离公式，计算点到平面的距离.

【详解】

以为空间直角坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系.由于是中点，故，且，设是平面的法向量，故，故可设，故到平面的距离.故选A.

本小题主要考查利用空间向量计算点到面的距离.计算过程中要先求得平面的法向量.属于基础题.

4．A

由空间向量线性关系的坐标运算求坐标，再根据为平面的法向量有，即可求.

【详解】

．

由为平面的法向量，得，即，解得．

故选：A

5．C

建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标及平面平面PEF的法向量，代入即可得解.

【详解】

以点P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

设，则，

，

设平面PEF的法向量，

则，取得，

设平面与平面所成角为，则

故选：C

本题考查线面角的求法，建立适当坐标系用空间向量法进行求解，属于基础题.

6．A

分别取DE，DC的中点O，F，点A的轨迹是以AF为直径的圆，以为轴，过与平面垂直的直线为轴建立坐标系，利用向量法求出正弦值为，换元后利用基本不等式可得答案.

【详解】

分别取DE，DC的中点O，F，则点A的轨迹是以AF为直径的圆，

以为轴，过与平面垂直的直线为轴建立坐标系，

则，平面ABCD的其中一个法向量为= (0,0.1)，

由，设，则，

记直线与平面ABCD所成角为，

则

设，

所以直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为，

故选：A.

本题主要考查利用向量法求线面角，考查了三角函数的恒的变换以及基本不等式的应用，考查了空间想象能力与计算能力，属于综合题.

7．B

设，，，由空间向量的线性运算可得到，由此证得与，共面，可知平面，进而得到结论.

【详解】

设，，，

由题意知：，又，

，，

则，

与，共面，

平面，又平面平面，平面．

故选：B.

8．B

利用基底向量表示出向量，，即可根据向量的夹角公式求出．

【详解】

如图所示：不妨设棱长为1，

，，

所以＝＝，

，，

即，故异面直线与所成角的余弦值为．

故选：B．

9．B

建立合适的空间直角坐标系，写出所需点的坐标，然后在直角三角形中求解即可．

【详解】

解：以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，

则，

又点到平面的距离为1，

故直线与平面所成的角的正弦值为．

故选：B．

10．D

先求出的坐标，再利用三角形减法法则求的坐标，再求||即得解.

【详解】

由题意＝ (＋)＝，＝－＝，||＝.

故答案为D

本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的三角形法则和平行四边形法则，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

11．C

利用锥体的体积公式可求得，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】

由已知得底面，且，

所以，解得.

如图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、、、，

则，，.

设平面的法向量为，

则由可得，即，得，令，得，

所以为平面的一个法向量.

设直线与平面所成的角为，

则.

故选：C.

方法点睛：求直线与平面所成角的方法：

（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；

②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；

③求，利用解三角形的知识求角；

（2）向量法，（其中为平面的斜线，为平面的法向量，为斜线与平面所成的角）.

12．B

根据经过点，法向量为的平面方程为的定义，分别求得平面、的法向量，由求解.

【详解】

平面过点，则平面的方程为，

其法向量为，

，

平面过点，则平面的方程为，

其法向量为，

，

设平面、成角的平面角为，则，

故选：B.

方法点睛：求二面角的向量方法：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

13．2

三棱柱的高即为到平面的距离，利用点到平面距离的空间向量求法可求得结果.

【详解】

由题意知：

该三棱柱的高即点到平面的距离

设是平面的一个法向量

则，令，解得：，       

故答案为：2

本题考查空间向量法求解点到平面的距离问题，关键是能够将三棱柱高的求解问题成功转化为点到面的距离的求解问题.

14．

首先如图建立空间直角坐标系，利用垂直关系，转化为坐标运算求解.

【详解】

如图，建立空间直角坐标系，设棱长为，，，，

，，，，

若平面，则，即，

解得：，

所以

故答案为：

15．##

建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】

以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方体棱长为1，则，，，，，，，．

设平面和平面的法向量分别为和，

则，取，得，

，取，得，

则，

显然二面角是钝二面角，所以其余弦值为．

故答案为：

16．

以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体边长为2,用向量法求解.

【详解】

如图所示,以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.

设正方体边长为2,可得

设，可得可得,可得.

