人教版数学五年级上册第三单元《小数除法》1.3-1.4重点难点易错点

五年级上册数学第三单元《小数除法》1.3-1.4重点难点易错点                    商的近似数    循环小数学习导图重点知识点：知识点：商的近似数看：需要保留几位小数或整数除：除到比需要保留的小数位数多一位取：用“四舍五入”法取商的近似数用四舍五入的方法求商的近似数在实际应用中，小数除法的商往往不需要保留很多的小数位数，这时可以根据需要，按“四   舍五入”法保留一定的小数位数，求出商的近似数.计算钱数，保留两位小数，表示计算到分，保留一位小数，表示计算到角.用“四舍五入”法求近似数，按需要截取到指定位数时，如果尾数最高位上的数字比 5 小，就把尾数舍去（叫“四舍”）；如果尾数最高位的数字是 5 或大于 5，把尾数舍去后，还要向它的前一位进 1（叫“五入”）.用“去尾”法和“进一”法求商的近似值.（1）用“去尾”法求商的近似值，无论要保留数位后面的数字是否大于 5 都要舍去；（2）用“进一”法求商的近似值时，无论要保留数位后面的数字是否小于 5，都要向前一位进“1”. 知识点：循环小数1. 认识循环小数一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。2. 认识循环节一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。3. 循环小数的表示方法（1）写循环小数时，写出至少两个循环节后用一半的省略号表示以后的循环节。（2）写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。4. 有限小数和无限小数小数部分的位数有限的小数是有限小数；小数部分的位数无限的小数是无限小数。把循环小数的小数部分化成分数的规则①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位  都是 9，9 的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分.②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数  与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是 9，9 的个数与一个循环节的位数相同，末几位是 0，0 的个数与不循环部分的位数相同.四分数转化成循环小数的判断方法：①一个最简分数，如果分母中既含有质因数 2 和 5，又含有 2 和 5 以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数.②一个最简分数，如果分母中只含有 2 和 5 以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数.循环小数观察特点总结：小数 5.333…… 1.555…… 7.14545……  特点 从小数部分的第一位起， 不断地重复出现数字 3. 从小数部分的第一位 起，不断地重复出现数字 5. 从小数部分的第二位起， 不断地重复出现数字 45.从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现. 意义：像 5.333……，1.555……，7.14545……，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数. 5.用计算器探索规律（1）观察算式及商的特点归纳总结：用计算器探索规律的方法：用计算器计算→观察发现规律→用规律
