2023届广西南宁市高三二模数学（文）试题含解析

2023届广西南宁市高三二模数学（文）试题

一、单选题

1．已知复数，则的虚部为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【分析】利用复数的四则运算、虚部的概念以及的性质计算求解.

【详解】因为，则的虚部为1，故A，B，D错误.

故选：C.

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用集合的补集、交集运算求解.

【详解】因为，所以或，

又，所以，故A，B，C错误.

故选：D.

3．从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（    ）

A．甲乙两班同学身高的极差相等

B．乙班同学身高的平均值较大

C．甲乙两班同学身高的中位数相等

D．甲班同学身高在175cm以上的人数较多

【答案】B

【分析】利用极差、平均值、中位数的概念即可解决本题.

【详解】甲班同学身高的极差为182-157=25，乙班同学身高的极差为183-159=24，所以甲乙两班同学身高的极差不相等，从而A不正确；

甲班同学身高的平均值为，

乙班同学身高的平均值为，

所以乙班同学身高的平均值较大，从而B正确；

甲班同学身高的中位数是，乙班同学身高的中位数是，

所以甲乙两班同学身高的中位数不相等，从而C不正确；

甲班同学身高在175cm以上的人数为3人，乙班同学身高在175cm以上的人数为4人，

所以乙班同学身高在175cm以上的人数较多，从而D不正确.

故选：B

4．一个几何体的正视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据正视图，想象它可能是什么组合体，然后再确定俯视图的可能形状．

【详解】由正视图，如果原几何体上面是一个球，下面是一个圆柱，则俯视图是A；

如果原几何体上面是一个球，下面是一个正方体或底面是正方形的长方体，则俯视图是B，

如果原几何体上面是一个圆柱，下面是一个长方体，则俯视图是D，

只有C不可能，（如果俯视图是C，则正视图不能仅仅是长方形（或正方形），中间还应有其它虚线）．

故选：C．

【点睛】关键点点睛：本题考查三视图，考查空间想象能力，解题关键是掌握基本几何体的三视图．方法：由正视图想象可能是什么组合体，再想象其俯视图的可能形状，判断各选项得出结论．

5．某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）之间的关系为（其中，是正常数），已知经过1h，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉80%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.01h，参考数据：）（    ）

A．1.53h B．1.60h C．1.75h D．2.33h

【答案】D

【分析】由给定条件得，进而得，利用指数与对数的关系可得，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可.

【详解】依题意，，则，

设过滤的污染物需要的时间为，则，因此，

所以.

故选：D

6．已知，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先根据倍角公式，把题中等式转化为，解得后，再由二倍角公式计算.

【详解】由得，

化简得：，

解得或，

因为，所以.

.

.

故选：B.

7．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．.

【答案】C

【分析】确定函数为奇函数排除BD，计算，排除A，得到答案.

【详解】，函数定义域为，

，函数为奇函数，排除BD；

，，故，排除A.

故选：C

8．某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】C

【分析】根据题意可得该设备年平均费用，结合基本不等式分析运算.

【详解】由题意可得：该设备年平均费用，

∵，则，

当且仅当，即时，等号成立，

所以该设备年平均费用最少时的年限为9.

故选：C.

9．函数的部分图象如图所示，则的值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】由函数图象可得解析式，即可得.

【详解】由图象可得最小值为，则；，则最小正周期为；

又函数在时，取最小值，则，又，当时，.

则，故.

故选：A

10．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，离心率分别为，，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则椭圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】结合椭圆双曲线的定义及焦点三角形的相关知识可得.

【详解】由题意知椭圆与双曲线的共焦点，，

所以，

因为双曲线的离心率，

所以，，所以双曲线的方程为.

如图：

根据双曲线的定义知

由余弦定理，

得，又因，

得，.

根据椭圆的定义知：，所以，

，所以椭圆的方程为.

故选：A.

11．已知在锐角三角形中，角所对的边分别为，，，若.则角A的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，在根据锐角三角形的性质分析运算.

【详解】∵，由正弦定理可得，

则，

在锐角三角形中，，则，

∴，即，

可得，解得.

