北京市朝阳区高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编-平面向量、空间向量与立体几何

这是一份北京市朝阳区高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编-平面向量、空间向量与立体几何，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京市朝阳区高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编-平面向量、空间向量与立体几何 一、单选题1．（2022·北京朝阳·统考二模）已知M为所在平面内的一点，，且，则（    ）A．0 B．1 C． D．32．（2022·北京朝阳·统考一模）已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（    ）A． B． C． D．33．（2023·北京朝阳·统考一模）如图，圆M为的外接圆，，，N为边BC的中点，则（    ）A．5 B．10 C．13 D．264．（2023·北京朝阳·统考一模）在长方体中，与平面相交于点M，则下列结论一定成立的是（    ）A． B．C． D．5．（2022·北京朝阳·统考二模）已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，下面正确的结论是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．（2022·北京朝阳·统考一模）在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，（单位：），小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积（单位：）的最大值是（    ）A． B． C． D．7．（2021·北京朝阳·统考二模）某四棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的5个面的面积中，最大的是（    ）A． B． C． D．8．（2021·北京朝阳·统考一模）在棱长为的正方体中，是线段上的点，过的平面与直线垂直，当在线段上运动时，平面截正方体所得的截面面积的最小值是（    ）A． B． C． D．9．（2021·北京朝阳·统考一模）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为（    ）A．2 B． C． D． 二、填空题10．（2021·北京朝阳·统考一模）已知向量，（），且，，则向量的坐标可以是________．（写出一个即可）11．（2021·北京朝阳·统考二模）已知向量，，且，则___________.12．（2022·北京朝阳·统考二模）如图，在正方体，中，E，F，G分别为棱上的点（与正方体顶点不重合），过作平面，垂足为H．设正方体的棱长为1，给出以下四个结论：①若E，F，G分别是的中点，则；②若E，F，G分别是的中点，则用平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形一定是等边三角形；③可能为直角三角形；④．其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题13．（2023·北京朝阳·统考一模）如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．(1)求证：平面BDE；(2)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；(3)求点D到平面ABE的距离．14．（2022·北京朝阳·统考二模）如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，E，F分别是的中点．(1)求证：∥平面；(2)设H在棱上，且，N为的中点，求证：平面；并求直线与平面所成角的正弦值． 15．（2022·北京朝阳·统考一模）如图1，在四边形中，，，，，，分别是，上的点，，，，.将沿折起到的位置，得到五棱锥，如图2.(1)求证：平面；(2)若平面平面，（i）求二面角的余弦值；（ii）对线段上任意一点，求证：直线与平面相交.                       参考答案：1．D【分析】由向量加减、数乘的几何意义知为中点，根据已知求得、、，由向量数量积的定义求即可.【详解】由，则，所以共线，即为中点，如下图：又且，即，而，所以，故，则，，所以.故选：D2．A【分析】根据向量数量积的定义及运算性质即得．【详解】∵，，且与的夹角为，∴，∴，∴．故选：A.3．C【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解.【详解】 是BC中点，，M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，，同理可得，.故选：C4．C【分析】根据平面交线的性质可知，又平行线分线段成比例即可得出正确答案，对于ABD可根据长方体说明不一定成立.【详解】如图，连接，交于，连接，，在长方体中，平面与平面的交线为,而平面，且平面，所以，又，，所以，故C正确.对于A，因为长方体中与不一定垂直，故推不出，故A错误；对于B，因为长方体中与不一定相等，故推不出，故B错误；对于D，由B知，不能推出与垂直，而是中线，所以推不出，故D错误.故选：C5．D【分析】根据线面、面面的位置关系，由平面的基本性质判断线线、线面关系.