贵州省黔南州罗甸县2022届高三数学（理）下学期高考热身模拟（三）试卷（Word版附解析）
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理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（60分）
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
解析：主要考查分式不等式的解法、交集等内容，体现了数学运算的核心素养.
解：，，,故选A.
2. 已知，则的虚部为（ ）
A. -1 B. 1 C. i D. -i
解析：主要考查复数的虚部、基本运算、共轭复数等内容，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.
解：，虚部为1，故选B.
3.已知，（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：分段函数的基本计算，体现了数学运算、逻辑推理的核心素养.
解：，故选B.
4.为考察、两名运动员的训练情况，下面是、两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A.运动员的综合得分的极差相同
B.10天中运动员综合得分都比运动员的综合得分高
C.第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分；
D.A运动员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分的方差.
设计意图：本题主要考查对折线图的认识、极差的计算、平均分和方差的计算，体现了数据分析、逻辑推理等核心素养.
解：由表数据可知的综合得分中最高分和最低分别为85分、78分，极差为7，的综合得分最高分和最低分别为84分、81分，极差为3，故A错误；在第9天综合得分都比的综合得分低，故B错误；由表可知第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分，故C正确；在第一天至第三天中运动员的综合最小得分为78分，最大得分为80分，在第2天至第4天中运动员的综合最小得分为78分，最大得分高于80分，所第1天至第3天的得分方差小于第2天至第4天的得分的方差，故D错误.
- 二项式的展开式中 的系数是（ ）
A. 2 B. 14 C. 84 D.280
解析：主要考查二项式展开式的通项，体现逻辑推理、数学运算等核心素养.
解：的通项为，令得，则 的系数为，故选C.
- 已知，，若，则与的夹角为（ ）
- B. C. D.
解析：主要考察向量的模长、夹角等基本运算，体现了数学运算转化与化归的核心素养.
解：，，，，与的夹角为,故选D
7.已知命题，命题不论为何值，直线与圆总相交，则下列命题正确的是（ ）
A. B. C. D.
解析：本题考查简单的逻辑联结词、基本不等式、直线与圆的位置关系，体现了数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养.
解：对于命题，当时， ，故命题为假命题，则 为真命题；对于命题，直线 过定点，且，在圆内，则不论为何值，直线与圆总相交，故命题为真命题，为假命题，故选B.
8.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在一个素数，使得是素数，素数对成为孪生素数，在不超过20 的素数中，随机选取两个不同数，能够组成孪生素数的概率为（ ）
- B. C. D.
解析：以孪生素数为背景，考查了古典概型的概率计算、排列、体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.
解：不超过20 的素数有：2,3,5,7,11,13,17,19共8个，从8个中随机选取2个有个基本事件，能够组成孪生素数有个4基本事件，则概率，故选D.
9.在中，内角所对的边分别为，已知成等差数列，，则的周长最大值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.8
解析：主要考查等差数列，利用正弦定理、余弦定理解三角形的周长，考查了转化与化归、方程思想体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.
解：方法一：由成等差数列，则
,则的周长为
时，，
周长最大值为6.
方法二：，，，
，
周长最大值为6. 故选C.
10.定义：我们用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例，，令，为函数的零点，则（ ）
A. B. C. D.
解析：考查新定义问题、函数的零点、单调性等问题，体现了数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养.
解：，，，则在上单调递增，且，，的零点，由定义可知，，故选B.
11.已知恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D,
解析：主要考查函数的导数的应用、参数的取值范围，体现了数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养.
解：令，，则当时，恒成立；时，，令，，，，，在上单调递减，，，故选D.
12.关于函数，有一下四个结论：
①的图像关于对称； ②的最大值是2；
③在上单调递减； ④是周期函数
其中正确结论的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：考查三角函数的性质、函数的性质等内容，体现了数学运算、直观想象、逻辑推理、数形结合等核心素养.
解：法一：，
的图像关于对称，故①错；在上，，，，，则在上单调递减，故③对； 是偶函数也是周期函数，在上为单点增，，故②错；
，是周期函数，④对；综上；选B.
法二：应用desmos 软件得出图形（一般上课可安装软件应用于教学，通过作图来检验答案更为直观）
第Ⅱ卷（90分）
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知实数满足，则的最大值为_______.
解析：本题考查了简单的线性规划问题，体现了数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养.
答案：6.
解：如图，当过点时取最大值为6
14.设直线与圆交于两点，当时，________.
解析：本题考查直线与圆的位置关系、弦长公式等，体现了数学运算、逻辑推理、化归与转化等核心素养.
答案：
解：圆心，半径，圆心到直线的距离，，则，.
- 为坐标原点，为双曲线的右焦点，过点的直线在第一象限与双曲线交于点，且为正三角形，则双曲线的渐近线方程为_______________.
解析：
答案：
- 设棱锥的底面是正方形，且，如果的面积为1，能够放入这个棱锥的最大球的半径为_________.
