2023届广东省湛江市高三二模数学试题含解析

2023届广东省湛江市高三二模数学试题

一、单选题

1．设复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的几何意义得到复数，然后求得，再利用几何意义求解.

【详解】解：由题意得，

则，

所以在复平面内对应的点为，

故选：A

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意求集合，再结合交集运算求解.

【详解】由题意可得：

所以.

故选：D.

3．广东省第七次人口普查统计数据显示，湛江市九个管辖区常住人口数据如表所示，则这九个管辖区的数据的第70%分位数是（    ）

A．927275 B．886452 C．698474 D．487712

【答案】A

【分析】利用第百分位数的定义求解.

【详解】解：这九个管辖区的数据按照从小到大的顺序排列为303824，333239，487093，487712，69474，886452，927275，1427664，1443099，

因为，

所以这九个管辖区的数据的第70%分位数是927275；

故选：A

4．的展开式中，的系数是（     ）

A．40 B． C．80 D．

【答案】C

【分析】求出通项公式，利用求出，从而得到系数.

【详解】展开式的通项为，

令，得．所以的系数是．

故选：C.

5．如图，将一个圆柱等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”．若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，列出方程求解即可.

【详解】显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，

设圆柱的底面半径为，高为，则，

所以圆柱的侧面积为．

故选：A.

6．若与轴相切的圆与直线也相切，且圆经过点，则圆的直径为（    ）

A．2 B．2或 C． D．或

【答案】B

【分析】根据题意设出圆的方程，代入点的坐标可求圆的方程，从而可得圆的直径.

【详解】因为直线的倾斜角为，

所以圆的圆心在两切线所成角的角平分线上．

设圆心，则圆的方程为，

将点的坐标代入，得，

整理得，解得或；

所以圆的直径为2或．

故选：B.

7．当，时，恒成立，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将左侧分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可以得到结果.

【详解】当，时，，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最大值为．

所以，即．

故选：A.

8．对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】化简，构造函数，应用导数求函数单调性求出最小值即可.

【详解】设，则，，

由，得，则，，

设函数，，

则，在上为增函数，且，

所以当时，，单调递减,当时，,单调递增.

故．

故选 :B.

二、多选题

9．若，则的值可能为（    ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】BD

【分析】先利用正弦二倍角、余弦二倍角公式，以及“1”代换成平方关系式，进行变形计算得出结果.

【详解】因为，所以，

整理得，

则，解得或．

故选：BD.

10．一百零八塔始建于西夏时期，是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，自上而下一共12层，第1层有1座塔，从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座塔．已知包括第1层在内的其中10层的塔数可以构成等差数列，剩下的2层的塔数分别与上一层的塔数相等，第1层与第2层的塔数不同，则（    ）

A．第3层的塔数为3 B．第6层的塔数为9

C．第4层与第5层的塔数相等 D．等差数列的公差为2

【答案】ACD

【分析】设等差数列的公差为，分，和三种情况讨论，结合等差数列的前项和公式即可得解

【详解】设等差数列的公差为，

若，则这10层的塔数之和为，

则最多有座塔，不符合题意；

若，则这10层的塔数之和不少于，不符合题意；

所以，这10层的塔数之和为，

塔数依次是1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，依题意剩下2层的塔数为3与5，

所以这12层塔的塔数分别为1，3，3，5，5，7，9，11，13，17，19，

因此A，C，D正确，B错误．

故选：ACD.

11．廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品．设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量（单位：g）服从正态分布，且，．下列说法正确的是（    ）

A．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167 g的概率为0.7

B．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167 g～168 g的概率为0.05

C．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163 g的个数的数学期望为480

D．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g～168 g的个数的方差为136.5

【答案】BCD

【分析】A.由求解判断；B.由求解判断；C.由质量大于163 g的个数求解判断；D.由质量在163 g～168 g的个数求解判断.

【详解】解：因为，所以，所以A错误．

因为，所以，所以B正确．

，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163 g的个数．所以，所以C正确．

因为，所以，又因为，所以，则，

所以，

若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163 g～168 g的个数，所以，所以D正确．

故选：BCD

12．已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】利用直线的垂直关系及，分情况讨论得到关于的方程，化为的方程，即可求得离心率.

【详解】当时，直线与另一条渐近线平行，所以．

当时，如图1，过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，

由，得，则，所以，

则，，所以，

则，．

当时，如图2，过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，

由，得，则，则，

所以，则，，

所以，则，．

综上，的离心率为或．

故选:AC.

三、填空题

13．已知奇函数则__________．

【答案】

【分析】根据奇函数的定义，先求当时，，，再进一步求解.

【详解】当时，，，

则．

故答案为：.

14．若抛物线的焦点到准线的距离为，且的开口朝上，则的标准方程为__________．

【答案】

【分析】根据焦点到准线的距离为，所以，再结合条件，可得的标准方程.

【详解】依题意的开口朝上,可设的标准方程为，

因为的焦点到准线的距离为，所以，

所以的标准方程为．

故答案为: .

四、双空题

15．若函数在上具有单调性，且为的一个零点，则在上单调递__________（填增或减），函数的零点个数为__________．

【答案】     增     9

【分析】根据函数在上具有单调性，限定周期的范围，得出的范围，再由函数的零点得出关于的等式，结合这两个条件求出的值，再数形结合得出结果.

【详解】因为在上具有单调性，

所以，即，．

又因为，

所以，即，

只有，符合要求，此时．

当时，，

所以在上单调递增．

因为的最大值为1，而，，

作出函数与的图象，由图可知，这两个函数的图像共有9个交点，所以函数的零点个数为9．

故答案为：增；9.

