人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆随堂练习题

人教A版（2019）选择性必修第一册《3.1.2 椭圆的简单几何性质》提升训练

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）已知为坐标原点，椭圆的方程为，若，为椭圆的两个动点且，则的最小值是

A.  B.  C.  D.

2.（5分）已知为椭圆上一点，，为椭圆焦点，且，则椭圆离心率的范围是

A.  B.  C.  D.

3.（5分）曲线与曲线的

A. 短轴长相等 B. 长轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等

4.（5分）要使直线和椭圆相交，的取值应为

A.  B.  C.  D.

5.（5分）如图，“嫦娥三号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道和的焦距，用和分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：

①；②；③；④ 
 

其中正确式子的序号是 
 

A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④

6.（5分）椭圆右焦点的坐标为

A.  B.  C.  D.

7.（5分）已知椭圆的方程为，是它的一条倾斜角为的弦，且是弦的中点，则椭圆的离心率

A.  B.  C.  D.

8.（5分）定义直线：为椭圆的右准线，研究发现椭圆上任意一点到右焦点的距离与它到的距离之比为定值，已知椭圆，为椭圆内一点，点为椭圆上的动点，当取最小值时，点的坐标为

A.  B.  C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）如图，椭圆与公共的左顶点与左焦点，且椭圆的右顶点为椭圆的中心，设椭圆与的长半轴长为和，半焦距分别为和，离心率分别为，，则下列结论正确的是
 

A.  B.
C.  D.

10.（5分）设椭圆的两焦点为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率可以是   

A.  B.  C.  D.

11.（5分）设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是

A.
B. 离心率
C. 面积的最大值为
D. 以线段为直径的圆与直线相切

12.（5分）已知椭圆的焦距为，则

A. 椭圆的焦点在轴上 B.
C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆的短轴长为

13.（5分）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点离地面最近的点距地面千米，远地点离地面最远的点距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，则 
 
 

A.  B.
C.  D.

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）已知、分别为椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线若直线与直线的交点在椭圆上，则点的坐标为_________.

15.（5分）已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点异于左、右顶点，若存在以为半径的圆内切于，则椭圆的离心率的取值范围是______．

16.（5分）已知圆的方程为，是椭圆上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则的最小值是____________

17.（5分）椭圆与轴负半轴交于点为椭圆第一象限上的点，为坐标原点，直线交椭圆于另一点，椭圆左焦点为，连接交于点若，则椭圆的离心率等于__________.

18.（5分）已知椭圆的一个焦点是，则________.

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，，成等比数列．是椭圆上一点，设该椭圆的离心率为

求；

求证：；

若点不与椭圆顶点重合，作轴于，的平分线交轴于，试求的值．

20.（12分）已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点． 
证明：当取得最小值时，椭圆的短轴长为． 
若椭圆的焦距为，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由．

21.（12分）已知椭圆：的焦距是，长轴长为． 
求椭圆的方程； 
，是椭圆的左右顶点，过点作直线交椭圆于，两点，若的面积是面积的倍，求直线的方程．

22.（12分）已知椭圆：，，分别为的左、右焦点，离心率，为椭圆上任意一点，且的最小值为． 
求椭圆的标准方程：  
过的直线交椭圆于，两点，其中点关于轴的对称点为异于点，证明：所在直线恒过定点．

23.（12分）已知椭圆：左、右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，的面积为．  
求椭圆的标准方程；  
过点的直线交椭圆于、两点，当面积最大时，求直线的方程．

答案和解析

1.【答案】C;

【解析】解：设，， 
当直线，的斜率一条不存在，一条为零满足， 
此时 
， 
不妨设直线为， 
则， 
解得，， 
则， 
则直线为， 
则， 
解得，， 
则， 
分别令，， 
， 
，当且仅当时取等号， 
的最小值是； 
由于， 
的最小值是， 
故选：． 
设，，当直线，的斜率一条不存在，一条为零满足，此时求出，当两直线的斜率都存在时，不妨设直线为，直线为，分别与椭圆的方程联立方程，求出，，分别令，，继而得到，再根据基本不等式即可求出最值，比较即可得到答案 
该题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，基本不等式，考查计算能力，属于中档题
 

2.【答案】D;

【解析】解：为椭圆上一点，，为椭圆焦点，且， 
可得，， 
． 
椭圆离心率的范围是 
故选：． 
利用已知条件以及椭圆的性质，列出不等式求解即可． 
该题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
 

3.【答案】C;

【解析】解：对于曲线，，，焦距为：． 
曲线，，焦距为：． 
综合可知，两个曲线的焦距一定相等． 
故选：． 
先利用椭圆的性质可分别求得两个曲线的长，短轴的长、焦距，进而比较可推断出答案． 
这道题主要考查了圆锥曲线的共同特征，椭圆的简单性质．考查了学生对椭圆基础知识的掌握．
 

4.【答案】A;

【解析】 
此题主要考查椭圆与直线的位置关系，属于中档题. 
解题时要注意直线与圆锥曲线的位置关系的合理运用，联立方程，得，由求出结果. 
 