故选：C.

12．已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为偶函数，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】D

【分析】根据已知，利用导数、函数的奇偶性、周期性，建立方程组求解.

【详解】依题意，因为为定义在为偶函数，所以，所以，

所以为奇函数且，因为，，

令，则有，解得.

因为，所以，

又，所以，

由得，

所以是以4为周期的周期函数，所以，

所以，故A，B，C错误.

故选：D.

二、填空题

13．已知向量，，且满足，则_______.

【答案】4

【分析】由向量垂直的坐标表示求解.

【详解】由已知，又，

所以，．

故答案为：4.

14．已知圆和直线，则与直线l平行且与圆C相切的直线方程为_______.

【答案】或

【分析】根据给定条件，设出所求直线方程，利用圆的切线性质结合点到直线的距离公式求解作答.

【详解】圆的圆心，半径，

依题意，设所求直线的方程为：，由于该直线与圆C相切，

因此，解得或，

所以与直线l平行且与圆C相切的直线方程为或.

故答案为：或

15．已知，用表示不超过的最大整数，例如，，则函数，在的零点个数是______.

【答案】7

【分析】根据已知，利用一次函数、正弦函数的图象以及函数零点与方程的根的关系求解.

【详解】函数的零点等价于方程的根，

当时，方程等价于：，

当时，方程等价于：，

当时，方程等价于：，

当时，方程等价于：，

当时，方程等价于：，

当时，方程等价于：，

当时，方程等价于：，

当时，方程等价于：，

因为方程的根的个数等价于函数与函数的交点个数，

如图，由函数函数，与函数，的图象可知，

函数，在有7个零点.

故答案为：7.

16．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为______.

【答案】

【分析】将沿翻折到与共面得到平面四边形如图1所示，设，利用余弦定理求出，将三棱锥补成长方体如图2所示，该棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出外接球的半径，即可求出其体积.

【详解】解：将沿翻折到与共面得到平面四边形如图1所示，

设，即，由题意得，

在中，由余弦定理得

即

即，解得或（舍去），

将三棱锥补成长方体如图2所示，

该棱锥的外接球即为长方体的外接球，

则外接球的半径，

所以外接球的体积.

故答案为：

三、解答题

17．为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间，将他们的成绩（满分100分）分成五组依次为，，，，，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)试估计这100人的竞赛成绩的平均数；

(2)采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在内的学生中随机抽取6人作为航天知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自同一组的概率.

【答案】(1)73.5

(2)

【分析】（1）根据频率的性质求a，再根据平均数运算求解；

（2）先根据分层抽样求每组抽取的人数，再结合古典概型运算求解.

【详解】（1）依题意可得：，解得：，

根据频率分布直方图知：每组的频率依次为，

则平均数的估计值为，

所以这100人的竞赛成绩的平均数的估计值为73.5.

（2）由题意可知：竞赛成绩在，两个组的人数之比为，

若采用分层抽样从中抽取6人，所以每组各抽学生人数分别为，

分别记中所抽取的5人编号依次为1，2，3，4，5，中所抽取的1人编号为A，

所以从6人中随机抽取2人的情况为：，，，，，，，，，，，，，，共15种结果，

其中这2人来自同一组（记为事件）的有10种，则

所以这2人来自不同组的概率为.

18．如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，平面平面，，，，为的中点.

(1)求证：平面；

(2)求到平面的距离

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取中点，连接和，通过证明，即可证明结论；

（2）连接，取中点，连接.通过证明面，面，可得，，后由等体积法可得答案.

【详解】（1）证明：取中点，连接和.

∵为中点，∴且.

∵且，

∴且.

∴四边形为平行四边形，则.

∵面，面，∴面.

（2）连接，取中点，连接.

则等边中，，.

∵面面，面面，

面，∴面，∴.

∵，面，面，，

∴面，，.

∴

因直角梯形中，连接，则，，

∴

∴，，，

∴

∴

设到面的距离为，则，解得.即到面的距离为.

19．记为各项均为正数的等比数列的前n项和，且成等差数列.

