浙江省杭州市富阳区城区2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

2022-2023学年浙江省杭州市富阳区城区八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若式子有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  对于一组数据，，，，下列结论不正确的是(    )

A. 平均数是 B. 方差是 C. 中位数是 D. 众数是

4.  已知一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形是(    )

A. 八边形 B. 十二边形 C. 十边形 D. 九边形

5.  某超市一月份的营业额为万元，第一季度的营业额共为万元，如果平均每月增长率为，则由题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中(    )

A. 至少有两个角是直角 B. 没有直角
C. 至少有一个角是直角 D. 有一个角是钝角，一个角是直角

8.  若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

9.  已知、是两个连续自然数，且，设，则(    )

A. 总是奇数 B. 总是偶数
C. 有时是奇数，有时是偶数 D. 有时是有理数，有时是无理数

10.  在▱中，，，，点是的中点，交于，连接，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  化简：______．

12.  方程的两根为、，则的值等于______ ．

13.  已知数据，，，的平均数是，方差是，则一组新数据，，，的平均数是______ ，方差是______ ．

14.  如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的最小整数值是______．

15.  用直角边分别为和的两个直角三角形拼成一个平行四边形非矩形，所得的平行四边形的周长是______ ．

16.  如图，▱中，，是对角线上两点，，，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
 

18.  本小题分
解方程：
；
．

19.  本小题分
某商贸公司名销售员上月完成的销售额情况如表：

求销售额的中位数、众数，以及平均每人完成的销售额；
若要从平均数，中位数，众数中选一个作为每月定额任务指标，你认为选哪一个统计量比较合适？请说明理由．

20.  本小题分
如图，在中，、分别为、的中点，过点作交的延长线于点．
求证：四边形为平行四边形；
若，求的长．

21.  本小题分
某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价元时，平均每天可多卖出件．
设降价元，则现在每天可销售衬衫______件，每件的利润是______元．用的代数式表示
若商场要求该服装部每天盈利元，问每件要降价多少元？
若商场要求该服装部每天盈利元，问这个要求能否实现？请说说你的理由．

22.  本小题分
已知关于的一元二次方程．
若是这个方程的一个根，求的值和它的另一根；
求证：无论取任何实数，方程总有实数根；
若等腰三角形的其中一边为，另两边是这个方程的两根，求的值．

23.  本小题分
如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒．
若，交于点，试证明和为等腰直角三角形；
在的条件下，求的长；
是否存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
根据二次根式有意义的条件即可求解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：该图形不是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.该图形是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为、、、，
所以这组数据的平均数为，中位数为，众数为，
方差为，
故选：．
将数据重新排列，再根据平均数、众数、中位数及方差的定义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数及方差的定义．
 

4.【答案】 

【解析】解：多边形外角和，
设这个多边形是边形，根据题意得
，
解得．
故选C．
多边形的内角和与边数相关，随着边数的不同而不同，而外角和是固定的，从而可代入公式求解．
此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．
 

5.【答案】 

【解析】解：一月份的营业额为万元，平均每月增长率为，
二月份的营业额为，
三月份的营业额为，
可列方程为．
即．
故选D．
先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额，把相关数值代入即可．
考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：平行四边形，
，
又平分，
，
，
，
同理可证：，
，，
．
故选：．
根据平行四边形的性质可知，又因为平分，所以，则，则，同理可证，那么就可表示为，继而可得出答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．
 

7.【答案】 

【解析】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．
故选：．
熟记反证法的步骤，然后进行判断．
此题考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：
假设结论不成立；
从假设出发推出矛盾；
假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的一个根为，
且，
解得：．
故选：．
利用一元二次方程根的定义，确定出的值即可．
此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为为常数且．
 

9.【答案】 

【解析】证明：、是两个连续自然数，且，
，，
，
是自然数，
，，
，
总是奇数，
故选：．
首先根据题意推出，即可求出关于的表达式，然后把，，代入到的表达式，推出，通过为自然数，即可求出和，最后根据二次根式的性质对二次根式进一步化简，即可推出，由此可知总是奇数．
本题主要考查二次根式的性质，二次根式的化简，奇数的性质等知识点，关键在于通过题意推出和关于的表达式，通过等量代换推出，根据和的取值范围正确地对二次根式进行化简．
 

10.【答案】 

【解析】解：延长，相交于点．
四边形是平行四边形，
，，，
，
，，
，
是的中点，
．
，
，
，
，，
．
故选A．
首先延长，相交于点由在▱中，，，可求得，的长，又由，，求得，然后由含的直角三角形的性质，求得，，，的长，然后由勾股定理求得的长．
此题考查了平行四边形的性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
根据二次根式的性质解答．
解答此题，要弄清性质：，掌握去绝对值的法则是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：方程的两根为、，
，，