【详解】A：，则可能平行、相交或异面，错误；B：，则可能相交、平行或，错误；C：，则平行或，错误；D：，则，又，故，正确.故选：D6．B【分析】根据题意，在平面内，过点作分别交于，在平面内，过作交于，在平面内，过作交于，连接，进而根据题意，∽，设其相似比为，则，再证明四边形是矩形，再结合相似比和二次函数性质求解即可.【详解】解：根据题意，在平面内，过点作分别交于，在平面内，过作交于，在平面内，过作交于，连接，作图如下，因为，则，所以∽，设其相似比为，则，因为，所以在中，，因为，所以，即，因为，则，所以，∽，即，因为，所以，即，同理∽，即，因为，平面，平面，所以平面，因为，所以平面，平面，因为平面，所以，因为所以因为，所以∽，所以，因为，所以，因为，所以，所以四边形是矩形，即，所以，由二次函数的性质知，当时，有最大值.故选：B7．D【分析】根据三视图判断出四棱锥的结构，计算出个面的面积，由此确定正确选项.【详解】由三视图可画出几何体的直观图如下图所示，，，，，，，，所以.故最大面积是.故选：D8．C【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立所示的空间直角坐标系，设点，分、、三种情况讨论，确定截面与各棱的交点，求出截面面积关于的表达式，由此可解得截面面积的最小值.【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、，设点，其中.①当时，点与点重合，，，，所以，，，则，，，平面，此时平面即为平面，截面面积为；②当时，同①可知截面面积为；③当时，，，，，则，设平面交棱于点，，，可得，不合乎题意.设平面交棱于点，，，可得，合乎题意，即，同理可知，平面交棱于点，，且与不重合，故四边形为平行四边形，，，，则，所以，截面面积为.综上所述，截面面积的最小值为.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查正方体截面面积最值的求解，解题的关键在于确定截面与各棱交点的位置，这里可以利用空间向量法，将线线垂直关系转化为向量数量积为零来处理，确定点的位置，进而将截面面积的最值利用函数的最值来求解.9．C【分析】画出该三棱锥的直观图，分别求得各棱长的长度比较即可得结果．【详解】该三棱锥的直观图如图所示： 依题意得，，，则该三棱锥最长的棱长为故选：C．10．（答案不唯一）【分析】根据已知条件列关于，的方程组，解方程组即可求解.【详解】向量，（），且，，所以，取符合题意，所以向量的坐标可以是，故答案为：（答案不唯一）11．-4【分析】利用向量的坐标运算及零向量的意义求解而得.【详解】因，，则而，所以m+4=0，m=-4.故答案为：-412．①④【分析】①等体积法判断；②根据正方体的性质画出平行于平面的可能截面情况；③由正方体性质，通过定两点，移动另一点判断的内角变化趋势即可；④设，利用等体积法，结合正余弦定理、三角形面积公式、锥体体积公式化简即可判断.【详解】①由，而，所以，可得，正确；②根据正方体的性质平行平面的平面有如下情况：当截面在面与面之间时为六边形，在面左上或面右下时为等边三角形，错误；③分别在上不为顶点任意点，当从到过程递减，即小于，同理知：也小于，不可能为直角三角形，错误；④若，又，即，所以，则，即，所以，即，正确；故答案为：①④【点睛】关键点点睛：①④应用等体积法计算或转化，②由正方体性质及平面的基本性质作出截面判断；③根据正方体的性质，动点分析三角形的内角变化趋势.13．(1)证明见解析；(2)；(3). 【分析】（1）根据线面垂直的性质得到，根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）利用空间向量的方法求线面角即可；（3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可.【详解】（1）在三棱柱中，，为，的中点，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴，在三角形中，，为中点，∴，∵，平面，∴平面.（2）如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，在直角三角形中，，，∴，，，，，，，，设平面的法向量为，，令，则，，所以，设直线与平面所成角为，所以.（3）设点到平面的距离为，所以.14．(1)证明见解析；(2)证明见解析，直线与平面所成角的正弦值为. 【分析】（1）如图所示，以点为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系利用向量法证明；（2）证明即得证，再利用向量法求直线与平面所成角的正弦值．【详解】（1）证明：如图所示，以点为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系由题得,由题得,设平面的法向量为，所以.所以，因为平面，所以∥平面.（2）证明：由题得，所以,所以平面，由题得，设直线与平面所成角为，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.15．(1)证明见解析；(2)（i），（ii）详见解析. 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即得；（2）（i）利用坐标法即求；（ii）可设，进而可得，利用向量数量积可得，即得.【详解】（1）∵，，∴，∴，又，∴平面；（2）（i）由，可知为的平面角，又平面平面，∴，即，又，∴平面，如图建立空间直角坐标系，则，∴，设平面的法向量为，则，即，令，则，又平面的一个法向量可取，∴，∴二面角的余弦值为；（ii）由题设，又，∴，∴，又，∴，又平面的一个法向量为，由，可得，又，∴，∴直线与平面相交.