初中数学29.1 投影优秀同步训练题

初中数学培优措施和方法

1、拓宽解题思路。数学解题不要局限于本题，而要做到举一反三、多思多想

2、细节决定成败。审题的细节、知识理解的细节、运用公式的细节、忽视检验的细节等，细节决定成败。

3、制作错题集。收集自己的错误，分门别类，没事时就翻一翻，看一看，自警一番，肯定会有很大的收获。

4、查自己欠缺的知识。关键的是做好知识准备，检查漏洞；其次是对解题常犯错误的准备

5、把好的做法形成习惯。注意书写规范，重要步骤不能丢，丢步骤等于丢分。

6、主动思考，全心投入。听课过程中，要主动思考，这样遇到实际问题时，会应用所学的知识去解答问题。

专题29.1投影

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020春•贵阳月考）下列投影现象属于平行投影的是（　　）

A．手电筒发出的光线所形成的投影 

B．太阳光发出的光线所形成的投影 

C．路灯发出的光线所形成的投影 

D．台灯发出的光线所形成的投影

【分析】根据中心投影和平行投影的定义进行判断．

【解析】手电筒发出的光线所形成的投影、路灯发出的光线所形成的投影和台灯发出的光线所形成的投影都为中心投影；太阳光发出的光线所形成的投影为平行投影．

故选：B．

2．（2020•安顺）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对C、D进行判断．

【解析】A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误；

B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误；

C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项正确．

D、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项错误；

故选：C．

3．（2020•西乡塘区模拟）长方形的正投影不可能是（　　）

A．正方形 B．长方形 C．线段 D．梯形

【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得出答案．

【解析】在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形．

故长方形的正投影不可能是梯形，

故选：D．

4．（2020•南岸区模拟）如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（　　）

A．3 B．5 C．6 D．7

【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的长．

【解析】延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，

∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．

∴PD＝1，PE＝2，AB＝3，

∵AB∥A′B′，

∴△PAB∽△PA′B′，

∴，即，

∴A′B′＝6，

故选：C．

5．（2019秋•唐山期末）下列光线所形成的投影不是中心投影的是（　　）

A．太阳光线 B．台灯的光线 

C．手电筒的光线 D．路灯的光线

【分析】利用中心投影和平行投影的定义判断即可．

【解析】中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有A选项得到的投影为平行投影．

故选：A．

6．（2019秋•丹东期末）如图是一棵小树一天内在太阳下不同时刻的照片，将它们按时间先后顺序进行排列正确的是（　　）

A．③﹣④﹣①﹣② B．②﹣①﹣④﹣③ C．④﹣①﹣②﹣③ D．④﹣①﹣③﹣②

【分析】根据平行投影的意义可得，树的影子的位置、长度随时间的变化而变化，进行判断即可．

【解析】根据影子的位置和长度，可以判断照片的先后顺序，

早晨太阳再东方，树的影子在树的西方，影长较长，随时间的推移，影子的位置依次经过西北、北、东北、东，

影长先逐渐变短，随后又逐渐变长，

故顺序为：②①④③，

故选：B．

7．（2019秋•顺德区期末）如图，一人在两等高的路灯之间走动，GB为人AB在路灯EF照射下的影子，BH为人AB在路灯CD照射下的影子．当人从点C走向点E时两段影子之和GH的变化趋势是（　　）

A．先变长后变短 B．先变短后变长 

C．不变 D．先变短后变长再变短

【分析】连接DF，延长BA交DF于M，则AM⊥DF，BM＝CD＝FE，依据△ADF∽△AHG，即可得到GH，进而得出结论．

【解析】如图所示，连接DF，延长BA交DF于M，则AM⊥DF，BM＝CD＝FE，

∵GH∥DF，

∴△ADF∽△AHG，

又∵AB⊥GH，AM⊥DF，

∴，

即GH，

∵当人从点C走向点E时，DF、AB的长不变，AM的长也不变，

∴GH的长也不变，

故选：C．

8．（2020•南岸区自主招生）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4.5m．则路灯的高度OP为（　　）

A．3m B．4m C．4.5m D．5m

【分析】利用相似三角形的性质求解即可．

【解析】∵AB∥OP，

∴△CAB∽△COP，

∴，

∴，

∴OP＝5（m），

故选：D．

9．（2019•广西模拟）把一个正三棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正三棱柱时的正投影是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据平行投影特点以及图中正三棱柱的摆放位置即可求解．

