人教版数学五年级上册第六单元《多边形面积》1.1-1.2 【重点难点易错点】

五年级上册数学第六单元《多边形面积》1.1-1.2 重点难点易错点平行四边形面积 三角形面积学习导图重点难点易错点知识点一：平行四边形面积公式的理解和应用一、平行四边形面积公式的推导过程：剪拼、平移1.面积公式推导：沿着平行四边形的任意一条高剪开，将其一部分平移与另一部分正好拼成 一个长方形，这个长方形的长就是平行四边形的底，这个长方形的宽就是平行四边形的高. 因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高，用字母表示 S= ah2.同底同高、同底等高、等底等高的平行四边形面积相等. 二、面积公式的几种变形1.平行四边形面积=底×高， S ah2.平行四边形底=面积÷高， a S h3.平行四边形高=面积÷底， h S a三、平行四边形与长方形的关系长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小.周长相同的长方形和平行四边形，平行四边形的面积会变.四、应用平行四边形面积公式解决实际问题面积不变，解决实际问题时，先计算出平行四边形面积，再算出实际（农作物等）产量，复杂图形，把握整体原则，利用割补法计算所求图形面积.平行四边形的综合应用1.平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积.2.同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等.3.平行四边形的面积与它的底和高有关，底扩大到原来的 n 倍（n≠0),高缩小到原来的 n/1，面积不变.知识点二：三角形面积公式的理解和应用一、三角形底和高的认识1.三角形的底和高：从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线，顶点与垂足之间的线段 叫做三角形的高，垂足所在的边叫做三角形的底.2.任意一个三角形都有三条高，三个底，锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形 的两条直角边上的高是在三角形上，钝角三角形有两条高在三角形外,如下图所示：二、三角形的面积：一、三角形面积公式推导过程1：回顾平行四边形面积=底×高长方形面积=长×宽正方形面积=边长×边长2：在研究平行四边形的面积的时，我门是把平行四边形转化成学过的长方形来研究的，那三角形的面积你打算怎么研究呢？看看三角形能不能转化成长方形或平行和四边形？预设 1：两个完全一样的锐角三角形预设 1：两个完全一样的锐角三角形三角形的面积=底× 高÷2↑2 个三角形的面积 底 高↑ ↑ ↑平行四边形的面积= 底 × 高预设 2：两个完全一样的钝角三角形三角形的面积=底× 高÷2↑2 个三角形的面积 底 高↑ ↑ ↑平行四边形的面积= 底 × 高预设 3：两个完全一样的直角三角形三角形的面积=底× 高÷2↑2 个三角形的面积 底 高↑ ↑ ↑长方形的的面积= 底 × 高总结概括：由上面几种情况可得出，只要是两个完全一样的三角形，就能把它们拼成一个平行四边形或长方形，充分论证了三角形的面积=底 x 高÷2所以得出结论：三角形的面积=底× 高÷2如果用 S 表示三角形的面积，a 表示底，h 表示高，那么三角形面积的计算公式可以表示为:S  ah  2三角形的面积=底×高÷2 S  ah  2 三角形的底=面积×2÷高 a  2S  h 三角形的高=面积×2÷底 h  2S  a三角形面积知识点总结（1）三角形面积=底×高÷2.（2）等底等高的两个三角形面积相等（3）等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半.（4）当阴影部分的面积不好求时，可以考虑整体减部分的思想公式归纳易错点考点【易错典例1】一块平行四边形草坪的底是32m，高是15m，扩建后，底比原来增加了8m，高比原来增加了3m．扩建后的草坪面积比原来增加了　 　m2．