解：联立，得，  
直线和曲线有两个公共点，  
， 
整理，得 ， 
故选
 

5.【答案】B;

【解析】 
此题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力． 
根据图象可知，，，根据，，可知，然后判断即可. 
 
解：如图可知，， 
； 
①不正确， 
，， 
；②正确． 
 
可得， 
， 
即， 
，所以，③正确； 
可得，④不正确． 
故选 

 

6.【答案】A;

【解析】 
此题主要考查椭圆的标准方程与几何性质，属于基础题． 
利用椭圆的标准方程确定几何量，即可得到椭圆的右焦点的坐标． 
 
解：椭圆，， 
， 
 
椭圆的右焦点坐标为 
故选：． 

 

7.【答案】C;

【解析】 
此题主要考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，属于基础题． 
利用点差法，结合是弦的中点，直线倾斜角为，即可求出椭圆的离心率． 
 
解：设，，则，， 
是它的一条倾斜角为的弦，且是弦的中点， 
两式相减可得， 
， 
， 
． 
故选：．
 

8.【答案】B;

【解析】解：如图：由椭圆上任意一点到右焦点的距离与它到的距离之比为定值， 
过点作右准线的垂线，垂足为， 
当点，，在同一直线上时，此时取最小值， 
点的纵坐标为， 
， 
解得，或舍去， 
故点的坐标为， 
故选：． 
根据新定义结合图形，可得当取最小值时，点的纵坐标为，即可求出 
该题考查了椭圆的简单性质，考查了转化思想和数形结合的思想，属于中档题

 

9.【答案】ABD;

【解析】解：由题图知，，， 
所以，所以选项正确； 
由椭圆与有公共的左顶点和左焦点，且椭圆的右顶点为椭圆的中心， 
所以，所以正确； 
由正确，所以错误，即选项错误； 
由图知，； 
所以；； 
所以，所以选项正确． 
故选： 
根据题意和图形可得到，，再根据不等式的性质可得到，从而得出正确的选项． 
此题主要考查了椭圆的定义与简单几何性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
 

10.【答案】BD;

【解析】 
此题主要考查椭圆的定义及性质的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题． 
设，由余弦定理可得，整理可得，继而有，可得，即可得到结果． 
 
解：设， 
在中，由余弦定理可得：，整理得： 
所以，即，当且仅当时取等号． 
于是有，所以有，即 
故选
 

11.【答案】AD;

【解析】 
此题主要考查了椭圆的标准方程以及简单性质，属于基础题. 
由直线与椭圆的位置关系和椭圆的知识，逐项判断即可. 
 
解：对于选项，由椭圆的定义可知， 
所以选项正确 
 
对于选项，依题意，，， 
所以， 
所以选项错误： 
 
对于选项，， 
当为椭圆短轴顶点时，的面积取得最大值为， 
所以选项错误： 
 
对于选项，以线段为直径的圆圆心为，半径为， 
圆心到直线的距离为， 
也即圆心到直线的距离等于半径， 
所以以线段为直径的圆与直线相切， 
所以选项正确. 
 
故选：
 

12.【答案】BCD;

【解析】解：由已知椭圆可得：焦点在轴上，故错误； 
，， 
则，又椭圆的焦距为， 
所以，则，所以正确； 
所以椭圆的方程为：，且，， 
椭圆的离心率为，故正确； 
椭圆的短轴长为，故正确； 
故选： 
由已知椭圆方程即可求出的值，进而可以求出，，的值，从而可以判断选项是否正确． 
此题主要考查了椭圆的方程以及性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

13.【答案】ABD;

【解析】 
此题主要考查椭圆的性质和几何意义以应用题形式考查知识点，难度不大，属于基础题. 
由椭圆的性质逐项进行判断. 
 
解：由题意可知，， 
可得，所以正确 
，所以正确 
则，所以错误； 
可得， 
则 
 
则所以正确. 
故选 

 

14.【答案】;

【解析】 
设出的坐标，求出直线和的方程，联立解出的坐标，代入椭圆方程，结合的坐标满足椭圆方程，联立解得的坐标. 
 
解：设，则，， 
联立得， 
由， 
解得， 
故答案为
 

15.【答案】;

【解析】解：、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点异于左、右顶点， 
存在以为半径的圆内切于， 
， 
，得， 
，则， 
即，解得舍去，或， 
． 
椭圆的离心率的取值范围是 
故答案为： 
利用已知条件列出三角形的面积的等式，放缩得到，两边平方后可得，得到，则椭圆的离心率的范围可求． 
该题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，考查运算求解能力，是中档题．
 

16.【答案】;

【解析】 
设，令，由向量数量积公式得到，由此能求出的最小值． 
此题主要考查向量的数量积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用． 
 
解：如图所示，设， 
 
 
， 
令，得， 
 
当且仅当时，取等号， 
故的最小值是 
故答案为 


 

17.【答案】;

【解析】设，则，易知，，，  解得，则，由共线得，整理得， 
 

18.【答案】;

【解析】

此题主要考查了椭圆标准方程的应用，属于基础题解决此题的关键是根据焦点的位置确定，的值，结合，，的关系求解.