（2）能运用规律直接写出商。 易错点难点【易错典例1】（2019秋•兴宾区期中）按“四舍五入法”取商的近似值，4.7÷1.6的商保留整数是　3　，保留一位小数是　2.9　，保留两位小数是　2.94　．【思路引导】首先根据小数除法的运算方法，求出算式的结果各是多少；然后应用四舍五入法，分别把算式的结果保留一位小数、两位小数、三位小数即可．【完整解答】解：4.7÷1.6＝2.9375按四舍五入的方法保留整数是3，保留一位小数约为2.9，保留两位小数约为2.94；故答案为：3，2.9，2.94．【易错注意点】此题主要考查了小数除法的运算方法，以及四舍五入法求近似值问题的应用，要熟练掌握．【易错典例2】（2018秋•正定县期末）4.48÷0.39的商的最高位是　十　位．16÷9的商用循环小数表示是　1.　．【思路引导】根据商不变的性质，把被除数和除数同时扩大100倍，商不变，可得448÷39，被除数的前两位44大于39，所以商的最高位在十位上；先计算出16÷9的商，再找出依次不断重复的数字，即循环节，点上圆点即可．【完整解答】解：4.48÷0.39＝（4.48×100）÷（0.39×100）＝448÷3944＞39；所以448÷39的商的最高位在十位上；因此4.48÷0.39商的最高位也在十位上；16÷9＝1.．答：4.48÷0.39的商的最高位是 十位．16÷9的商用循环小数表示是1.．故答案为：十，1.．【易错注意点】本题重点考查了小数除法法则以及位数的内容和循环小数的记法．【易错典例4】丽丽在计算一个两位小数除以1.5时，把被除数的小数点漏掉了，结果商是130．这道题的正确结果应该是多少？【思路引导】本题考查因数和积的关系，一个因数不变，另一个因数扩大或缩小到原来的多少倍，积也扩大或缩小到原来的多少倍．【完整解答】解：1.5×130＝195．   1.95÷1.5＝1.3．【易错注意点】（　　）÷1.5＝130  求出被除数是195，根据题意知被除数原来是一个两位小数，所以应为1.95．考点3：小数除法21．（2021春•越秀区期末）从12里面减2.4，连续减（　　）次，结果是0。A．3 B．4 C．5 D．6【思路引导】求从12里面连续减去几个2.4结果是0，就是求12里面有几个2.4，用除法计算。【完整解答】解：12÷2.4＝5答：从12里面减2.4，连续减5次，结果是0。故选：C。22．（2021•新乐市）观察下图，竖式中的“24”表示24个（　　）A．0.01 B．0.1 C．1 D．10【思路引导】根据除数是整数的小数除法，可知2在个位上，4在十分位上，根据十分位的计数单位确定24表示的意义即可。【完整解答】解：2在个位上，表示2个一，4在十分位上，表示4个0.1，那么24就表示24个0.1。故选：B。23．（2021•三明）如图，箭号所指的数表示的是（　　）A．10个十 B．10个一 C．10个0.1 D．10个0.01【思路引导】根据小数除法的计算方法，可得商的十分位上的2表示2个0.1，所以竖式中箭头所指的这一步结果表示的是10个0.1，据此解答。【完整解答】解：因为0.2×5＝1.0所以竖式中箭头所指的数表示的是：10个0.1。故选：C。24．（2021春•蒙阴县期末）从10里面连续减去0.1，连续减 　100　次，结果是0。一张纸厚0.1cm，将它对折3次后，纸厚 　0.8　厘米。【思路引导】求10里面连续减去多少次0.1结果为0，就是求10里面有多少个0.1，用除法计算；一张纸对折3次后共8层，求对折3次后的厚度，用1层的厚度乘层数。【完整解答】解：10÷0.1＝1000.1×8＝0.8（厘米）答：从10里面连续减去0.1，连续减100次，结果是0。一张纸厚0.1cm，将它对折3次后，纸厚0.8厘米。故答案为：100，0.8。25．（2020秋•苏州期末）2.7÷11的商是　0.2454545……　，它是一个　循环　小数，小数点后面第35个数字是　5　。【思路引导】根据小数除法的计算方法，计算2.7÷11的商，在进行解答即可。【完整解答】解：2.7÷11＝0.2454545……，它是一个循环小数；（35﹣1）÷2＝34÷2＝17（组）故小数点后面第35个数字是5。故答案为：0.2454545……、循环、5。26．（2020秋•土默特左旗期末）2.5÷11的商是　循环　小数，可以简写为　0.2　。