【思路引导】首先根据增加后的底和高各是多少米，根据平行四边形的面积公式：S＝ah，把数据分别代入公式求出扩建后的面积与原来面积的差即可．【完整解答】解：（32+8）×（15+3）﹣32×15＝40×18﹣480＝720﹣480＝240（平方米）答：扩建后的草坪面积比原来增加了240平方米．故答案为：240．【考察注意点】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．【易错典例2】（2019秋•勃利县期末）一个底是4cm的三角形与边长是4cm的正方形面积相等，那么三角形的面积应该是　16平方厘米　，高是　8厘米　．【思路引导】根据正方形的面积＝边长×边长，可求出正方形的面积，即是三角形的面积，再根据三角形的面积＝底×高÷2，可知高＝面积×2÷底，据此代入数据进行求解．【完整解答】解：4×4＝16（平方厘米）16×2÷4＝8（厘米）答：三角形的面积应是16平方厘米，高是8厘米．故答案为：16平方厘米，8厘米．【考察注意点】本题主要考查了学生对三角形面积公式和正方形面积公式的掌握．【易错典例3】（2019•广东）六个等腰三角形如图摆放，那么四个空白三角形的面积和是两个阴影三角形的面积和的　6　倍．【思路引导】因为两个完全一样的等腰直角三角形可以拼成一个正方形，据此通过画辅助线（如图），把这六个等腰直角三角形从小到大分别编号为①②③④⑤⑥，由此可以看出，三角形②的面积是三角形①的2倍，三角形③的面积②的2倍…，三角形⑥的面积是三角形⑤的2倍，设①号三角形的面积为1，则②号的面积为2，③号的面积为4，④号的面积为8，⑤号的面积为16，⑥号底面积为32，由此很容易求出空白三角形的面积是阴影三角形面积的几倍．【完整解答】解：如下图：把这六个等腰直角三角形从小到大分别编号为①②③④⑤⑥，设①号三角形的面积为1，则②号的面积为2，③号的面积为4，④号的面积为8，⑤号的面积为16，⑥号的面积为32，（2+4+16+32）÷（1+8）＝54÷9＝6答：四个空白三角形的面积和是两个阴影三角形的面积和的6倍．故答案为：6．【考察注意点】此题解答关键是明确：两个完全一样的等腰直角三角形可以一个正方形，设出最小等腰直角三角形的面积，根据求一个数是另一个数的几倍，用除法解答．【易错典例4】如图中，甲、乙、丙、丁分别表示直角梯形中四个部分的面积，已知甲与丙拼成的是一个平行四边形，则图中面积相等的两个部分是　甲　和　乙　．【思路引导】由于甲与丙拼成的是一个平行四边形，根据平行四边形的特征，AD＝BE，由于四边形AFCD是长方形，AD＝FC，三角形ABF与三角形DEC的底、高相等，其面积也相等，三角形ABF的面积减丁的面积就是甲的面积，三角形DEC的面积减丁的面积就是乙的面积，从而推出甲、乙的面积相等．【完整解答】解：如图因为ABED是平行四边形，AFCD是长方形所以BE＝AD＝FC因而得出三角形ABF与三角形DEC的底、高相等所以三角形ABF与三角形DEC面积相等因为三角形ABF的面积﹣丁的面积＝甲的面积，三角形DEC的面积﹣丁的面积＝乙的面积所以图中面积相等的两个部分是甲和乙．故答案为：甲，乙．【考察注意点】通过观察可以看出甲、乙的面积相等，然后再找相等的理由，甲+丁＝乙+丁，即三角形ABF与三角形DEC面积相等，再找三角形ABF与三角形DEC面积相等的条件，根据平行四边形、长方形的特征，推出三角形ABF与三角形DEC的底、高相等．考点1：平行四边形的面积1．（2019秋•沈河区期末）将一个底是8cm，高是4cm的平行四边形框架拉成一个长方形框架，则这个长方形框架的面积可能是（　　）cm2。A．16 B．24 C．32 D．48【思路引导】根据题意，把平行四边形拉成长方形后，平行四边形的底等于长方形的长，长方形的宽大于平行四边形的高，根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。【完整解答】解：把平行四边形拉成长方形后，平行四边形的底等于长方形的长，长方形的宽大于平行四边形的高。所以这个长方形框架的面积可能是48平方厘米。故选：D。2．（2020•迎江区）一个平行四边形相邻两边长度分别是5厘米和8厘米，其中一条底边上的高是6厘米。