解析：本题考查点线面的的位置关系、内切求的半径，体现了直观想象、数学运算、化归与转化等核心素养.
答案：-1.
解： ∵AB⊥AD，AB⊥MA，∴AB⊥平面MAD，
由此，平面MAD⊥面AC.记E是AD的中点，从而ME⊥AD.
∴ME⊥平面AC，ME⊥EF.设球O是与平面MAD、平面AC、平面MBC都相切的球.不妨设O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的内心.
设球O的半径为r，则r＝，设AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1.∴ME＝.MF＝,r＝≤＝-1.
当且仅当a＝，即a＝时，等号成立.
∴当AD＝ME＝时，满足条件的球最大半径为-1.
三､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知等比数列，数列满足，且，
（1）求，的通项公式；
（2）若数列，，求的前项和.
解析：本题考查等差等比数列的通项公式，数列求和，体现了数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.
解：（1）设 的的公比为，，
则， 2分
，则为等差数列， 4分
公差，则，. 6分
(2)由（1）可知，
① 8分
②
由①-②的 10分
12分
- 作为影视打卡基地，都匀秦汉影视城推出了4大影视博物馆：陈情令馆、庆余年馆、大秦馆、双世宠妃馆，馆内还原了影视剧中部分经典场景，更有丰富的、具有特色的影视剧纪念品共游客选择，国庆期间甲、乙等5名同学准备从以上4个影视馆中选取一个景点游览，设每个人只选择一个影视馆且选择任一个影视馆是等可能的，
（1）分别求“恰有2人选择庆余年馆”和“甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率;
（2）设表示5人中选择博物馆的个数，求的分布列和数学期望.
解析： 本题考查相互独立事件同事发生的概率，离散随机变量的分布列和数学期望，体现了数学建模、数学运算、数据分析等核心素养.
解：（1）所有可能选择的方式有种，设恰有2人选择庆余年为事件A，, 3分
设甲选择庆余年且乙不选择陈情馆为事件B,
，则恰有2人选择庆余年馆的概率为，甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆的概率为. 6分
（2）由题可知：X的所有可能的值为 7分
,
, 10分
则X的分布列为
X | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
12分
19.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．
（1）证明:BC1∥平面A1CD;
（2）当AB=2时，求二面角的余弦值.
解析：本题主要考查线面垂直的判定性质，二面角的求解，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.
（1）证明：连接,,连接,
分别为的中点， 3分
,,. 5分
(2) 解：AB=2，A1=AC=CB=AB=2为直角三角形， ,以为坐标原点建立如图所示坐标系， 6分
设平面的法向量为
，令，， 8分
同理可得平面的法向量为， 10分
，
，二面角的余弦值为. 12分
20.已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）令，若有两个不同的零点，求的取值范围.
解析：本题考查导数的几何意义、切线方程、利用导数解决函数的零点问题，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.
解;（1），， 2分
，，切线方程为
即：， 4分
函数在处的切线方程为. 5分
(2),
有两个不同的零点,即有两个不同的零点 6分 ，
令， 7分
，，,, 10分
在上单调递增，在上单调递减，且， 11分
由软件desmos可得函数图
可得的取值范围为（0,1） 12分
- 已知曲线的方程为过点，且右焦点,若直线与曲线交于两点，到直线的距离相等.
(1) 求曲线的方程.
(2) 求的面积最大值.
解析：本题主要考查椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，直线与椭圆的位置关系，三角形面积最大值问题，体现了数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养.
解：(1)由题可知
，则 2分
. 4分
(2)设.
联立，消去可得，
则 ①
②
7分
，则直线与直线相交
到直线的距离相等可知，的中点在直线上，
， 8分
将带入①可得，
将带入②可得，
原点O到若直线距离为 10分
，
当且仅当， 11分
的面积最大值为 12分
- [选修4-4坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，直线的极坐标方程为，
（1）求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；
（2）点在直线上，且，在曲线上运动，求的面积最大值.
解析：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、面积的最值、数形结合等，体现了直观想象、数学运算、化归与转化等核心素养.
解：（1）由题可知曲线的标准方程为，
一般方程 ， 1分
3分
直线的极坐标方程为，直线的直角坐标方程为 5分
（2）方法一：
由题可知,圆心到直线的距离， 7分
到直线的距离最大值为， 8分
的面积，
的面积最大值为 . 10分
方法二：由题可知，设，
到直线的距离 7分
8分
的面积
的面积最大值为 . 10分
- [选修4-5:不等式选讲]
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2），若的最小值为，对于，且，求证：.
解析：本题考查绝对值不等式的解法、不等式的证明，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.
解：（1）由题可知，
当时， 2分
当时， 3分
当时， 4分
综上： 的解集为 5分
（2）由题可知， 7分
， 8分
当且仅当时等号成立，
成立 10分
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