【思路引导】先求出2.5÷11的商为0.22727…，根据循环小数的意义：一个无限小数的小数部分有一个或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循环小数；可知：0.22727…是循环小数；观察循环小数0.22727…循环的数字，此数的循环节是27，找出循环的数字，在上面点上圆点即可。【完整解答】解：2.5÷11的商是循环小数，可以简写为0.2。故答案为：循环小数，0.2。27．（2020秋•白云区期末）用“四舍五入”法取以下计算结果的近似值（保留一位小数）。（1）1.07÷0.3≈　3.6　（2）1.82×3.1≈　5.6　【思路引导】根据小数乘除法运算的计算法则计算即可求解；注意根据四舍五入法保留一位小数。【完整解答】解：（1）1.07÷0.3≈3.6（2）1.82×3.1≈5.6故答案为：3.6，5.6。28．（2020秋•项城市期末）7.12÷6.2的商比7.12大。　×　（判断对错）【思路引导】一个小数除以比1大的数，则商比这个小数小。据此解答。【完整解答】解：7.12÷6.2的商比7.12小，所以原题干错误。故答案为：×。29．（2020秋•开平区期末）5÷11的商是无限小数。　√　（判断对错）【思路引导】首先计算出5÷11＝0.4545…，发现循环的数字是45，简便写法记作0.，所以5÷11的商循环小数。【完整解答】解：因为5÷11＝0.，循环的数字是45，所以5÷11的商是循环小数。根据：循环小数一定是无限小数，无限小数不一定是循环小数。故答案为：√。30．（2020秋•富裕县期末）一个不为0的自然数除以小数，商一定小于被除数。　×　（判断对错）【思路引导】假设这个不为0的自然数是3，小数分别是0.1与1.5，分别求出它们的商，然后再比较解答。【完整解答】解：假设这个不为0的自然数是3，小数分别是0.1与1.5；3÷0.1＝30，30＞3；3÷1.5＝2，2＜3；所以，一个不为0的自然数除以小数，商不一定小于被除数；因此原题说法错误。故答案为：×。31．（2021春•桐梓县期末）直接写出得数。 ①4.8÷100＝②10﹣0.18＝③5.57×100＝④10.37﹣8.58×0＝⑤1800÷100＝⑥0÷53＝⑦4﹣3.99＝⑧8.4×100＝⑨5﹣4.3+6.8＝⑩125×8÷25＝【思路引导】根据小数加减法、小数乘除法、整数整除法以及小数、整数的四则混合运算法则进行计算。【完整解答】解：①4.8÷100＝0.048②10﹣0.18＝9.82③5.57×100＝557④10.37﹣8.58×0＝10.37⑤1800÷100＝18⑥0÷53＝0⑦4﹣3.99＝0.01⑧8.4×100＝840⑨5﹣4.3+6.8＝7.5⑩125×8÷25＝4032．（2020秋•白山期末）果农在葡萄园采摘了380千克葡萄，要装箱以后运往市场，每箱能装7.5千克。至少要准备多少个箱子才能把这批葡萄全部运走？【思路引导】每箱能装7.5千克，380千克里面有几个7.5千克，就需要准备几个这样的箱子，即380÷7.5，注意运用进一法求近似数。【完整解答】解：380÷7.5≈51（箱）答：至少要准备51个箱子才能把这批葡萄全部运走。33．（2020秋•兴仁市校级期末）实施精准扶贫，全面实现小康社会．某市计划每个贫困户投入资金0.68万元用于建设太阳能光伏发电，一共需要投入资金81.6万元，请问有多少户贫困户参加投资？【思路引导】每个贫困户投入资金0.68万元用于建设太阳能光伏发电，81.6万元里面有几个0.68万元，就有多少户贫困户参加投资，即81.6÷0.68。【完整解答】解：81.6÷0.68＝120（户）答：有120户贫困户参加投资。34．（2020秋•深圳期末）冲咖啡和泡茶用水情况如图．东东的妈妈将一壶2.85千克的开水全部用来冲咖啡，可以冲多少杯咖啡？如果全部用来泡茶，那么最多可以泡多少杯茶？【思路引导】用水的总质量除以每杯咖啡（茶）的质量，就是能冲（泡）的杯数，据此计算。【完整解答】解：咖啡：2.85÷0.19＝15（杯）茶：2.85÷0.25＝11.4≈11（杯）答：全部用来冲咖啡，可以冲15杯咖啡；如果全部用来泡茶，那么最多可以泡11杯茶。