2023届海南省昌江县部分学校高三二模数学试题含解析

2023届海南省昌江县部分学校高三二模数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解分式不等式求集合B，应用集合的交、补运算求结果.

【详解】由题设，由知：，则，

所以，故.

故选：C

2．设命题，则它的否定为（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】C

【分析】含有一个量词的命题的否定，既要改变量词，又要否定结论.

【详解】命题，它的否定为：.故A，B，D错误.

故选：C.

3．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m．若水面下降1m，则水面宽度为（    ）

A． m B． m C． m D．12 m

【答案】B

【分析】以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程并求出，最后求解当时的值即可求出水面宽度.

【详解】由题意，以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，

设抛物线方程，

由题意知，抛物线经过点和点，

代入抛物线方程解得，，

所以抛物线方程，

水面下降米，即，解得，，

所以此时水面宽度.

故选：B

【点睛】本题主要考查通过建模解决实际问题和抛物线的性质，属于基础题.

4．在等比数列中，是函数的极值点，则a5＝（    ）

A．或 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可知：是方程的两根，利用韦达定理和等比数列的性质即可求解.

【详解】因为，所以.

又因为是函数的极值点，

即是方程的两根，则有，

由为等比数列可知：，因为，且，所以，则有，所以，

故选：.

5．国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育､优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是（    ）

A．事件与事件互斥但不对立 B．事件与事件互斥且对立

C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立

【答案】D

【分析】利用互斥事件、对立事件的意义可判断选项A，B；利用独立事件的定义可判断C,D

【详解】有三个小孩的家庭的样本空间可记为：

={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，

事件={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}

事件={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，

事件={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，

对于A，,且，所以事件B与事件C互斥且对立，故A不正确；

对于B，{(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件与事件不互斥，故B不正确；

对于C，事件有4个样本点，事件有4个样本点，事件有0个样本点，，显然有，即事件与事件不相互独立，故C不正确；

对于D，事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有3个样本点，，显然有，即事件与事件相互独立，故D正确；

故选：D

6．已知是R上的奇函数，且，当时，，则（    ）

A．3 B． C．255 D．

【答案】B

【分析】根据题意可知是周期函数，根据周期以及奇函数即可求解.

【详解】由可得，，故是以4为周期的周期函数，故，

故选：B

7．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是

A．函数的最小正周期是

B．函数的图象关于点成中心对称

C．函数在单调递增

D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称

【答案】B

【分析】根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．

【详解】根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得，

所以的最小正周期， 不妨令，，由周期，所以，

又，所以，所以，

令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B．

【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题．

8．已知函数， 若函数，则函数的零点个数为（    ）

A．1 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】本题首先通过函数奇偶性求出，再利用导数研究其在上的零点个数即可.

【详解】当时，，

当时，，

，

，且定义域为，关于原点对称，故为奇函数，

所以我们求出时零点个数即可，

，，令，解得，

故在上单调递增，在单调递减，

且，而，故在有1零点，

，故在上有1零点，图像大致如图所示：

故在上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在上也有2个零点，且，故共5个零点，

故选：D.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．若样本数据的方差为4，则数据的方差为9

B．若随机变量，，则

C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱

D．若事件A，B满足，，，则有

【答案】BD

【分析】A选项，根据方差的线性运算性质，计算即可；B选项，根据正太分布曲线可求得；C选项相关系数越接近1，相关性越强；D选项，，则两事件相互独立，根据条件概率的计算公式可以求得.

【详解】由于，所以数据的方差为16，因此选项A错误；

随机变量，，

则，因此选项B正确；

线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故选项C错误；

由于等价于“事件A与事件B相互独立”，即，故必有.因此选项D正确.

故选：BD.

10．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（    ）

A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数

C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点

【答案】AC

【解析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）.

【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.

所以A选项正确，B选项错误.

在区间上，有极大值为，C选项正确.

在区间上，是的极小值点，D选项错误.

故选：AC

11．已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立.则实数的可能取值为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】ABC

【分析】根据题意求出，再化简求出，利用裂项相消即可求出，即可求出满足题意的.

【详解】①

②

②①得，

，当时，，当时，，满足上式，

故，

，

故，

，

故.

故选：ABC.

12．正三棱台中，，分别是和的中心，且，则（    ）

A．直线与所成的角为

B．平面与平面所成的角为

C．正三棱台的体积为

D．四棱锥与的体积之比为

【答案】ACD

【分析】将正三棱台补形为棱锥，在直角三角形中计算三棱台的高，即可判断C；以为轴，平行于为轴，垂直于平面为轴建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角、面面角、点到平面距离的向量求法判断ABD即可.

【详解】由题意根据，分别是下底面与上底面的中心以及下底面边长和上底面边长分别为2和3可得，

假设正三棱台是由正棱锥截取正棱锥得到的，则由已知可得是棱锥的高，是棱锥的高，为所求棱台的高，

因此是一个直角三角形，如图（1）所示，

因为，，，

所以，解得，

所以由勾股定理得，因此，即正三棱台的高为，

又因为，，

所以，选项C正确；

因为垂直于上下底面，所以以为轴，平行于为轴，垂直于平面为轴建立如图（2）所示空间直角坐标系，

所以，，，，，

所以，直线，选项A正确；

又，，

所以，，

设平面的法向量，则，解得，

设平面的法向量，则，故B错误；

又，所以，，

所以点到平面的距离，

点到平面的距离，

所以，由棱锥的体积公式可得四棱锥与的体积之比为，D正确；

综上ACD正确，

故选：ACD

三、填空题

13．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________

【答案】

【分析】先由二项式系数最大确定,再由通项公式求含项的系数即可.

