北京市石景山区高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编-函数与导数

这是一份北京市石景山区高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编-函数与导数，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京市石景山区高考数学三年（2021-2023）模拟题知识点分类汇编-函数与导数 一、单选题1．（2021·北京石景山·统考一模）已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．2．（2021·北京石景山·统考一模）下列函数中，是奇函数且最小正周期的是（    ）A． B． C． D．3．（2022·北京石景山·统考一模）函数的图象大致为（    ）A． B．C． D．4．（2023·北京石景山·统考一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（    ）A． B．C． D．5．（2023·北京石景山·统考一模）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到．若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为（    ）A． B． C． D． 二、填空题6．（2021·北京石景山·统考一模）海水受日月的引力，会发生潮汐现象.在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋.某兴趣小组通过技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深（单位：米）随时间（单位：小时）的变化规律为，其中；然后，假设某货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙.在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是__________.①若，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时；②若，货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；③若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大；④若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大.7．（2021·北京石景山·统考一模）已知函数，若，则从小到大排序为_______.8．（2022·北京石景山·统考一模）已知非空集合A，B满足：，，函数对于下列结论：①不存在非空集合对，使得为偶函数；②存在唯一非空集合对，使得为奇函数；③存在无穷多非空集合对，使得方程无解．其中正确结论的序号为_________．9．（2022·北京石景山·统考一模）函数的定义域是_________． 三、双空题10．（2023·北京石景山·统考一模）设函数，①若，则的最大值为_________；②若无最大值，则实数的取值范围是_________. 四、解答题11．（2021·北京石景山·统考一模）已知函数.（1）当时，求在处的切线方程；（2）已知对任意恒成立，求的值.12．（2022·北京石景山·统考一模）设函数．(1)若，①求曲线在点处的切线方程；②当时，求证：．(2)若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围．13．（2023·北京石景山·统考一模）已知函数.(1)当时，（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（ⅱ）求证：，.(2)若在上恰有一个极值点，求的取值范围.
参考答案：1．C【分析】作出，在上的图象，当的图象在的图象的上方时，分析此时的取值范围即可.【详解】作出，在上的图象如下图所示：  因为在上恒成立，所以的图象在的图象的上方（可以部分点重合），且，令，所以，所以，根据图象可知：当经过点时，有最小值，，当经过点时，有最大值，，综上可知的取值范围是，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是采用数形结合思想解决问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.2．C【分析】画出函数，的图象，由图象判断AB；利用定义证明为奇函数，再求周期，从而判断CD.【详解】由下图可知，函数，都不是周期函数，故AB错误；，即函数为奇函数，且周期，故C正确；对于D项，周期，故D错误；故选：C3．D【分析】化简函数解析式，由此可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，且，因此，函数的图象为选项D中的图象.故选：D.4．D【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可.【详解】对于A，函数为奇函数，但在定义域上函数不单调，故A不符合；对于B，的定义域为，，则为偶函数，故B不符合；对于C，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上均为增函数，故在上为增函数，故C不符合；对于D，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上为减函数，在上为增函数，故在上为减函数，故D符合.故选：D.5．D【分析】根据对数运算法则可求得，由此可得结果.