这个平行四边形的面积是（　　）平方厘米。A．30 B．40 C．48 D．无法确定【思路引导】根据题意可知，平行四边形的底为8厘米时，高不可能为6厘米，因为高是两条平行线间最短的线段，所以这个平行四边形的底应该为5厘米，高是6厘米，那么根据平行四边形的面积＝底×高计算即可得到答案，其中平行四边形的边长8厘米不参与计算。【完整解答】解：5×6＝30（平方厘米）答：这个平行四边形的面积是30平方厘米。故选：A。3．（2020秋•赣榆区期中）一个平行四边形广告牌，底6米，高2米。按每平方米50元计算，制作这个广告牌需要　600　元。【思路引导】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，把数据代入公式求出这块广告牌的面积，然后根据单价×数量＝总价，据此列式解答。【完整解答】解：6×2×50＝12×50＝600（元）答：制作这个广告牌需要600元。故答案为：600。4．（2020秋•浑源县期中）一个长方形木框，长10分米，宽8分米，将它拉成一个平行四边形，面积　变小　，周长　不变　。【填变大、变小或不变】【思路引导】把长方形木框拉成平行四边形，它的高变短了，所以它的面积就变小了，而四个边的长度没变，则其周长不变。据此解答。【完整解答】解：一个长方形木框，长10分米，宽8分米，将它拉成一个平行四边形，这个平行四边形的高小于长方形的宽，所以面积变小，四个边的长度没变，则其周长不变。故答案为：变小，不变。5．（2020秋•偃师市期中）一个平行四边形和一个三角形等底等高，它们的面积差是24平方厘米，平行四边形的面积是　48　平方厘米。【思路引导】因为等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的2倍，所以等底等高的平行四边形和三角形的面积差就是平行四边形面积的一半，根据求一个数的几倍是多少，用乘法解答。【完整解答】解：24×2＝48（平方厘米）答：平行四边形的面积是48平方厘米。故答案为：48。6．（2019秋•广饶县期末）一个平行四边形的底是13分米，高是70厘米，面积是　91　平方分米．【思路引导】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，把数据代入公式解答．【完整解答】解：70厘米＝7分米，13×7＝91（平方分米）答：它的面积是91平方分米．故答案为：91．7．（2019秋•巨野县期末）把平行四边形木框拉成长方形，周长和面积都变大了．　×　．（判断对错）【思路引导】把平行四边形木框拉成长方形，四个边的长度没变，则其周长不变；但是它的高变长了，所以它的面积就变大了．【完整解答】解：因为把平行四边形木框拉成长方形，四个边的长度没变，则其周长不变；但是它的高变长了，所以它的面积就变大了；故答案为：×．8．（2019春•河间市期末）一个平行四边形，相邻两条边的长度分别是8厘米和6厘米，量得它一条边上的高是7厘米，这个平行四边形的面积是56平方厘米．　×　（判断对错）【思路引导】根据平行四边形的特点可知，底边上的高一定小于另一条斜边，所以高为7厘米对应的底为6厘米，利用平行四边形面积＝底×高，计算即可．【完整解答】解：6×7＝42（平方厘米）答：这个平行四边形的面积是42平方厘米．题干的说法是错误的．故答案为：×．9．（2018秋•长阳县期末）形状相同的两个平行四边形，面积一定相等．　×　（判断对错）【思路引导】根据平行四边形的面积公式S＝ah，只要底和高的乘积相等即可，由此可以判断．【完整解答】解：如上图，形状相同的两个平行四边形，它们的大小不相同，故面积不相等．题干的说法是错误的．故答案为：×．10．（2021春•新泰市校级月考）一个平行四边形的底为40分米，高为18分米，面积是多少平方分米？【思路引导】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，把数据代入公式解答。【完整解答】解：40×18＝720（平方分米）答：这个平行四边形的面积是720平方分米。11．（2020秋•惠来县期末）一块平行四边形菜地，底20米，高12米，如果每平方米收青菜7.5千克，这块菜地共收青菜多少千克？