35．（2020秋•广东期末）皮皮在计算一道除法题时，把一个有两位小数的被除数的小数点漏掉了，除以2.5商是150，正确的除法算式中被除数是多少？【思路引导】根据皮皮计算的结果，利用被除数＝商×除数，计算其被除数，然后根据原题被除数是两位小数，找到正确的被除数即可．【完整解答】解：2.5×150＝375所以原式的被除数是3.75．答：正确的除法算式中被除数是3.75．36．（2020秋•南山区期中）张阿姨去泰国旅游前去银行兑换了20000泰铢，折合人民币多少元？（100泰铢兑换人民币21.3元）【思路引导】100泰铢兑换人民币21.3元，那么用21.3除以100，求出1泰铢兑换的人民币，然后再乘上20000即可。【完整解答】解：21.3÷100×20000＝0.213×20000＝4260（元）答：折合人民币4260元。37．（2020秋•昆都仑区期末）估一估，分别在如图中标出下列算式商的大概位置。8.2÷44÷1.06【思路引导】（1）把8.2看成8，8÷4＝2，所以8.2÷4的商大约是2；（2）把1.06看成1，4÷1＝4，所以4÷1.06的商大约是4；据此解答即可。【完整解答】解：38．（2020秋•薛城区期中）在〇里填上“＞”“＜”或“＝”。7.06×0.9〇7.064.8÷0.1〇4.8×108.7÷1.5〇8.7÷3.50.8÷0.2〇0.8×0.21.3×1.2〇1.229.7÷1.9〇29.7【思路引导】一个数（0除外），乘大于1的数，所得的积大于这个数，乘小于1的数，所得的积小于这个数；一个数（0除外），除以大于1的数，所得的商小于这个数，除以小于1的数，所得的商大于这个数；据此解答。【完整解答】解：7.06×0.9＜7.064.8÷0.1＝4.8×108.7÷1.5＞8.7÷3.50.8÷0.2＞0.8×0.21.3×1.2＞1.229.7÷1.9＜29.739．（2020•大同）某市居民每月每户用水缴费原来每立方米1.90元，现作如下调整．用水量20立方米及以下20立方米以上的部分收费标准每立方米2.30元每立方米3.45元根据以上有关信息完成：王大伯家今年5月份的水费，按新的收费标准比原来多缴20.4元，王大伯家这个月用水量是多少立方米？【思路引导】根据题意，多缴的20.4元，可分为20立方米以下，和20立方米以上两部分多缴的，分别求出现在比原来每立方米多缴的钱数，就可以求出20立方米以上部分是多少立方米，再与20立方米合并起来即可．【完整解答】解：20立方米以下，每立方米多缴：2.30﹣1.90＝0.40（元）；20立方米一共多缴：20×0.40＝8（元）；20立方米以上每立方米多缴：3.45﹣1.90＝1.55（元）；20立方米以上的用水量是：（20.4﹣8）÷1.55＝12.4÷1.55＝8（立方米）；这个月的用水量是：20+8＝28（立方米）；答：王大伯家这个月用水量是28立方米．考点4：小数四则混合运算40．（2020秋•鼓楼区期末）下面等式不成立的是（　　）A．5.6×102＝5.6×100+2×5.6 B．18.4﹣6.5+4.2＝18.4﹣（6.5﹣4.2） C．7×0.98＝7×1﹣0.02 D．7.23﹣0.31﹣0.69＝7.23﹣（0.31+0.69）【思路引导】根据小数四则混合运算的顺序或运算定律，分别求出各个选项中算式的结果，再比较解答。【完整解答】解：A、5.6×102＝5.6×（100+2）＝5.6×100+5.6×2＝560+11.2＝571.25.6×100+2×5.6＝560+11.2＝571.2所以，5.6×102＝5.6×100+2×5.6；B、18.4﹣6.5+4.2＝11.9+4.2＝16.118.4﹣（6.5﹣4.2）＝18.4﹣2.3＝16.1所以，18.4﹣6.5+4.2＝18.4﹣（6.5﹣4.2）；C、7×0.98＝7×（1﹣0.02）＝7×1﹣7×0.02＝7﹣0.14＝6.867×1﹣0.02＝7﹣0.02＝6.986.86＜6.98所以，7×0.98＜7×1﹣0.02；D、7.23﹣0.31﹣0.69＝7.23﹣（0.31+0.69）＝7.23﹣1＝6.237.23﹣（0.31+0.69）＝7.23﹣1＝6.23所以，7.23﹣0.31﹣0.69＝7.23﹣（0.31+0.69）。