【解析】把一个正三棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正三棱柱时的正投影是正三角形．

故选：B．

10．（2018秋•相城区期中）圆桌面（桌面中间有一个直径为1m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面2m，则地面圆环形阴影的面积是（　　）

A．2πm2 B．3πm2 C．6πm2 D．12πm2

【分析】先根据AC⊥OB，BD⊥OB可得出△AOC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例可求出BD的长，进而得出BD′＝1m，再由圆环的面积公式即可得出结论．

【解析】如图所示：

∵AC⊥OB，BD⊥OB，

∴△AOC∽△BOD，

∴，即，

解得：BD＝2m，

同理可得：AC′m，则BD′＝1m，

∴S圆环形阴影＝22π﹣12π＝3π（m2）．

故选：B．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020•金乡县一模）下面4个图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是　④①③②　．

【分析】根据北半球上，从早晨到傍晚影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长的变化规律，可得先后顺序为④①③②．

【解析】依题意，由于太阳是从东边升起，故影子首先指向西方的．然后根据太阳的位置可判断变化规律为④①③②．

12．（2019•望花区三模）如图，物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是　中心　投影．（填“平行”或“中心”）．

【分析】根据光线发出的形式，由一点发出的光线，形成的投影是中心投影．

【解析】由于光源是由一点发出的，因此是中心投影，

故答案为：中心．

13．（2019秋•丰台区期末）在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为　12　m．

【分析】利用平行投影的性质，相似三角形的对应边成比例解答．

【解析】设旗杆的高度为xm，

根据题意，得：，

解得x＝12，

即旗杆的高度为12m，

故答案为：12．

14．（2020•槐荫区模拟）如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为　4　m．

【分析】利用中心投影的性质可判断△CDE∽△CBA，再根据相似三角形的性质求出BC的长，然后计算BC﹣CD即可．

【解析】∵DE∥AB，

∴△CDE∽△CBA，

∴，即，

∴CB＝6，

∴BD＝BC﹣CD＝6﹣2＝4（m）．

故答案为4．

15．（2020秋•济南期中）如图，甲楼AB高18米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1：，已知两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE＝　（18﹣10）　米．（结果保留根号）

【分析】设FE⊥AB于点F，那么在△AEF中，∠AFE＝90°，解直角三角形AEC可以求得AF的长，进而求得DE＝AB﹣AF即可解题．

【解析】设冬天太阳最低时，甲楼最高处A点的影子落在乙楼的E处，那么图中ED的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，

设FE⊥AB于点F，那么在△AEF中，∠AFE＝90°，EF＝20米．

∵物高与影长的比是1：，

∴，

则AFEF＝10，

故DE＝FB＝18﹣10．

故答案为（18﹣10）

16．（2020•永康市模拟）航拍器拍出的照片会给我们视觉上带来震撼的体验，越来越受追捧．如图，航拍器在空中拍摄地面的区域是一个圆，且拍摄视角α固定：

（1）现某型号航拍器飞行高度为36m，测得可拍摄区域半径为48m．若要使拍摄区域面积为现在的2倍，则该航拍器还要升高　（3636）　m；

（2）航拍器由遥控器控制，与（1）中同型号的航拍器最远飞行距离为距遥控器2000m，则该航拍器可拍摄区域的最大半径为　　m．（忽略遥控器所在高度）

【分析】（1）由题意：tan，拍摄区域面积为现在的2倍，推出可拍摄区域半径为48m，设航拍器飞行高度为hm，构建方程即可解决问题．

（2）设航拍器可拍摄区域的最大半径为rm．则有，解方程即可解决问题．

【解析】（1）由题意：tan，

∵拍摄区域面积为现在的2倍，

∴可拍摄区域半径为48m，设航拍器飞行高度为hm，

则有tan，

∴h＝36，

该航拍器还要升高（3636）m，

故答案为（3636）．

（2）设航拍器可拍摄区域的最大半径为rm．

则有，

解得r，

故答案为．

17．（2019•会宁县模拟）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图所示的是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC的高为a，已知冬至时北京的正午日光的入射角∠ABC为30°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离即BC的长）为　　（用含a的代数式表示）

【分析】根据题意和图形，可以用含a的式子表示出BC的长，从而可以解答本题．

【解析】由题意可得，

立柱根部与圭表的冬至线的距离为：，

故答案为：．

18．（2019•平谷区一模）小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为（2，0），则点E的坐标是　（4，0）　．