【思路引导】根据平行四边形的面积公式：S＝ah，求出这块菜地的面积，然后用这块菜地的面积乘每平方米收青菜的质量即可。【完整解答】解：20×12×7.5＝240×7.5＝1800（千克）答：这块菜地共收青菜1800千克。12．（2017秋•海安县校级期末）有一块单面的平行四边形广告牌，高是6.5分米，底是8分米．如果油漆这块广告牌每平方分米用油漆50克，则至少要准备多少克油漆？【思路引导】根据平行四边形的面积＝底×高，求出广告牌的面积，再乘50，即可求出油漆的克数．【完整解答】解：8×6.5＝52（平方分米）52×50＝2600（克）答：至少要准备2600克油漆．13．（2018秋•响水县月考）一块平行四边形的玉米地，为了方便浇灌，中间留了一条小路，如果平均每平方米收获玉米18千克，这块玉米地可以收获玉米多少千克？【思路引导】将两边玉米地向中间平移，可得底为21﹣1＝20米，高为10米的平行四边形玉米地，再根据平行四边形面积公式求求出玉米地的面积，最后根据单价×数量＝总价，列式解答．【完整解答】解：（21﹣1）×10×18＝20×10×18＝3600（千克）答：这块玉米地可以收获玉米3600千克考点2：三角形的周长和面积28．（2021•郑州）一个等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则它的周长是（　　）A．13cm B．17cm C．13cm或17cm D．无法确定【思路引导】根据三角形的任意两边之和大于第三边，和等腰三角形的两腰相等，解答此题即可。【完整解答】解：当腰是3厘米时3+3＜7不能围成三角形，当底是3厘米时3+7＞7能围成三角形。3+7+7＝17（厘米）答：周长是17厘米。故选：B。29．（2021春•会宁县期末）一个等腰三角形的两条边的长分别是a厘米、2a厘米，它的周长是（　　）A．4a厘米 B．5a厘米 C．4a厘米或5a厘米【思路引导】根据三角形任意两边之和大于第三边和等腰三角形的两腰相等，解答此题即可。【完整解答】解：因为a+a＝2a所以a厘米只能做底。2a+2a+a＝5a（厘米）答：它的周长是5a厘米。故选：B。30．（2021•雅安）从四条长度分别为1cm、2cm、3cm、4cm的线段中选3条围成一个三角形，它的周长是（　　）厘米。A．6 B．7 C．8 D．9【思路引导】根据三角形任意两边的和大于第三边，判断出能围成三角形的三段线段，再根据周长的定义，解答此题即可。【完整解答】解：因为1+2＝3，所以1cm、2cm、3cm不能围成三角形；因为1+2＜4，所以1cm、2cm、4cm不能围成三角形；因为2+3＞4，所以4cm、2cm、3cm能围成三角形。2+3+4＝9（厘米）答：它的周长是9厘米。故选：D。31．（2021春•新丰县期中）等腰三角形的周长是24厘米，已知底边是10厘米，腰长是　7　厘米。【思路引导】等腰三角形的两条腰的长度相等，所以用等腰三角形的周长减少底边的长度，再除以2就是一条腰的长度。【完整解答】解：（24﹣10）÷2＝14÷2＝7（厘米）答：腰长是7厘米。故答案为：7。32．（2021•海门市模拟）直角三角形的两直角边为6、8，斜边为10，斜边上有一点到两直角边的距离相等，则这个距离长为 　　。【思路引导】设这个距离为h，根据三角形的面积公式解答即可。【完整解答】解：设这个距离为h6h÷2+8h÷2＝6×8÷2 7h＝24 h＝这个距离是。故答案为：33．（2021春•曹县期中）一个三角形的面积是20平方厘米，底是5厘米，它的高是　8　厘米，与它等底等高的平行四边形的面积是　40　平方厘米。【思路引导】根据三角形的面积＝底×高÷2，那么高＝面积×2÷底，等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的2倍。据此解答。【完整解答】解：20×2÷5＝40÷5＝8（厘米）20×2＝40（平方厘米）答：它的高是8里面，与它等底等高的平行四边形的面积是40平方厘米。故答案为：8、40。34．（2020秋•广东期末）一块三角形菜地的底是60米，高是底的3倍。