高中数学苏教版 (2019)必修 第一册2.3 全称量词命题与存在量词命题教案设计

第2章   常用逻辑用语

2.3.1   全称量词命题与存在量词命题

第1课时

1． 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．

2． 掌握全称量词命题和特称量词命题的定义，并能判断它们的真假．

3． 能把一些简单命题表述成全称量词命题和特称量词命题．

教学重点：理解全称量词、存在量词的含义．

教学难点：全称量词命题和特称量词命题的定义，并能判断它们的真假．

PPT课件．

一、新课导入

问题1：“哥德巴赫猜想”大致可以分为两个猜想：(1)每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；(2)每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和．虽然通过大量试验，这两个命题是正确的，但是还需要证明．从1920年布朗证明“9＋9”到1966年陈景润攻下“1＋2”，历经46年．自“陈氏定理”诞生至今的40多年里，人们对哥德巴赫猜想的进一步研究，均劳而无功．

引语：要解决这个问题，就需要进一步学习全称量词命题和特称量词命题．（板书：全称量词命题和特称量词命题）

【探究新知】

问题2：阅读课本P34~35页，回答下列问题

思考　1.观察下列命题：

(1)所有的质数都是奇数；

(2)每一个四边形都有外接圆；

(3)任意实数x，x2≥0．

以上三个命题有什么共同特征？

2.观察下列命题：

(1)有些矩形是正方形；

(2)存在实数x，使x>5；

(3)至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0．

以上三个命题有什么共同特征？

师生活动：学生阅读，给出答案．

预设的答案：1.都使用了表示“全部”的量词，如“所有”、“每一个”、“任意”．

2.都使用了表示“存在”的量词，如“有些”、“存在”、“至少有一个”．

追问：全称量词与存在量词的意义、全称量词命题和特称量词命题的定义是什么？

预设的答案：1.全称量词与全称量词命题

2． 存在量词与存在量词命题

设计意图：阅读教材，梳理概念．

【巩固练习】

例1． 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？

(1)指数函数都是单调函数；

(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；

(3)负数的平方是正数；

(4)有的实数是无限不循环小数；

(5)有些三角形不是等腰三角形；

(6)每个二次函数的图象都与x轴相交．

师生活动：判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，关键是两点：一是是否具有两类命题所要求的量词；二是根据命题的含义判断指的是全体，还是全体中的个别元素．对于没有量词的命题需要补全量词在进行判别．

预设的答案：　(1)中含有全称量词“都”，所以是全称量词命题．

(2)中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在量词命题．

(3)中省略了全称量词“都”，所以是全称量词命题．

(4)中含有存在量词“有的”，所以是存在量词命题．

(5)中含有存在量词“有些”，所以是存在量词命题．

(6)中含有全称量词“每个”，所以是全称量词命题．

反思与感悟：判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．

设计意图：加深对全称量词命题和存在量词命题概念的理解，并能正确运用．

例2． 判断下列命题的真假．

(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；

(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；

(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；

(4)∀x∈N，x2>0．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：(1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．

(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．

(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．

(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．

反思与感悟：要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．

要判定存在量词命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题．

设计意图：掌握全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法．

例3． 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，

所以B⊆A，B≠∅，所以解得2≤m≤3．

设计意图：掌握与运用含量词命题的真假求参数的取值范围．

反思与感悟：已知含量词命题的真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．

【课堂小结】

1．板书设计：

2.3.1   全称量词命题与存在量词命题

1． 全称量词命题与存在量词命题的判断                   例1

2． 全称量词命题与存在量词命题的真假的判断             例2

3． 由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的范围     例3

2．总结概括：

问题：（1）如何判断一个语句是全称量词命题或存在量词命题？

（2）如何判断全称量词命题或存在量词命题的真假？

师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．

预设的答案：（1）

（2）要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．

要判定存在量词命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题就是假命题．

设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确全称量词命题、存在量词命题的概念，并能判断其真假．

布置作业：

【目标检测】

1． 以下量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有(　　)

A．2个     B．3个　   C．4个 D．5个

设计意图：巩固全称量词还是存在量词概念．

2． 下列命题：

①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；

②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；

③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；

④存在x使得x2＋2x＋1＝0成立．

其中是全称量词命题的有(　　)

A．1个     B．2个　  C．3个 D．0个

设计意图：巩固全称量词命题还是存在量词命题概念．

3． 四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∃x∈R，4x2>2x－1＋3x2．其中真命题的个数为_____．

设计意图：全称量词命题、存在量词命题的真假判断．

4． 用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假：

（1）实数都能写成小数形式．

（2）有的有理数没有倒数．

（3）不论m取什么实数，方程x2+x-m=0必有实根．

（4）存在一个实数x，使x2+x+4≤0．

设计意图：全称量词命题、存在量词命题的真假判断．

5． 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∃x∈A，x∈B”，求m的取值范围．

设计意图：握与运用含量词命题的真假求参数的取值范围．

参考答案：

1． “有的”“有些”“有一个”“至少”都是存在量词．故选C．

2． ②③含有全称量词，所以是全称量词命题．故选B．

3． x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．

当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，

对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，

4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，

即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．

4．（1） ∀a∈R，a都能写成小数形式，此命题是真命题．

（2） ∃x∈Q，x没有倒数，有理数0没有倒数，故此命题是真命题．

（3） ∀m∈R，方程x2+x－m=0必有实根．当m=－1时，方程无实根，是假命题．

（4） ∃x∈R，使x2+x+4≤0．x2+x+4=+>0恒成立，所以为假命题．

5．p为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m≥2．

所以解得2≤m≤4．