故选：C。41．（2020秋•怀安县期末）34.5除以5的商减去4与0.2的积，差是多少？正确的列式为（　　）A．（34.5÷5﹣4）×0.2 B．34.5÷5﹣4×0.2 C．34.5÷（5﹣4×0.2）【思路引导】先用34.5除以5求出商，再用4乘0.2求出积，然后用求出的商减去求出的积即可。【完整解答】解：34.5÷5﹣4×0.2＝6.9﹣0.8＝6.1答：差是6.1。故选：B。42．（2020秋•广东期末）得数是1的算式是（　　）A．0.5÷0.4×0.5÷0.4 B．（0.5÷0.4）×（0.5÷0.4） C．0.5÷（0.4×0.5÷0.4） D．（0.5÷0.4×0.5）÷0.4【思路引导】按照小数的四则混合运算顺序逐个选项计算出结果，比较即可．【完整解答】解：A：0.5÷0.4×0.5÷0.4＝1.25×0.5÷0.4＝0.625÷0.4＝1.5625B：（0.5÷0.4）×（0.5÷0.4）＝1.25×1.25＝1.5625C：0.5÷（0.4×0.5÷0.4）＝0.5÷（0.2÷0.4）＝0.5÷0.5＝1D：（0.5÷0.4×0.5）÷0.4＝（1.25×0.5）÷0.4＝0.625÷0.4＝1.5625故选：C．43．（2021春•潜江期末）计算3.5×（10+0.1）＝3.5×10+3.5×0.1，这是运用了 　乘法分配　律。【思路引导】3.5×（10+0.1）＝3.5×10+3.5×0.1是两个数的和与一个数相乘，变成了把它们先分别相乘再相加，这是运用了乘法分配律，由此求解。【完整解答】解：计算3.5×（10+0.1）＝3.5×10+3.5×0.1，这是运用了乘法分配律。故答案为：乘法分配。44．（2021春•青神县期末）阳阳在做一道题时，按顺序进行了如下计算：①570÷19＝30  ②270÷30＝9 ③810÷9＝90，原式应是 　810÷[270÷（570÷19）]　。【思路引导】①570÷19＝30  ②270÷30＝9 ③810÷9＝90，这个算式是先用570除以19求出商，再用270除以求出的商得到商，最后用810除以第二次得到的商即可。【完整解答】解：阳阳在做一道题时，按顺序进行了如下计算：①570÷19＝30  ②270÷30＝9 ③810÷9＝90，原式应是 810÷[270÷（570÷19）]。故答案为：810÷[270÷（570÷19）]。45．（2020秋•项城市期末）计算10.8÷[1.2×（2.9﹣2.6）]时，应先算　减　法，再算　乘　法，最后算　除　法，结果是　30　。【思路引导】根据小数四则混合运算的顺序，先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算括号外面的除法，由此计算出结果即可。【完整解答】解：10.8÷[1.2×（2.9﹣2.6）]＝10.8÷[1.2×0.3]＝10.8÷0.36＝30计算10.8÷[1.2×（2.9﹣2.6）]时，应先算减法，再算乘法，最后算除法，结果是30。故答案为：减，乘，除，30。46．（2020秋•和平区期末）小马虎在计算一道小数除法题时，错把除数1.25看作12.5，结果是0.46，正确的商应该是　4.6　。【思路引导】先用错误的除数乘错误的商求出被除数，然后用被除数除以正确的除数，求出商即可解答。【完整解答】解：0.46×12.5÷1.25＝5.75÷1.25＝4.6答：正确的商应该是4.6。故答案为：4.6。47．（2020秋•富裕县期末）计算82.4+2.5×4时，应先算　乘　法，再算　加　法，得数是　92.4　。【思路引导】计算82.4+2.5×4时，先算乘法，再算加法，据此计算。【完整解答】解：计算82.4+2.5×4时，先算乘法，再算加法；82.4+2.5×4＝82.4+10＝92.4故答案为：乘；加；92.4。