2023年陕西省西安交大附中中考三模数学试题

这是一份2023年陕西省西安交大附中中考三模数学试题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年陕西省西安交大附中中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．计算的结果等于（    ）
A． B． C． D．19
2．如图是某几何体的三视图，该几何体是(   )

A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
3．某大学芯片研究学院研发的某种芯片的厚度约为米，其中“”用科学记数法可表示为（    ）
A． B． C． D．
4．将一副三角板按如图所示摆放，使含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，则的角度为（    ）

A． B． C． D．
5．关于一次函数的图象，下列说法不正确的是   
A．直线不经过第三象限 B．直线经过点（1，4）
C．直线与轴交于点 D．随的增大而增大
6．如图，为的直径，弦交于点E，，，，则的长为（    ）

A． B． C． D．2
7．把二次函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件（    ）
A． B． C． D．

二、填空题
8．若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为_________．
9．正n边形的中心角为72°，则______．
10．如图所示的曲边三角形是这样画的：先画一个等边三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长长为半径画弧，三段弧围成的图形就是一个曲边三角形．若中间等边三角形的边长是10，则曲边三角形的周长是__________．

11．如图，菱形的边长为17，对角线，点、分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则______．

12．反比例函数的图象过点、，若，则__________（填“”、“”或“”）．
13．在中，，，点D是的中点，点P是内一点，且，连接是的中点，则的最小值是__________．


三、解答题
14．计算：．
15．解不等式：．
16．计算：．
17．如图，在以为直径的半圆上，用尺规在弧上求作一点P，使圆周角．（保留作图痕迹，不写作法）

18．如图，某小区矩形绿地的长宽分别为．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．若扩充后的矩形绿地的长是宽的2倍，求新的矩形绿地的长与宽；

19．如图，和中，，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__________，使和全等．并写出证明过程．

20．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示．，，求点B的坐标．

21．为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字，
（1）“A志愿者被选中”是______事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；
（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者被选中的概率．
22．我校在秦岭植物园劳动教育基地挂牌，标志着劳动教育在西安市开启校外实践新模式．月份学校组织七、八年级学生前往该实践基地开展劳动教育，为了解我校七、八年级学生完成某项任务的时长情况（单位：），分别从七、八年级中各随机抽取了8名学生进行调查，并将调查结果进行收集整理与分析，信息如下：
收集数据：
七年级：              
八年级：              
整理、分析数据：

平均数
中位数
众数
七年级
a
b

八年级


c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：__________，__________，__________；
(2)已知小颖完成该项任务的时长为，通过调査了解到，她完成该项任务的时长比她所在年级半数以上学生用时都少，请判断她所在的年级，并说明理由；
(3)若该校七年级共有600名学生参加此次劳动教育，请估计该校七年级学生中完成该项任务的时长不超过的人数．
23．如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东．

(1)求步道的长度（精确到个位）；
(2)点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，）
24．我国传统的计重工具—秤的应用，方便了人们的生活．如图①，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．表中为若干次称重时所记录的一些数据．
x（厘米）
1
2
4
7
11
12
y（斤）
0.75
1.00
1.50
2.75
3.25
3.50
（1）在表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图②中，通过描点的方法，观察判断哪一对数据是错误的？

（2）①求出y与x之间的函数解析式；
②秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？
25．如图，在中，，以BC为直径作，交边于点D，在上取一点E，使，连接作射线交边于点F．

(1)求证：；
(2)若，，求及的长．
26．如图，已知抛物线经过的三个顶点，其中点，点，轴，点P是直线下方抛物线上的动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线分别交于点E，F，当四边形的面积最大时，求点P的坐标．
27．数学探究小组利用一些三角形彩纸裁剪面积最大的内接正方形，他们就有关问题进行了探究：
定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形．
作图：如图1，正方形的顶点E，F在边上，顶点D在边上，在及其内部，以A为位似中心，作正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大．
实践操作：

(1)第一小组拿到的钝角三角形原材料，你认为在钝角三角形中存在 个内接正方形；
(2)第二小组拿到的是直角三角形原材料，小明说：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大．小丽同学认为他的结论不正确，她通过计算腰长为1的等腰直角三角形（如图2和图3）的情况给予说明，请你帮助小丽同学完成计算和说理过程；
(3)第三小组拿到的是不等边锐角三角形原材料，小华同学认为：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．小华同学己经写出了题设条件，请你帮助他完成推理过程．如图4，设锐角的三条边分别为a、b、c不妨设，三条边上的对应高分别为、、，内接正方形的边长分别为、、．

参考答案：
1．B
【分析】根据有理数的加法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
2．D
【分析】根据三视图都是长方形即可判断该几何体为长方体．
【详解】解：长方体的三视图都是长方形，
故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟知基本几何体的三视图，正确判断几何体．
3．B
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定a与n的值是解题的关键．
4．B
【分析】根据平行线的性质可得的度数，再根据三角形内角和定理可得的度数．
【详解】解：∵含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，如图所示：

∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板中角度的特点，三角形内角和定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
5．D
【分析】根据一次函数的图象与性质逐项分析即可．
【详解】解：．，，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，
即一次函数的图象不经过第三象限，选项不符合题意；
．当时，，
一次函数的图象经过点，选项B不符合题意；
．当时，，
解得：，
一次函数的图象与轴交于点，选项C不符合题意；
．，
随的增大而减小，选项D符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，直线与x轴的交点等知识，掌握一次函数的图象与性质是关键．
6．C
【分析】连接，根据垂径定理的推论可得，再由圆周角定理可得，根据锐角三角函数可得，，即可求解．
【详解】解：如图，连接，

∵为的直径，，
∴，
∵，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、解直角三角形，熟练掌握垂径定理、圆周角定理、特殊角的三角函数值是解题的关键．
7．A
【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为，再求得平移后的顶点坐标为，根据题意得到不等式，据此即可求解．
【详解】解：∵平移前二次函数解析式为，
∴平移前二次函数的顶点坐标为，
∴平移后二次函数的顶点坐标为，即
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，且平移后的二次函数开口向上，
∴平移后的二次函数只能是与y轴有一个交点，与x轴没有交点，
∴平移后的二次函数顶点一定在x轴上方，
∴，
解得：，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
8．-2
【分析】由题目已知x=1是方程的根，代入方程后求出k的值，再利用一元二次方程的求根方法即可答题．
【详解】解：将x=1代入一元二次方程有：，k=-1，
方程

即方程的另一个根为x=-2
故本题的答案为-2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程用已知根求方程未知系数以及利用因式分解法解一元二次方程，其中利用已知根代入方程求出未知系数是解题的关键．
9．5
【分析】根据正多边形的中心角之和为360°计算即可．
【详解】根据题意有：，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角之和为360°是解答本题的关键．
10．
【分析】根据等边三角形的性质，得出每一条弧对应的圆心角是，所在圆的半径都是10，再根据弧长公式求出即可．
【详解】解：是等边三角形，
，，
，
曲边三角形的周长为．
故答案为：．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和弧长的计算，熟记圆心角为，半径为的弧的长度是解题的关键．
11．16
【分析】连接BD与AC交于点O，根据菱形的性质和三角形的中位线性质，可证四边形BDEG是平行四边形，即EG=BD，根据菱形对角线的性质，在Rt△COD中可计算出DO的长度，即可算出BD的长度，即可得出答案．
【详解】解：连接，交于点，如图：

∵菱形的边长为17，点、分别是边、的中点，
∴，，，
∵、是菱形的对角线，，
∴，，，
又∵，，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴BD=EG，
在中，∵，，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：16
【点睛】本题主要考查了菱形的性质及三角形中位线的性质，熟练应用性质进行证明和计算是解决本题的关键．
12．
【分析】先证明，进而得到反比例函数的图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴反比例函数的图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，
∵反比例函数的图象过点、，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键在于熟知对于反比例函数，当时，在每个象限内，y随x增大而减小，当时，在每个象限内，y随x增大而增大．
13．
【分析】如图所示，取中点E，连接，证明得到，进而推出当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为，在中，由勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，取中点E，连接，

∵点D是的中点，，
∴，
∵是的中点，E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值是
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，两点之间线段最短，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14．
【分析】先化简二次根式、去绝对值，计算零次幂和负整数次幂，再进行加减运算．
【详解】解：



【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质，以及零次幂和负整数次幂的运算法则．
15．
【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
16．
【分析】先将括号里通分计算，所得的结果再和括号外的分式进行计算即可．
【详解】解：
=
=
=．
【点睛】本题考查了平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项、分式的混合运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
17．见解析
【分析】作线段的垂直平分线交半圆于P，点P即为所求．
【详解】解：如图所示，点P即为所求；
作线段的垂直平分线交半圆于P，连接，
∴，
∵为半圆的直径，
∴，
∴．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，线段垂直平分线的性质和尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键．
18．
【分析】设绿地的长、宽增加的长度为，然后根据扩充后的矩形绿地的长是宽的2倍，列出方程求解即可．
【详解】解：设绿地的长、宽增加的长度为，
由题意得，，
解得，
∴，，
∴新的矩形绿地的长与宽分别为．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．
19．添加条件，证明见解析（答案不唯一）
【分析】根据题意可得，根据全等三角形的判定定理可知只需要添加一条对应边相等即可，由此求解即可．
【详解】解：添加条件，证明如下：
在和中，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有等等．
20．
【分析】如图所示，过点B作轴于D，先根据菱形的性质得到，，则，解求出的长，进而求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点B作轴于D，

∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，解直角三角形，菱形的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21．（1）随机；（2）
【分析】（1）随机事件是在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，随机事件与确定性事件相比，是不确定的，因为对这种事件我们不能确定它是发生呢，还是不发生，即对事件的结果无法确定．根据定义可得答案；
（2）先画树状图得到所有的等可能的结果数，得到都被选中的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案．
【详解】解：（1）由随机事件的定义可得：
“A志愿者被选中”是随机事件，
故答案：随机．
（2）画树状图如下：

一共有种等可能的结果，其中都被选中的结果数有种，
A，B两名志愿者被选中的概率
【点睛】本题考查的是随机事件的概念，利用画树状图或列表的方法求解简单随机事件的概率，掌握列表法或画树状图的方法是解题的关键．
22．(1)，，
(2)小颖所在的年级为七年级，理由见解析
(3)人

【分析】（1）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据题意可知小颖的时长低于其所在年级的中位数，由此即可得到答案；
（3）用乘以七年级样本中时长不超过的人数占比即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，；
将七年级的时长从小到大排列，处在第4名和第5名的分别为，，
∴；
∵八年级数据中，时长为出现了三次，出现的次数最多，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：小颖所在的年级为七年级，理由如下：
∵小颖完成该项任务的时长为，她完成该项任务的时长比她所在年级半数以上学生用时都少，
∴小颖的时长一定低于其所在年级的中位数，
∵，
∴小颖所在的年级为七年级；
（3）解：人，
∴计该校七年级学生中完成该项任务的时长不超过的人数为人．
【点睛】本题主要考查了平均数，中位数，众数，用样本估计总体，灵活运用所学知识是解题的关键．
23．(1)283米
(2)经过点到达点较近

【分析】（1）过作的垂线，垂足为，可得四边形ACHE是矩形，从而得到米，再证得△DEH为等腰直角三角形，即可求解；
（2）分别求出两种路径的总路程，即可求解．
【详解】（1）解：过作的垂线，垂足为，

∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°，
∴四边形ACHE是矩形，
∴米，
根据题意得：∠D=45°，
∴△DEH为等腰直角三角形，
∴DH=EH=200米，
∴（米）；
（2）解： 根据题意得：∠ABC=∠BAE=30°，
在中，
∴米，
∴经过点到达点，总路程为AB+BD=500米，
∴（米），
∴（米），
∴经过点到达点，总路程为，
∴经过点到达点较近．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
24．（1）见解析，x＝7，y＝2.75这组数据错误；（2）①y＝；②4.5斤
【分析】（1）利用描点法画出图形即可判断．
（2）①设函数关系式为y＝kx+b，利用待定系数法解决问题即可．
②根据①中求得的函数解析式，当x＝16时，可求得函数值．
【详解】（1）观察图象可知：x＝7，y＝2.75这组数据错误．

（2）①设y＝kx+b，把x＝1，y＝0.75，x＝2，y＝1代入可得：，
解得，
∴y＝，
②在y＝中，当x＝16时，y＝4.5．
故秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤．
【点睛】本题考查了描点法画一次函数图象，待定系数法求一次函数解析式，求函数值等知识，学好函数，离不开函数解析式、函数图象和性质三部分．
25．(1)见解析
(2)，

【分析】（1）根据中，，得到，根据，得到，推出；
（2）根据，，得到，，推出，根据，求出；连接，解求出，进而求出，再证明，推出，再根据相似三角形对应边成比例即可求出的长．
【详解】（1）证明：∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
连接，，
∵是的直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上可知：，．

【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质．
26．(1)
(2)

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出抛物线对称轴为直线，进而求出点C的坐标，再求出直线的解析式为，设，则，则，再由，得到，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过的三个顶点，其中点，点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线
∵轴，且点C在抛物线上，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴


，
∵，，
∴当时，最大，
∴此时点P的坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等灵活运用所学知识是解题的关键．
27．(1)1
(2)小明的结论不正确，理由见解析
(3)见解析

【分析】（1）分别讨论内接正方形有两个顶点在钝角三角形的三边上，根据三角形内角和定理进行求解即可；
（2）分别求出图2和图3中两个内接正方形的边长即可得到答案；
（3）如图所示，四边形是的内接正方形，过点A作，证明，得到，进而得到，则同理可得，，即可推出，再由，推出，得到，同理可证，由此即可得到结论．
【详解】（1）解：在钝角三角形中存在1个内接正方形，理由如下：
不妨设为钝角三角形，，
如图1-1所示，当内接正方形有两个顶点在上时，是可以得到1个内接正方形的；

如图1-2所示，当内接正方形有两个顶点在上时，则在中，，显然违背了三角形内角和定理，此种情形不成立；
同理当当内接正方形有两个顶点在上时，，此种情形不成立；
综上所述，在钝角三角形中存在1个内接正方形；

（2）解：小明的结论不正确，理由如下：
在等腰中，，
∴；
如图2所示，设，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；

如图3所示，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴小明的结论不正确；

（3）解：如图所示，四边形是的内接正方形，过点A作，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
同理可得，，
∴


，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
同理可证，
∴在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键．