五、填空题

16．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为棱上任意一点（不包括端点），为棱上任意一点（不包括端点），且．已知，，当三棱锥的体积取得最大值时，与底面所成角的正切值为__________．

【答案】

【分析】根据平行关系可得边的长度的关系，由体积公式表达体积，结合二次函数的性质求解最值，由线面角的定义即可求解.

【详解】如图，在上取点，使得．

由，设，，其中．

由，，平面，可得，，，．

∵，平面，∴平面,

连接，则为与平面所成的角，

在中，有，可得，∴可得．

的面积为．

，

可得当时，三棱锥的体积取得最大值．

当三棱锥的体积取得最大值时，为的中点，为的中点．

，，．

故答案为：

六、解答题

17．现有A，B两个广西旅行社，统计了这两个旅行社的游客去漓江、乐满地主题乐园、西街、龙脊梯田四个景点旅游的各240人次的数据，并分别绘制出这两个旅行社240人次分布的柱形图，如图所示．假设去漓江、乐满地主题乐园、西街、龙脊梯田旅游每人次的平均消费分别为1200元、1000元、600元、200元．

(1)通过计算，比较这两个旅行社240人次的消费总额哪个更大；

(2)若甲和乙分别去A旅行社、B旅行社，并都从这四个景点中选择一个去旅游，以这240人次去漓江的频率为概率，求甲、乙至少有一人去漓江的概率．

【答案】(1)B旅行社240人次的消费总额更大

(2)

【分析】（1）根据柱状图分别计算旅行社A、B的消费总额，比较大小即可；

（2）根据频率计算出甲、乙分别去漓江的概率，再由对立事件结合独立事件的乘法公式计算甲、乙至少有一人去漓江的概率.

【详解】（1）A旅行社240人次的消费总额为元，

B旅行社240人次的消费总额为元，

因为，

所以B旅行社240人次的消费总额更大．

（2）对于A旅行社，这240人次去漓江的频率为，

所以甲去漓江的概率为．

对于B旅行社，这240人次去漓江的频率为，

所以乙去漓江的概率为．

故甲、乙至少有一人去漓江的概率为．

18．在中，角，，的对边分别为，，，且．

(1)求；

(2)若，且，求面积的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由得出，结合，即可得出答案；

（2）由得出，由余弦定理得出，再由及得出，结合三角形面积公式，即可得出面积的范围．

【详解】（1）因为，

所以．

由余弦定理得．

因为，

所以．

（2）由及正弦定理，得，

所以，

由余弦定理得，，

所以

当且仅当时，等号成立，

因为，

所以，则，

所以，

因为的面积为，

所以面积的取值范围是．

19．如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得至处，且．

(1)证明：平面．

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证结论；

（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角求解二面角.

【详解】（1）证明：由题意可知，所以，，

因为，，平面，

所以平面．

（2）取的中点，连接，，

由等腰三角形的性质可知，，

由，，可知，，

由且，可知，四边形为平行四边形，，平面；

设，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，

，，，．

设平面的法向量为，则  

令，得，

因为，

所以平面的一个法向量为，

所以，

由图可知二面角为锐角．故二面角的余弦值为．

20．已知两个正项数列，满足，．

(1)求，的通项公式；

(2)用表示不超过的最大整数，求数列的前项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由递推公式列方程求出 得通项公式；

（2）根据高斯函数先推出 得解析式，再运用错位相减法求解.

【详解】（1）由，得，

由，得， ，因为是正项数列，，

；

（2） ，

则当时，，

所以，

两式相减得  

，

即，

因为满足，

所以.

21．设椭圆方程为，，分别是椭圆的左、右顶点，直线过点，当直线经过点时，直线与椭圆相切．

(1)求椭圆的方程．

(2)若直线与椭圆交于，（异于，）两点．

（i）求直线与的斜率之积；

（ii）若直线与的斜率之和为，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)（i）；（ii）

【分析】（1）由直线的两点式方程可得的方程，联立椭圆方程，利用直线与椭圆的位置关系求出b，即可求解；

（2）设，，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，根据两点表示斜率公式化简计算可得、，则，由求得直线的方程，联立椭圆方程求出点Q的坐标即可求解.

【详解】（1）依题意可得，

当直线经过点时，的方程为，

代入，整理得，

，

解得，所以椭圆的方程为．

（2）（i）依题意可得直线的斜率不为0，

设，，．

由得，

则

则

；

（ii）因为，

所以，又因为，所以，

则直线的方程为，与联立得．

所以的方程为，即．

22．已知函数．

(1)求曲线在处的切线方程．

(2)若存在使得，证明：

（i）；

（ii）．

【答案】(1)

(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析

【分析】（1）求导，分别求得和，再写出切线方程；

（2）（i）根据题意得到有零点，即有正数解，利用导数法求解．（ii）由，得到，代入，转化为证，令，利用导数法证明在上单调递增即可.

【详解】（1）解：因为，

所以，

又，

所以曲线在处的切线方程为，

即.

（2）证明：（i）依题意可知有零点，即有正数解．

令，则．

当时，，单调递减；当时，，单调递增．

所以，所以．

（ii）不妨设．由，得，

因为，所以，

要证，

只要证．

令，即只要证，

即只要证在上单调递增，

即只要证在上恒成立，

即只要证在上恒成立．

令，则．

当时，，单调递增；当时，，单调递减．

所以．

由（i）知，在上恒成立，

所以在上恒成立，

故．

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是通过，得到，代入，消去m，转化为证，再令，利用导数法证明在上单调递增而得证.