48．（2021春•兖州区期末）3.6×6.4+3.6×3.6＝3.6×（6.4+3.6）。 　√　（判断对错）【思路引导】根据乘法分配律的逆运算判断：一个数乘另一个数的积加它本身乘第三个数的积，可以把另外两个数加起来再乘这个数，即ac+bc＝（a+b）×c。【完整解答】解：根据乘法分配律可知：3.6×6.4+3.6×3.6＝3.6×（6.4+3.6）原题说法正确。故答案为：√。49．（2021春•西安期中）计算6.78+0.22×1.68时，应该先算加法、再算乘法。　×　（判断对错）【思路引导】根据小数四则混合运算的顺序，计算6.78+0.22×1.68时，应该先算乘法，再算加法，由此判断。【完整解答】解：计算6.78+0.22×1.68时，应该先算乘法、再算加法，所以原题说法错误。故答案为：×。50．（2020秋•官渡区期末）4.2÷0.3+4.2÷0.7＝4.2÷（0.3+0.7）．　×　（判断对错）【思路引导】根据除法的性质进行判断即可．【完整解答】解：4.2÷0.3+4.2÷0.7＝4.2÷（0.3×0.7）＝4.2÷0.21＝20所以原题做法错误；故答案为：×．51．（2021春•龙岗区期末）脱式计算。 60﹣8.2+1.846.5×97+46.5×36.15×9.4﹣42【思路引导】（1）按照从左向右的顺序进行计算；（2）根据乘法分配律进行计算；（3）先算乘法，再算减法。【完整解答】解：（1）60﹣8.2+1.8＝51.8+1.8＝53.6（2）46.5×97+46.5×3＝46.5×（97+3）＝46.5×100＝4650（3）6.15×9.4﹣42＝57.81﹣42＝15.8152．（2020秋•广东期末）2.5与0.4的积，减去0.4除以2.5的商，差是多少？【思路引导】先算2.5乘以0.4的积和0.4除以2.5的商，再用积减去商即可．【完整解答】解：2.5×0.4﹣0.4÷2.5＝1﹣0.16＝0.84答：差是0.84．53．（2020秋•龙华区期中）东东家下半年用水量是67.4吨，每吨水的价格是2.4元。平均每个月需要付多少元水费？【思路引导】下半年有6个月，用67.4吨除以6，即可求出平均每个月用水多少吨，再乘2.4元，即可求出平均每个月需要付多少元水费。【完整解答】解：67.4÷6×2.4＝67.4×（2.4÷6）＝67.4×0.4＝26.96（元）答：平均每个月需要付26.69元水费。54．（2019春•永年区期末）有甲、乙、丙三个数，这三个数的和是12.83，甲和乙这两个数的和是7.14，乙和丙这两个数的和是10.27，求甲、乙、丙三数各是多少？【思路引导】根据题意，首先用甲、乙、丙三数的和减去甲数与乙数的和，求出丙数；然后用甲、乙、丙三数的和减去乙数与丙数两数的和，求出甲数；最后用甲乙两数的和减去甲数，求出乙数是多少即可．【完整解答】解：12.83﹣7.14＝5.6912.83﹣10.27＝2.567.14﹣2.56＝4.58答：甲数是2.56，乙数是4.58，丙数是5.69．55．（2021春•兰山区期末）把一个小数与它自己相加，相减、相除，所得的和、差、商加起来是2，这个小数是多少？【思路引导】这个数与它自己相加的和为这个数的2倍，相减的差为0，相除的商为1；用最终的得数减去1，就是这个数的2倍，据此解答即可。【完整解答】解：（2﹣1）÷2＝1÷2＝0.5答：这个数是0.5。56．（2020秋•让胡路区期中）列式计算：（1）12.5乘0.32除以0.4的商，积是多少？（2）8.1加上4.5的和除以7.5减去1.5的差，商是多少？【思路引导】（1）求积，就要知道两个因数分别是多少．根据题意，一个因数是12.5，另一个是0.32÷0.4，由此列式计算．（2）求商，就要知道被除数和除数分别是多少．根据题意，被除数是（8.1+4.5），除数是（7.5﹣1.5），由此列式计算．【完整解答】解：（1）12.5×（0.32÷0.4）＝12.5×0.8＝10答：积是10． （2）（8.1+4.5）÷（7.5﹣1.5）＝12.6÷6＝2.1答：商是2.1．