设平面的一个法向量，则有，即

不妨令x=-2，则.

因为平面，所以，

解得：，即.

故答案为：.

17．##

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的大小.

【详解】

解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则、、、，

，，设平面的法向量为，

由，取，可得，

，，

因此，直线与平面所成角的大小为.

故答案为：.

18．（1）证明见解析；（2）.

（1）连接，与交于点，根据题中条件，由线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；

（2）以为坐标原点，分别以，的方向为，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，得到是平面的一个法向量，再得到，根据向量夹角公式，即可求出线面角的正弦值.

【详解】

（1）如图，连接，与交于点.

由条件可知，且，所以，

因为平面，所以平面.

因为平面平面，所以.

因为四棱柱的底面是菱形，且侧棱垂直于底面，

所以，，

又，所以平面，

所以平面.

（2）如图所示，以为坐标原点，分别以，的方向为，轴的正方向建立空间直角坐标系.

设，因为，所以.

则，.

所以，，.

由（1）可知是平面的一个法向量，

而，

所以，

当时，，

即.

方法点睛：

求空间角的常用方法：

（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；

（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.

19．(1)证明见解析

(2)

（1）通过证明和得平面，再利用面面垂直判定定理求解；

（2）建立空间直角坐标系求两个平面的法向量代入二面角公式求解.

(1)

因为底面是菱形，，所以△为等边三角形，

所以平分，所以，

所以，

又因为平面，所以，且，

所以平面，又平面，

所以平面平面；

(2)

据题意，建立空间直角坐标系如图所示：

因为，所以

所以，

设平面一个法向量为，平面一个法向量为，

因为，，

所以，取，所以，所以，

又因为，，

所以，取，则，所以，

所以，

由图形知，二面角为钝角，故二面角夹角的余弦值为．

20．(1)证明见解析

(2)存在，N为PM的中点

（1）先证明AD⊥BD，PE⊥BD，即可证明BD⊥平面PAD，从而BD⊥PA；

（2）建立坐标系，用向量法求解即可

(1)

取AD的中点E，连接PE，

CDAB，，

，

，

，

∴∠DBA=45°，

，

∴AD2+BD2=AB2，

∴AD⊥BD，

∴PA=PD，E是AD的中点，

∴PE⊥AD

∵平面PAD⊥半面ABCD，平面平面ABCD=AD，半面PAD，PE⊥AD，

∴PE⊥平面ABCD，

平面ABCD，

∴PE⊥BD

又平面PAD，平面PAD，

∴BD⊥平面PAD，又平面PAD

∴BD⊥PA.

(2)

延长BC，AD，设BC的延长线和AD的延长线交点为M，连接PM，

则平面PAD和平面PBC的交线l为直线PM，

以B为原点，以BM､BA､平面ABCD的过点B的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系B-xyz，

则，

，

设，

则，

设平面PCD的法向量为，则，，

即

令可得，

设平面CDN的法向量为，则，，

即，

令可得，

，

若二面角P-DC-N的余弦值，

则

解得：或，

令可得，解得，

故当时，二面角P-DC-N为锐二面角，

当时，二面角P-DC-N为钝二面角，

，即在直线l上存在点N，当N为PM的中点时，二面角P-DC-N的余弦值为.

21．（1）证明见解析；（2）.

（1）证明，，即可证明线面垂直；

（2）取中点，由题可知，且，所以四边形为平行四边形，所以，于是面，又为正三角形，所以，，两两垂直.以为坐标原点，，，分别为，，正半轴，建立空间直角坐标系，设，求出的值，再利用公式，即可得到答案；

【详解】

解：（1）证明：因为面且面，所以且，

于是，在面中，，同理，，所以，

又，所以，由面，知，

又因为，所以面.

（2）取中点，由题可知，且，

所以四边形为平行四边形，所以，

于是面，又为正三角形，所以，，两两垂直.

以为坐标原点，，，分别为，，正半轴，建立空间直角坐标系，

设，则，，，

，，，，

设面的法向量为，则有，

不妨设，得.

又与面垂直，故面的法向量不妨设为，

由，解得.

设面的法向量为，则有，

不妨设，得.

于是，点到面的距离.

本题考查线面垂直判定定理的应用，向量法求点到面的距离，考查运算求解能力和直观想象能力.