【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．

【解析】∵BC∥DE，

∴△ABC∽△ADE，

∴，

∵BC＝1.2，

∴DE＝2，

∴E（4，0）．

故答案为：（4，0）．

三．解答题（共6小题，满分46分）

19．（2019秋•薛城区期末）小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE＝0.4米．

（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．

（2）如果BF＝1.6，求旗杆AB的高．

【分析】（1）利用太阳光线为平行光线作图：连结CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求；

（2）证明△ABF∽△CDE，然后利用相似比计算AB的长．

【解析】（1）连结CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求，如图；

（2）∵AF∥CE，

∴∠AFB＝∠CED，

而∠ABF＝∠CDE＝90°，

∴△ABF∽△CDE，

∴，即，

∴AB＝8（m）．

答：旗杆AB的高为8m．

20．（2020秋•二七区月考）如图，路灯（P点）距地面9米，身高1.5米的小云从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？

【分析】根据AC∥BD∥OP，得出△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP，再利用相似三角形的性质进行求解，即可得出答案．

【解析】∵∠MAC＝∠MOP＝90°，

∠AMC＝∠OMP，

∴△MAC∽△MOP，

∴，

即，

解得，MA＝4米；

同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB＝1.2米，

则马晓明的身影变短了4﹣1.2＝2.8米．

∴变短了，短了2.8米．

21．（2019秋•揭西县期末）如图，在地面上竖直安装着AB、CD、EF三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子为BG与DH．

（1）填空：判断此光源下形成的投影是：　中心　投影．

（2）作出立柱EF在此光源下所形成的影子．

【分析】（1）根据在同一时刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子为BG与DH，连接GA、HC并延长交于点O，据此判断即可；

（2）连接OE并延长交直线HG于I，于是得到结论．

【解析】（1）如图所示：此光源下形成的投影是：中心投影，

故答案为：中心；

（2）如图所示，线段FI为立柱EF在此光源下所形成的影子．

22．（2019秋•达川区期末）如图所示，阳光透过长方形玻璃投射到地面上，地面上出现一个明亮的平行四边形，杨阳用量角器量出了一条对角线与一边垂直，用直尺量出平行四边形的一组邻边的长分别是30cm，50cm，请你帮助杨阳计算出该平行四边形的面积．

【分析】先利用勾股定理计算AC，然后根据平行四边形的面积求解．

【解析】如图，AB＝30cm，BC＝50cm，AB⊥AC，

在Rt△ABC中，AC40cm，

所以该平行四边形的面积＝30×40＝1200（cm2）．

23．（2020•碑林区校级一模）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，求出x的最小值．

【分析】依据CD∥AB，即可得到△OCD∽△OAB，再根据相似三角形的性质可得，即可得到x的最小值为10．

【解析】如图，由题可得CD∥AB，

∴△OCD∽△OAB，

∴，

即，

解得x＝10，

∴x的最小值为10．

24．（2008秋•同江市校级期末）高高地路灯挂在路边的上方，高傲而明亮，小明拿着一根2米长的竹竿，想量一量路灯的高度，直接量是不可能的，于是，他走到路灯旁的一个地方，竖起竹竿，这时，他量了一下竹竿的影长正好是1米，他沿着影子的方向走，向远处走出两根竹竿的长度（即4米），他又竖起竹竿，这时竹竿的影长正好是一根竹竿的长度（即2米）、此时，小明抬头瞧瞧路灯，若有所思地说：“噢，原来路灯有10米高呀！”（如图所示）

同学们，你觉得小明的判断对吗？

【分析】先根据竹竿和影长之间的数量关系求得∠D＝45°，∠POC＝30°，找到DC与灯高之间的数量关系CDOP，根据线段之间是和差关系得到DC＝DB+BA﹣CA，代入对应数据即可求出CD长为5米，从而求出灯高为10米．

【解析】小明的判断如图，AE，BF是竹竿两次的位置，CA和BD是两次影子的长．

由于BF＝DB＝2（米），即∠D＝45°，

所以，DP＝OP＝灯高，

△COP中AE⊥CP，OP⊥CP，

∴AE∥OP

∴△CEA∽△COP，即，

设AP＝x，OP＝h则：

①，

DP＝OP表达为2+4+x＝h②，

联立①②两式得：

x＝4，h＝10，

∴路灯有10米长，小明的判断是正确的．