《函数的概念和图象》示范公开课教案【高中数学苏教版】

第5章   函数概念与性质

5.1  函数的概念和图象

第2课时  函数的概念和图象

1. 了解构成函数的要素；

2. 理解函数图象是点的集合，能熟练作出一些初等函数的图象；

3. 能求简单函数的定义域和值域．

教学重点：熟练作出一些初等函数的图象．

教学难点：求简单函数的定义域．

PPT课件．

一、新课导入

问题1：1. 函数定义中的“三性”是指哪些？

2．函数的三要素是指什么？

师生活动：学生先回忆总结，老师补充．

预设的答案：1.函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．

2.定义域、值域与对应关系．

【想一想】初中如何求一个函数中自变量的取值范围的？高中又如何求出函数的定义域？

设计意图：承上启下，引入新课．

引语：要解决这个问题，就需要进一步学习函数的概念和图象．（板书：5.1.1函数的概念和图象）

【探究新知】

问题2：画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题．

(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；

(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：抛物线f(x)＝－x2＋2x＋3的顶点为(1，4)和x轴交点为(－1，0)，(3，0)，和y轴交点为(0，3)得函数图象如图．  

(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(3)<f(0)<f(1)．

(2)根据图象，容易发现当x1<x2<1时，有f(x1)<f(x2)．

问题3：如何求函数的定义域．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：由可得：，

解得：，且 ，

∴函数的定义域为：，

故答案为：．

追问：（1）已知的定义域为，求函数的定义域；

（2）已知的定义域为，求的定义域；

预设的答案：（1）∵中的的范围与中的x的取值范围相同．

∴，∴，即的定义域为．

（2）由题意知中的，∴．

又中的取值范围与中的x的取值范围相同，

∴的定义域为．

问题4：求下列函数的值域：

(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；

(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．

(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象，可得函数的值域为[2,6)．

设计意图：培养学生分析和归纳的能力.

【巩固练习】

例1. 作出下列函数的图象．

(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；

(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：(1)∵x∈Z且|x|≤2，

∴x∈{－2，－1，0，1，2}．

∴图象为一直线上的孤立点(如图(1))．

 (2)∵y＝2(x－1)2－5，

∴当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；

当x＝1时，y＝－5．所画函数图象如图．

∵x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图(2))．

反思与感悟：作函数y＝f(x)的图象分两种类型： 

(1)若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则通过描出y＝f(x)的图象上的一些关键点画出y＝f(x)的图象；

(2)若y＝f(x)不是已学过的基本初等函数，则需要通过列表，描点、连线，这些基本步骤作出y＝f(x)的图象．　

设计意图：明确函数的图象的画法．

例2. 求下列函数的定义域：

(1)y＝； (2)y＝.

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 解得x≤1且

x≠－1，即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．

(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤5且x≠±3，

即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}．

设计意图：明确函数的定义域的求法．

例3. 求下列函数的值域：

(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；(3)y＝．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．

(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象[如图(1)]，可得函数的值域为[2,6)．

(3)(分离常数法)y＝＝＝2＋，显然≠0，所以y≠2．故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．

设计意图：明确函数的值域的求法．

【课堂小结】

1．     板书设计：

5.1.1函数的概念和图象

1.  函数的图象的画法    例1

2.  求函数的定义域      例2

3.  求函数的值域        例3

2．总结概括：

问题：1.求函数的定义域应关注哪些问题？

2. 求函数值域的方法是什么？

3.如何求复合函数定义域？

师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．

预设的答案：

1.求函数的定义域应关注四点：

(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0．

(2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．

(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．

(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

2. 求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：

(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；

(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；

(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．

3.（1）已知的定义域为，求的定义域：解不等式即可得解；

（2）已知的定义域为，求的定义域：求出在上的值域即可得解；

（3）已知的定义域为，求的定义域：先用类型二求出的定义域，再用类型一求出的定义域．

设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确函数的概念与图象的有关知识．

布置作业：

【目标检测】

1. 函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

设计意图：巩固函数的定义域的求法。

2. 下列各图中，是函数图像的是（    ）

A．B．

C．D．

设计意图：巩固函数的图象的画法．

3. 若两个函数的解析式与值域相同，定义域不同，则称它们互为“孪生函数”，那么函数，的“孪生函数”个数为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

设计意图：巩固函数的值域的求法。

4．函数的值域为（    ）

A． B．

C． D．

设计意图：巩固函数的值域的求法．

5. 已知函数的定义域是，则的定义域是（    ）

A． B． C． D．

设计意图：巩固复合函数的定义域的求法．

参考答案：

1. 函数有意义，则必有，解得且．

函数的定义域为．故选：C．

2.根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应，满足条件的只有BD．故选：BD．

3. 根据题意，，定义域为的“孪生函数”的定义域的情况有，共2个．故选：C．

4. ，因为，所以，所以函数的值域为，故选：D．

5. 因为函数的定义域是，所以，

要使有意义，只需，解得．

所以的定义域是.故选：C．