如果每公顷菜地能收获25吨白菜，这块菜地一共可收获　13.5　吨白菜。【思路引导】先求出菜地的面积，再乘25即可。【完整解答】解：60×60×3÷2＝3600×3÷2＝5400（平方米）5400平方米＝0.54公顷25×0.54＝13.5（吨）所以这块菜地一共可收获白菜13.5吨。故答案为：13.535．（2019秋•红安县期末）一个三角形的面积是4.5cm2，它的一条高为1.5cm，则它对应的底的长度为6cm．　√　（判断对错）【思路引导】由“三角形的面积＝底×高÷2”可得“三角形的高＝三角形的面积×2÷底”，三角形的面积和底已知，代入关系式即可求解．【完整解答】解：4.5×2÷1.5＝9÷1.5＝6（cm）答：它对应的底的长度为6cm．故题干的说法是正确的．故答案为：√．36．（2020秋•双清区期中）三角形的底扩大2倍，高扩大3倍，面积就扩大6倍．　√　．（判断对错）【思路引导】根据三角形的面积公式S＝ah，如果三角形的底扩大2倍，高扩大3倍，则面积扩大为a×2×h×3＝3ah，用扩大后的面积除以原面积即可得解．【完整解答】解：因为三角形的面积公式S＝ah，所以三角形底扩大2倍，高扩大3倍，面积是：a×2×h×3＝3ah，3ah÷ah＝6，即面积是原来的6倍．故答案为：√．37．（2019秋•交城县期末）一个三角形的面积是56平方厘米，底是8厘米，那么高是7厘米．　×　．（判断对错）【思路引导】根据三角形的面积公式，S＝ah÷2，将此公式变形为：h＝2s÷a，求出高即可判断．【完整解答】解：56×2÷8，＝112÷8，＝14（厘米）；答：三角形的高是14厘米．故答案为：×．38．（2018秋•点军区校级期末）求如图阴影部分的面积．【思路引导】阴影部分的面积看作是底为13.2dm，高是3.2dm的三角形的面积，根据三角形的面积＝底×高÷2，解答即可．【完整解答】解：13.2×3.2÷2＝42.24÷2＝21.12（dm2）答：如图阴影部分的面积为21.12dm2．39．（2019秋•交城县期中）计算出下面图形的面积．（单位：厘米）【思路引导】（1）根据三角形的面积公式S＝ah÷2，代入数据列式解答即可；（2）根据平行四边形的面积公式S＝ah，代入数据解答即可．【完整解答】解：（1）8×6÷2＝24（平方厘米）答：三角形的面积是24平方厘米．（2）12×15＝180（平方厘米）答：平行四边形的面积是180平方厘米．40．（2020秋•相城区期末）一个三角形的底长6米，如果底缩短1米，那么面积就减少1.5平方米。那么原来三角形的面积是多少平方米？【思路引导】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，那么h＝2S÷a，用减少的面积的2倍除以减少的底求出原来的高，然后把数据代入公式求出原来的面积。【完整解答】解：1.5×2÷1＝3÷1＝3（米）6×3÷2＝18÷2＝9（平方米）答：原来三角形的面积是9平方米。41．（2020秋•拜泉县期末）少先队员的红领巾是底为80cm、高为32cm的等腰三角形。一年级少先队员入队需要160条红领巾。制作这些红领巾至少需要多少平方米的红布？【思路引导】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，把数据代入公式求出做一条红领巾需要红布的面积，然后用一条需要的面积乘做的条数即可。【完整解答】解：80厘米＝0.8米32厘米＝0.32米0.8×0.32÷2×160＝0.256÷2×160＝0.128×160＝20.48（平方米）答：制作这些红领巾至少需要20.48平方米的红布。42．（2020秋•长春期末）有一块三角形的钢板，底是5米，高是4.4米．这种钢板每平方米重31.4千克．这块钢板重多少千克？【思路引导】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，把数据代入公式求出这块钢板的面积是多少平方米，然后用钢板的面积乘每平方米钢板的质量即可．【完整解答】解：5×4.4÷2×31.4＝11×31.4＝345.4（千克）答：这块钢板重345.4千克．