数学苏教版 (2019)5.2 函数的表示方法教学设计

第5章   函数概念与性质

5.2  函数的表示方法

  第1课时  函数的表示方法

1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点．

2.掌握求函数解析式的常见方法．

3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．

教学重点：函数的三种表示法．

教学难点：求函数的解析式．

PPT课件．

一、新课导入

如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容他；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容他；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容他；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容他．那么对于函数，又有哪些不同的表示方法呢？

引语：要解决这个问题，就需要进一步学习函数的表示方法．（板书：5.2.1  函数的表示方法）

设计意图：情境导入，直入新课．

【探究新知】

问题1：观察下列图表．

(1)如图所示的是我国人口出生率变化曲线：

 (2)下表是大气中氰化物浓度与距污染源距离的关系表：

图表中表示的两者的关系都是函数关系吗？分别是什么表示方法？

师生活动：学生分析，给出答案．

预设的答案：(1)中“出生率”是“年份”的函数，是用“图象法”表示的．

(2)中“氰化物浓度”是“污染源距离”的函数，是用“列表法”表示的．

问题2：语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！……，那么对于函数，又有哪些不同的表示方法呢？

答：对于函数，常用的表示方法有：解析法、图象法、列表法．

设计意图：问题导入，直奔主题．

问题３：已知f(x)的解析式，我们可以用代入法求f(g(x))，反之，若已知f(g(x))，如何求f(x)．

师生活动：学生分析，给出答案．

预设的答案：若已知f(g(x))的解析式，我们可以用换元法或配凑法求f(x)．

追问1：若已知函数的类型，求函数的解析式通常用什么方法？这种方法的一般步骤是怎样的？

预设的答案：若已知函数的类型，可用待定系数法求解．即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列出方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定的系数，进而求出函数解析式．

追问2：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，如何求函数的解析式？

预设的答案：可构造方程组求解．

设计意图：培养学生分析和归纳的能力．

【巩固练习】

例1. 已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1,2,3,4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x)．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示．

用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示：

设计意图：通过简单函数，明确函数的三种表示方法．

例2. 作出下列函数图象并指出其值域：

(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：(1)∵x∈Z且|x|≤2，∴x∈{－2，－1,0,1,2}．所以图象为一直线上的孤立点，如图所示，由图可知函数的值域为{3，2,1,0, －1}．

(2)∵y＝2(x－1)2－5，∴当x＝0时，y＝－3；

当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5．所画函数图象如图所示．

由图可知函数的值域为[－5，3)

反思与感悟：函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．

设计意图：通过简单函数，明确函数的图象的画法及运用．

例3. 求下列函数的解析式：

(1)已知函数，求f(x)；

(2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)；

(3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：(1)方法一：(换元法)设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．

∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．

方法二：(配凑法)∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，

∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．

(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1．

又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，

整理，得2ax＋(a＋b)＝2x．

由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，

∴解得∴f(x)＝x2－x＋1．

（3）∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①

∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x．②

∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝x2－2x．

反思与感悟：(1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．

(2)如果已知f(g(x))的表达式，想求f(x)的解析式，可以设 t＝g(x)，然后把f(g(x))中每一个x都换成t的表达式．

(3)如果条件是一个关于f(x)，f(－x)的方程，我们可以用x的任意性进行赋值．如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f(x)，f(－x)的方程，然后利用消元法消去f(－x)．

设计意图：通过例题，熟练掌握函数的解析式的求法．

【课堂小结】

1．     板书设计：

5.2.1  函数的表示方法

1. 函数的三种表示方法     例1

2. 函数的图象及应用       例2

3. 函数的解析式的求法     例3

2．总结概括：

问题：1.函数的三种表示方法的注意点有哪些？

2.如何求函数的解析式？

师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．

预设的答案：

1. 在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线．

2. 求函数解析式的4种常用求法：

(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；

(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(4)解方程组法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确函数的表示方法的有关知识．

布置作业：

【目标检测】

1. 图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为，注水时间为，则下面选项中最符合关于的函数图象的是（ 　）

A． B．

C． D．

设计意图：巩固函数的表示方法——图像法．

2. 如图，设有圆O和定点C，当从开始在平面上绕O匀速旋转（旋转角度不超过）时，它扫过圆内阴影部分面积S是时间t的函数，它的图像大致是如下哪一种（    ）

A．              B．

C． D．

设计意图：巩固函数的表示方法——图像法．

3. 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．

(1)f(g(1))＝________；(2)若g(f(x))＝2，则x＝________．

设计意图：巩固函数的表示方法——列表法．

4. 画出下列函数的图象：

(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．

设计意图：巩固函数的表示方法——图像法．

5. 求下列函数的解析式：

（1）已知函数，求；

（2）已知一次函数满足，求；

（3）已知，，求的解析式．

设计意图：巩固函数的表示方法——解析法．

参考答案：

1. 水壶的结构：低端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下：

开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后水上升的速度又变快，

由图可知选项A符合，故选：A．

2. 当直线从初始位置转到经过点的过程中阴影部分面积增加的越来越快，图像越来越“陡峭”；从过点的位置转至结束时阴影部分面积增加的越来越慢，图像越来越“平缓”，故选：C．

3. (1)由表知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1．

(2)由表知g(2)＝2，又因g(f(x))＝2，得f(x)＝2，再由表知x＝1．

4.(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①．

(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②．

5.（1）令，则，，

所以，，

所以．

（2）设，则由，

得，即，故解得，所以．

（3）由题知，，①

又，②

由①②得，，

则．