【详解】由只有第5项的二项式系数最大可得：.

∴通项公式，

令，解得.

∴展开式中含项的系数为.

故答案为：.

14．已知，，则的值为______．

【答案】

【分析】根据给定条件结合同角公式求出，再用差角的余弦公式计算作答.

【详解】因，即，又，则，

所以.

故答案为：

15．已知平面向量满足，且与的夹角为，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】画出图形，表示出，，从而确定，利用正弦定理得到，结合，求出的取值范围.

【详解】设，，如图所示，

则，

因为与的夹角为，

所以，

因为，所以由正弦定理得：

，所以，

因为，所以

故答案为：.

16．已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不等实根，且，则的最大值为___________.

【答案】

【分析】设，则根据题意得必有两个不相等的实根，不妨设，故，，再结合的图象可得，，，进而，再构造函数，分析函数的单调性，求得最大值.

【详解】由题意设，根据方程恰有三个不等实根，

即必有两个不相等的实根，不妨设

，则，

方程或有三个不等实根，且，

作出图象如图所示：

那么，可得，，

所以，

构造新函数，则，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以,

所以的最大值为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知数列满足，且)，且成等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，求出数列的首项即可求解作答.

（2）利用（1）的结论求出，再利用等差数列求和公式计算作答.

【详解】（1）在数列中，由得，而，则数列是公比为2的等比数列，

因成等差数列，即，有，解得，

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）得，有，即数列是等差数列，

所以数列的前项和.

18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB=2csinC．

(1)求角C的大小；

(2)若cosA=，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，由此求得.

（2）先求得，结合两角差的正弦公式求得.

【详解】（1），

，即，

，

，.

（2）由，可得，

.

19．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且．

(1)求证：平面；

(2)求二面角的大小；

(3)已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求点A到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）先证明平面平面，再根据面面平行的性质可得平面；

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，根据二面角的向量公式可求出结果；

（3）根据异面直线和点面距的向量公式可求出结果.

【详解】（1）证明：四边形是正方形，，平面，平面．所以平面．

四边形是梯形，， 平面，平面，所以平面，

平面，平面，，平面平面，

平面，平面．

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，2，，，0，，，2，，，0，，

，2，，，2，，，0，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，，得，1，，

设平面的法向量，，，

则，取，，，得，1，，

设二面角的大小为，由图形得为钝角，

则，

因为为钝角，，

二面角的大小为．

（3）点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，

设则，，，，

，

解得，∴线段的长为．

设平面的法向量，因为，，

则，取，得，

又，所以．

20．设，，，，.

（1）求及；

（2）求曲线在处的切线方程.

【答案】（1），；（2）5x-16y+11=0

【解析】（1）直接代入法可求出，求出，然后把x=5代入可得．

（2）求出，把x=5代入y′中即可求出切线的斜率，然后把x=5代入y中求出切点的纵坐标，得到切点坐标，根据切点坐标和斜率写出切线方程．

【详解】（1）当x=5时，，

函数的导数，

函数在x=5处的切线斜率：

；

（2），

所以，

x=5处的切线斜率：，

y=，

所以切点坐标为，

则切线方程为：，

化简得5x-16y+11=0．

故切线方程为：5x-16y+11=0．

【点睛】本题考查求导法则及导数的应用，利用导数研究曲线上某点切线方程一般是求出切点坐标和斜率，属于简单题.

21．摆地摊的某摊（赌）主拿了8个白的，8个黑的围棋子放在一个口袋里，并规定凡愿意摸彩者每人交一元钱作手续费，然后一次从口袋摸出5个棋子，中彩情况如下：

（1）某人交一元钱作手续费，然后一次从口袋摸出5个棋子，求获得彩金20元的概率；

（2）某人交一元钱作手续费，然后一次从口袋摸出5个棋子，求无任何奖品的概率；

（3）按每天摸彩1000次统计，赌主可望净赚约多少钱？

【答案】（1）（2）（3）

【分析】（1）根据古典概型概率公式求解；

（2）根据古典概型概率公式求解；

（3）先确定各种中奖的概率，再利用数学期望公式求期望，最后即得结果

【详解】(1) 获得彩金20元的概率为

（2）无任何奖品的概率为

（3）中2元的概率，中5角的概率

按摸彩1000次统计，赌主可望净赚的钱数

．

22．如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点P（2，-1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA，PB的倾斜角互补.直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N.

(1)若的面积为，求直线AB的方程；

(2)若AB与双曲线的左､右两支分别交于Q，R，求的范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，先求出椭圆方程和双曲线的方程，然后联立直线和椭圆方程求出点坐标，即得，设，根据的面积为求出的值即可求解；

（2）联立直线和双曲线方程，先求出，再根据的范围即可求解.

【详解】（1）解：由题得，解得，所以椭圆的方程为，

等轴双曲线的方程为.

由题意，直线PA的斜率存在，设PA：，则PB：，

联立，消去得，

所以，又，所以，则

将换成，得，所以，

设，

由，消去得，

，所以得，

则，，，

所以，解得，

所以直线AB的方程为；

（2）解：由，消去得，解得，

所以，

，，则，

，，

所以的取值范围为．