【详解】由题意得：，，，即当火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值为.故选：D.6．①④【分析】根据船离海底距离为，解三角不等式可判断①；由船离海底距离，利用导数判断单调性即可判断②；船离海底距离，利用导数求出最值即可判断③、④【详解】①不卸货，则吃水恒为2米，船离海底为，当时，，则，解得，所以最多停留时间为小时，故①正确；②立即卸货，吃水深度，且，解得， 此时船离海底，，所以在上单调递增，且当时，，由，，此段时间都可以停靠，又，，故②错误；③与④，，，，，解得，当时，；当时，，所以当时，船底离海底的距离最大.故答案为：①④【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的应用、导数的应用，解题的关键是表示出船离海底距离的关系式，此题综合性比较强，考查了知识的应用能力以及计算能力.7．【分析】直接代入计算简单判断即可.【详解】由题可知：由函数在定义域中是单调递增的，所以故答案为：8．①③【分析】通过求解可以得到在集合A，B含有何种元素的时候会取到相同的函数值，因为存在能取到相同函数值的不同元素，所以即使当与都属于一个集合内时，另一个集合也不会产生空集的情况，之后再根据偶函数的定义判断①是否正确，根据奇函数的定义判断②是否正确，解方程判断③是否正确【详解】①若，，则，，若，，则，，若，，则，，若，，则，，综上不存在非空集合对，使得为偶函数②若，则或，当，时，满足当时，所以可统一为，此时为奇函数当，时，满足当时，所以可统一为，此时为奇函数所以存在非空集合对，使得为奇函数，且不唯一③解的，解的，当非空集合对满足且，则方程无解，又因为，，所以存在无穷多非空集合对，使得方程无解故答案为：①③【点睛】本题主要考查集合间的基本关系与函数的奇偶性，但需要较为缜密的逻辑推理①通过对所属集合的分情况讨论来判断是否存在特殊的非空集合对使得函数为偶函数②观察可以发现为已知的奇函数，通过求得不同元素的相同函数值将解析式归并到当中，使得成为奇函数③通过求解解析式零点，使得可令两个解析式函数值为0的元素均不在所对应集合内即可得到答案9．【分析】由真数大于0和分母不等于0建立不等式组即可求解.【详解】解：由，可得，所以函数的定义域是，故答案为：.10．          【分析】①分别分析在两段内的单调性即可求出最大值；②讨论所在的区间，分别研究函数在每一段的单调性，根据无最大值列出不等式求出结果.【详解】①若，，当时，，单调递减，，当时，，，所以在单调递增，在单调递减，则此时，所以的最大值为2；②当时，当时，，单调递减，所以，当时，在单调递增，所以，因为无最大值，所以，解得；当时，当时，，单调递减，，当时，在单调递增，在单调递减，所以，因为无最大值，所以，此种情况无解，舍去；当时，当时，，单调递减，，当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以，因为无最大值，所以，此种情况无解，舍去；所以实数的取值范围是故答案为：① ;②11．（1）；（2）1.【分析】（1）将代入，然后求导，并得到，最后可得结果.（2）计算，然后按照，，进行分类讨论，并研究原函数的单调性，利用计算即可.【详解】解：（1）当时，，，                 所以，切线的斜率为.     所以在处的切线方程为.    （2）依题意，对任意恒成立，当时，，由于，则恒成立，所以在内单调递减，因为，故当时，，不符合题意.当时，令，得当时， ，因为，那么的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增所以结合的单调性知：当时，，不符合题意.当时，的变化情况如下表：单调递增极大值单调递减当时，，因为，所以结合的单调性知当时，，不符合题意.当时，，因为，所以结合的单调性知当时，，不符合题意.当时，.由的单调性可知，，所以符合题意.综上，.【点睛】方法点睛：求解函数在某点处的切线方程步骤：（1）求导；（2）；（3）点斜式可得方程.利用导数求解含参数的恒成立问题：（1）参数分离的方法；（2）求导并按参数的范围进行讨论.12．(1)①；②证明见解；(2). 【分析】（1）①当时，求得，得到，进而求得曲线在点处的切线方程；②令，利用导数求得在单调递减，得到，即可求解；（2）求得，令，分和两种情况，结合和单调性，求得，设使得，利用函数的单调性，得到，即可求解.(1)解：①当时，，可得，则，可得曲线在点处的切线方程，即.②令，则，当，可得，在单调递减，又因为，所以，即，即，即当时，．(2)解：由函数，可得，令，当时，，即，在区间上单调递增，因为，所以，所以函数在区间上没有零点，不符合题意；当时，函数的图象开口向上，且对称轴为，由，解得，当时，在区间上恒成立，即，在区间上单调递减，因为，所以，所以函数在区间上没有零点，不符合题意；综上可得，设使得，当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，因为，要使得函数在区间上存在唯一零点，则满足，解得，所以实数的取值范围为.13．(1)（ⅰ）切线方程为；（ⅱ）证明见解析(2) 【分析】（1）当时，求导，根据导数几何意义求解切点坐标与斜率，即可得切线方程；根据导函数的正负确定函数的单调性，即可得函数的最值，即可证明结论；（2）根据极值点与函数的关系，对进行讨论，确定导函数是否存在零点进行判断，即可求得的取值范围.【详解】（1）当时，（ⅰ） ，又，所以切线方程为.（ⅱ），，因为，所以,所以，所以所以在单调递增，所以；（2），当时，所以， ,由（1）知，，所以在上单调递增.所以当时，没有极值点，当时，，因为与在单调递增.所以在单调递增.所以，.所以使得.所以当时，，因此在区间上单调递减，当时，，因此在区间上单调递增.故函数在上恰有一个极小值点，的取值范围是.