．
故答案为：．
先利用根据根与系数的关系得，，然后利用整体代入的方法计算．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

13.【答案】   

【解析】解：数据，，，的平均数是，方差是，
数据，，，的平均数是：，
方差为：．
故答案为：，．
根据平均数和方差的变化规律，即可得出答案．
本题考查一组数据的平均数、方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，关键是掌握平均数与方差的计算公式和变化规律．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
先把方程化为一般式，再根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，解得，然后找出此范围内的最大整数即可．
【解答】
解：，
根据题意得且，
解得，
所以的最小整数值
故答案为．  

15.【答案】或 

【解析】解：直角边分别为和，
斜边为：，
若以边长为的边为对角线，则所得的平行四边形的周长是：；
若以边长为的边为对角线，则所得的平行四边形的周长是：；
若以边长为的边为对角线，则所得的平行四边形的周长是：此时是矩形，舍去；
综上可得：所得的平行四边形的周长是：或．
故答案为：或．
首先由直角边分别为和，求得其斜边，然后分别从以边长为，，的边为对角线拼成一个平行四边形非矩形，去分析求解即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
解得：，
即，
故答案为：．
设，由等腰三角形的性质和直角三角形得出，，则，推出，再由平行四边形的性质得出，得出方程，解方程即可．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；根据角的关系得出方程是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
根据二次根式的乘法法则运算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

18.【答案】解：，
，
则或，
解得，；
，
，
，，，
则，
，即，． 

【解析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
将方程整理成一般式，再根据公式法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

19.【答案】解：共有人，
中位数应该是排序后第和第人的平均数，
平均数为万元；
销售额为万的有人，最多，
所以销售额的众数为万元；
平均销售额为：万元；
如果以销售额的中位数作为每月定额任务指标，那么没有完成定额任务的销售员有人；
如果以销售额的众数作为每月定额任务指标，那么没有完成定额任务的销售员有人．
如果以销售额的平均数作为每月定额任务指标，那么没有完成定额任务的销售员有人，
所以选择中位数比较合适． 

【解析】利用众数、中位数及平均数的定义进行计算即可；
根据求得的中位数及众数进行判断即可．
本题考查统计量的选择、平均数、中位数和众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
 

20.【答案】证明：、分别为、的中点，
为的中位线，
，
即，
又，
四边形为平行四边形；
解：由得：为的中位线，
，
又四边形为平行四边形，
，
． 

【解析】先证为的中位线，得，再由，即可得出结论；
由三角形中位线定理得，再由平行四边形的性质得，即可求解．
本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理是解题的关键．
 

21.【答案】   
由题意，得，
即：，
解得，，
为了扩大销售量，减少库存，所以的值应为，
所以，若商场要求该服装部每天盈利元，每件要降价元；

假设能达到，由题意，得，
整理，得，
，
即：该方程无解，
所以，商场要求该服装部每天盈利元，这个要求不能实现． 

【解析】解：设降价元，则现在每天可销售衬衫件，每件的利润是元；
故答案为：，．
见答案
见答案

设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出件；
由可得商场平均每天要盈利元，根据商场平均每天要盈利元，为等量关系列出方程求解即可．
假设能达到，根据商场平均每天要盈利元，为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能．
本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”．
 

22.【答案】解：将代入原方程得：，
解得：，
方程的另一根为．
的值为，方程的另一根为．
证明：．
，即，
无论取任何实数，方程总有实数根；
解：当腰为时，把代入得，，
解得；
当底为时，则程有两相等的实数根，
，
，
，
综上，的值为或． 

【解析】把代入原方程求出，根据根与系数的关系求出另一根；
根据一元二次方程根的判别式解答；
分两种情况讨论，列出方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程为常数根与系数的大小，根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．同时考查了分类思想的运用、等腰三角形的性质．
 

23.【答案】证明：如图，作于，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
和是等腰直角三角形；
解：和是等腰直角三角形，
，，
，
，
解得：，
；
解：存在，或，理由如下：
若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，
则，
或
解得：或
存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，或． 

【解析】作于，由已知条件得出，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证出和是等腰直角三角形；
结合得出，，由得出方程，解方程即可；
由平行四边形的判定得出，得出方程，解方程即可．
本题属于四边形的综合题，考查了平行四边形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；根据题意得出的方程是解决问题的关键．