(1)求的通项公式；

(2)设，求的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件列出等比数列基本量的方程组，即可求解；

（2）由（1）可知，利用错位相减法求和.

【详解】（1）设数列的首项为，公比为q，则①，

因为，，成等差数列，则，即②，

因为，所以由②式可得，解得或（舍），

代入①式可得，

（2）由得，

则③，

所以④

③④得

20．已知抛物线经过点，过点的直线l与抛物线C有两个不同交点A，B，且直线交y轴于M，直线变y轴于N.

(1)求直线l斜率的取值范围；

(2)证明：存在定点T，使得，且.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）先求出抛物线方程，然后和直线l联立，得到关于斜率满足的条件，从而求出斜率的取值范围；

（2）设出点的坐标，根据题意表示出和，最后求出定点T.

【详解】（1）解法1：将代入抛物线得，.

依题意可设，，直线，

联立直线l与抛物线得：，

则，

由得且，

又直线交y轴于M，直线交y轴于N，所以直线不能过及，

且，

综上.

解法2：将代入抛物线得，.

依题意可设，，直线，

由得：，

则解得且

又直线交y轴于M，直线交y轴于N，所以直线不能过及，

且，

综上.

（2）设点，，由，，，

则可设，，

，，

故

同理：，

，

直线，

令得，

同理，

，，

，

又，.

所以存在点满足题意.

21．已知函数，

(1)若过点，求在该点处的切线方程；

(2)若有两个极值点，且，当时，证明：

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意求得，结合导数的几何意义求切线方程；

（2）根据题意可得：是方程的两正根，方法一：整理得，换元令，构建，，利用导数证明；方法二：分析可得证明，构建，利用导数判断单调性即可证明；方法三：利用对数均值不等式证明.

【详解】（1）已知，，将代入得，解得

所以，则

可得，

即切点坐标为，切线斜率

所以所求切线方程为，即.

（2）由题意可得：，

∵有两个极值点，且，

所以是方程的两正根，整理得，

构建，则，

由，令，解得；令，解得；

所以在单调递减，在单调递增

其大致图像如图所示，由图像可知当，方程有两个正根，符合题意，

方法一：由，两边取对数得，整理得，

若，等价于，可得，

注意到，令，则，

可得，整理得，

故等价于，

构建，，

则对恒成立，

故在上单调递增，则，

故；

方法二：

其大致图像如图所示

由图像可知：当时，可得

∴

要证，等价于证明，

而在单调递减，即证明，

又∵，即证明，

构建，

则，

构建，则对恒成立，

则在上单调递减，

且，则，

可得，即，

注意到，则，

∴在单调递减，则，

即，∴；

方法三：接方法一（用到对数均值不等式）

由，取对数得，

作差得，

由对数均值不等式得：，

∴，即.

以下证明：，

即证明：，

令，，构建，

则，

故在单调递增，从而，

即.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤

(1)作差或变形．

(2)构造新的函数h(x)．

(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．

(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．

特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．

22．在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），直线（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C和直线l的极坐标方程；

(2)点P在直线l上，射线交曲线C于点R，点Q在射线上，且满足，求点Q的轨迹的直角坐标方程.

【答案】(1)曲线C的极坐标方程，直线l的极坐标方程.

(2)

【分析】（1）把曲线C和直线l的参数方程化为普通方程，再利用，化为极坐标方程.

（2）设点Q的极坐标为，代入，点Q的轨迹方程，化为直角坐标方程即可.

【详解】（1）因为曲线（为参数），消参得曲线C的普通方程为，

因为，，

所以曲线C的极坐标方程为，即；

因为直线（t为参数），消参得普通方程为，

直线l的极坐标方程为.

（2）设点Q的极坐标为，

则，，

代入得，

即，则，

所以点Q轨迹直角坐标方程为.

23．已知a，b，c均为正数，且，证明：

(1)若，则；

(2).

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由基本不等式证明；

（2）用柯西不等式证明．

【详解】（1），，，

，

当且仅当，时取等号，

，即；

（2）∵a，b，c均为正数，且，由柯西不等式得，

，

，

，当且仅当时取等号．