 
解：把椭圆方程化为标准方程 ，

因为焦点坐标为，所以长半轴在轴上，

则 ，解得

故答案为
 

19.【答案】解：因为，，成等比数列， 
所以 
解得 
又因为，所以 
因为在椭圆上， 
所以 
所以 
 
因为，所以， 
所以 
由题意可得点，所以 
因为为的平分线， 
所以有， 
即 
所以， 
所以 
故;

【解析】求离心率，找出，，的一个等量关系式即可，，，成等比数列， 
所以； 
因为在椭圆上，由两点间距离公式结合椭圆标准方程可得. 
由为的平分线，有，椭圆定义代入可得，进而有，所以 

 

20.【答案】（1）证明：∵椭圆C经过点，∴， 
∴， 
当且仅当，即=2时，等号成立， 
又，∴，∴C的短轴长为． 
（2）解：∵椭圆C的焦距为2，∴-=1，又，∴=4，=3． 
当直线MN的斜率不存在时，由对称性，设M（，），N（，-）， 
MN在椭圆C上，∴，∴，∴O到直线MN的距离． 
当直线MN的斜率存在时，设MN的方程为y=kx+m， 
由，得（3+4）+8kmx+4-12=0，△=（8km）2-4（3+4）（4-12）＞0 
设M（，），N（，），则，， 
∵OM⊥ON，∴+=0， 
∴， 
∴，即7=12（+1）， 
∴O到直线MN的距离． 
综上，到直线MN的距离为定值，且定值为存在定圆， 
使得圆O与直线MN总相切．;

【解析】 
椭圆经过点，得到，通过“”的代换，利用基本不等式转化求解证明即可． 
通过椭圆的焦距为，结合，求出，当直线的斜率不存在时，由对称性，设，，在椭圆上，求解到直线的距离．当直线的斜率存在时，设的方程为，联立直线与椭圆方程，设，，利用韦达定理，结合推出，然后求解到直线的距离．说明到直线的距离为定值，且定值为，存在定圆，使得圆与直线总相切． 
该题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，涉及圆与直线的位置关系，是难题．
 

21.【答案】解：（1）由题意，2c=2，2a=4，则a=2，c=． 
∴=-=2． 
∴椭圆C的方程为； 
（2）设M（，），N（，）， 
由已知可得，直线MN与x轴不重合，设直线MN：x=my-． 
联立，整理得． 
△=8+8（+2）=16+16＞0． 
，＜0． 
由S△MAB=2S△NAB，得||=||，即=-2， 
从而． 
解得，即m=． 
∴直线MN的方程为：x-或x+．;

【解析】 
由题意求得与的值，结合隐含条件求得，则椭圆方程可求； 
设，，由已知可得，直线与轴不重合，设直线：，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，由面积关系可得，的纵坐标的关系，结合根与系数的关系求解，则直线方程可求． 
该题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
 

22.【答案】解：（1）根据题意知，离心率，P为椭圆上任意一点，且|PF1|的最小值为1， 
a-c=1，， 
解得a=2，c=1， 
由此，=3，故椭圆C的标准方程为． 
（2）由（1）知，F2（1，0），直线A'B的斜率不可能为0， 
因此设直线A'B为x=my+t（m≠0），与椭圆C联立， 
得关于y的一元二次方程（3+4）+6mty+3-12=0， 
设A'（，），B（，），则A（，-）， 
根据韦达定理有，① 
而AB所在直线经过点F2（1，0）， 
因此， 
等价于2m+（t-1）（+）=0， 
将①式代入，得2m（3-12）-（t-1）6mt=0，化简得t=4， 
直线A'B为x=my+4， 
因此直线A'B恒过定点（4，0）．;

【解析】 
利用已知条件求出，，然后求解，即可求解椭圆方程．  
设直线为，与椭圆联立，设，，则，利用韦达定理通过斜率关系，求解直线系方程，得到直线恒过定点． 
此题主要考查直线与椭圆的我最关心的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

23.【答案】解：（1）∵，且=+， 
解得a=，b=1，c=，所以椭圆C的方程为：…（4分） 
（2），，设A（，），B（，）， 
直线l的斜率不为0，设直线l：， 
联立，得， 
故，…（7分） 
 
=，…（9分） 
因为，当且仅当， 
即t=±1时等号成立， 
所以直线l的方程为或…（12分）;

【解析】 
利用离心率以及三角形的面积，求解，，得到椭圆的方程． 
设，，直线的斜率不为，设直线：，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合数据想底面积和，利用基本不等式转化求解最值，推出，然后求解直线方程． 
此题主要考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．